数学模型课程设计二

课程设计目的 1 了解最小二乘拟合的原理 掌握用 MATLAB 作最小二乘拟合的方法 2 学会利用曲线拟合的方法建立数学模型 课程设计准备 1 在开始本实验之前 请回顾相关内容 2 需要一台准备安装 Windows XP Professional 操作系统和装有数学软件的计算机 课程设计内容及要求 要求 设计过程必须包括问题的简要叙述 问题分析 实验程序及注释 实验数据及结果分析和实验结 论几个主要部分 1 用切削机床进行金属品加工时 为了适当地调整机床 需要测定刀具的磨损速度 在一定的时间 测量刀具的厚度 得数据如表所示 请选用合适的函数来描述切削时间与刀具厚度的关系 切削时间 t h01234567 刀具厚度 y cm30 029 129 828 128 027 727 527 2 切削时间 t h89101112131415 刀具厚度 y cm27 026 826 526 326 125 725 324 8 t 0 15 输入需要拟合的数据 y 30 0 29 1 29 8 28 1 28 0 27 7 27 5 27 2 27 0 26 8 26 5 26 3 26 1 25 7 25 3 24 8 A polyfit t y 1 用一次多项式拟合数据 z polyval A t 根据拟合的曲线估计A的值 plot t y k t z r 执行绘图命令 在同意坐标系中比较 拟合程度 A 求得 A 的值 0 3099 29 5676 写出 y 的函数表达式0 309929 5676yt 2 Malthus 人口指数增长模型 年17901800181018201830184018501860 人口 亿 3 95 37 29 612 917 123 231 4 年18701880189019001910192019301940 人口 亿 38 650 262 976 092 0106 5123 2131 7 年195019601970198019902000 人口 亿 150 7179 3204 0226 5251 4281 4 用以上数据检验马尔萨斯人口指数增长模型 根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进 t 1790 10 2000 输入需要拟合的数据 y 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 2 51 4 281 4 p polyfit t log y 1 用一次多项式拟合 Y 的对数 r p 1 计算参数值 y0 exp p 2 y1 y0 exp r t 人口增长函数表达式 plot t y r t y1 b 执行绘图命令 在同一坐标 中比较拟合程度 r 求得 r y0 的值 0 0202 y0 1 1565e 015 得到人口增长函数 150 0202 1 1565 10 t ye 3 价格预测 美国旧车价格的调查数据 i x12345678910 i y2615194314941087765538484290226204 分析用什么形式的曲线来拟合数据 并预测使用 4 5 年后的旧车平均价格大致为多少 x 1 10 输入需要拟合的数据 y 2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 A polyfit x y 3 用三次多项式拟合数据 z polyval A x 根据拟合的曲线估计A的值 plot x y k x z g 执行绘图命令 在同一坐标系中比较拟 合程度 A 得到 A 的值 1 0e 003 0 0027 0 0800 0 8528 3 3801 写出函数表达式 32 2 780852 83380 1yxxx 当 x 4 5 时 y 1187 6 778 6 所以 使用 4 5 年后的旧车平均价格大概为 1187 6 元 778 6 元 4 用最小二乘法求一个形如的经验公式 数据如下 2 yabx x1925313844 y 19 032 349 073 398 8 x 19 25 31 38 44 输入需要拟合的数据 y 19 0 32 3 49 0 73 3 98 8 fun1 inline c 1 c 2 x 2 c x 用inline函数确定曲线形式 c lsqcurvefit fun1 0 0 x y 用lsqcurvefit函数求出待定参数 plot x y g x z b 执行绘图命令 在同一坐标系中比较 拟合程度 c 求得 C 的值 0 59370 0506 得到经验公式的表达式 2 0 59370 0506yx 5 估计水塔的流量 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔 一般可以通过测量其水位来估计流量 但面临的困难是 当水塔水位下降到设定的最低水位时就会停止供水 这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量 通 常水泵每天供水一两次 每次约两小时 水塔是一个高 12 2 米 直径 17 4 米的正圆柱 按照设计 水塔 水位降至约 8 2 米时 水泵自动启动 水位升到约 10 8 米时水泵停止工作 下表是某一天的水位测量记 录 试估计任何时刻 包括水泵正供水时 从水塔流出的水流量及一天的总用水量 时刻 h 00 921 842 953 874 985 907 017 938 97 水位 cm 968948931913898881869852839822 时刻 h 9 9810 9810 9512 0312 9513 8814 9815 9016 8317 93 水位 cm 108210501021994965941918892 时刻 h 19 0419 9620 8422 0122 9623 8824 9925 91 水位 cm 866843822 105910351018 t 0 0 92 1 84 2 95 3 87 4 98 5 90 7 01 7 93 8 97 9 98 10 92 10 95 12 03 12 95 13 88 14 98 15 90 16 83 17 93 19 04 19 96 20 84 22 01 22 96 23 88 24 99 25 91 h 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 nan nan 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 nan nan 1059 10351018 t1 t 1 10 h1 h 1 10 c1 polyfit t1 h1 3 用 3 次函数拟合时间 t1 和水位 h1 c1 0 0785 1 3586 22 1079 967 7356 表示 h1 0 0785 t1 3 1 3586 t1 2 22 1079 t1 967 7356 a1 polyder c1 求出多项式的导数的系数 a1 0 2356 2 7173 22 1079 表示 h1 0 2356 t1 2 2 7173 t1 22 1079 tp1 0 0 1 9 x1 polyval a1 tp1 输出多项式的导数在 tp1 点处的值 即流量 plot tp1 x1 hold on 画出时间与流量的拟合曲线图 t2 t 13 23 h2 h 13 23 c2 polyfit t2 h2 3 用 3 次函数拟合时间 t2 和水位 h2 c2 0 2306 12 1578 235 85 2542 4 表示 h2 0 2306 t2 3 12 1578 t2 2 235 85 t2 2542 4 a2 polyder c2 求出多项式的导数的系数 a2 0 6918 24 3156 235 8521 表示 h2 0 6918 t2 2 24 3156 t2 235 8521 tp2 10 95 0 1 20 84 x2 polyval a2 tp2 输出多项式的导数在 tp2 点处的值 即流量 plot tp2 x2 hold on 画出时间与流量的拟合曲线图 xx1 polyval a1 8 9 取第一时段在 t 8 9 时的流量 xx2 polyval a2 11 12 取第二时段在 t 11 12 时的流量 xx12 xx1 xx2 c12 polyfit 8 9 10 11 xx12 3 拟合三次多项式 tp12 9 0 1 10 95 x12 polyval c12 tp12 输出第一供水时段各时刻的流量 plot tp12 x12 dt3 diff t 26 28 最后 3 个时刻的两两之差 dh3 diff h 26 28 最后 3 个水位的两两之差 dht3 dh3 dt3 t 24 t 25 的流量 tt3 20 20 8 t 26 t 27 tt3 及最后时刻的流量 xx3 polyval a2 tt3 1 2 dht3 tt3 各时刻的流量 c3 polyfit tt3 xx3 3 拟合 3 次多项式 t3 20 84 0 1 24 x3 polyval c3 t3 输出第二供水时段 外推至 t 24 各时刻的流量 plot t3 x3 hold on grid y1 0 1 t