高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理应用举例学案

1 / 19高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理应用举例学案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案 24正弦定理和余弦定理应用举例导学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题自主梳理1仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)2方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角 45，是指北偏东 45，即东北方向3方向角：相对于某一正方向的水平角(如图所示)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向2 / 19南偏西等其他方向角类似4坡角坡面与水平面的夹角(如图所示)5坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 ihltan(i 为坡比， 为坡角)6解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型自我检测1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为，则 ， 之间的关系是()ABc90D1802(XX承德模拟)如图所示，已知两座灯塔 A 和B 与海洋观察站 c 的距离相等，灯塔 A 在观察站 c 的北偏东40，灯塔 B 在观察站 c 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔B 的3 / 19()A北偏东 10B北偏西 10c南偏东 10D南偏西 103如图所示，为了测量某障碍物两侧 A、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定 A、B 间距离的是()A，a，bB，aca，b，D，b4在 200m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30、60，则塔高为_m.5(XX全国)ABc 中，D 为边 Bc 上的一点，BD33，sinB513，cosADc35，求 AD.探究点一与距离有关的问题例 1(XX陕西)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(33)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 203 海里的 c 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到4 / 19达 D 点需要多长时间？变式迁移 1某观测站 c 在目标 A 的南偏西 25方向，从 A 出发有一条南偏东 35走向的公路，在 c 处测得与 c相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 走去，走20 千米到达 D，此时测得 cD 为 21 千米，求此人在 D 处距A 还有多少千米？探究点二测量高度问题例 2如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 c 与 D，现测得BcD，BDc，cDs，并在点 c 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB.变式迁移 2某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角5 / 19为 30，求塔高探究点三三角形中最值问题例 3(XX江苏)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆 Bc 的高度 h4m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组 、 的值，算出了tan，tan，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度若电视塔实际高度为 125m，试问 d 为多少时， 最大？变式迁移 3(XX宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径 AB2，点 c 在 AB 的延长线上，Bc1，点 P 为半圆上的一个动点，以 Dc 为边作等边PcD，且点 D 与圆心 o 分别在 Pc 的两侧，求四边形 oPDc 面积的最大值6 / 191解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍2应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为()2(XX揭阳模拟)如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 c，测出Ac 的距离为 50m，AcB45，cAB105后，就可以7 / 19计算出 A、B 两点的距离为()A502mB503mc3ABc 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 13，则其外接圆的半径为()924(XX沧州模拟)某人向正东方向走 xkm 后，向右转 150，然后朝新方向走 3km，结果他离出发点恰好是3km，那么 x 的值为()23或 23D35一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是每小时()A5 海里 B53 海里c10 海里 D103 海里题号 12345答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)8 / 196一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 m 在北偏东 60方向，行驶 4h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_7(XX台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和 30，第一排和最后一排的距离为 106 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为 50 秒，升旗手应以_米/秒的速度匀速升旗8(XX宜昌模拟)线段 AB 外有一点c，ABc60，AB200km，汽车以 80km/h 的速度由 A向 B 行驶，同时摩托车以 50km/h 的速度由 B 向 c 行驶，则运动开始_h 后，两车的距离最小三、解答题(共 38 分)9(12 分)(XX辽宁)如图，A、B、c、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75、30，于水面 c 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，Ac试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D 的距离(计算结果精确到，2，6)9 / 1910(12 分)如图所示，甲船以每小时 302 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的南偏西 75方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 B2 处，此时两船相距102 海里问乙船每小时航行多少海里？11(14 分)(XX福建)如图，某市拟在长为 8km 的道路 oP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 oSm，该曲线段为函数yAsinx(A0)，x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3,23)；赛道的后一部分为折线段 mNP，为保证参赛运动员的安全，限定mNP120.(1)求 A， 的值和 m，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道 mNP 最长？10 / 19答案自我检测1B5解由 cosADc350 知 B2，由已知得 cosB1213，sinADc45，从而 sinBADsin(ADcB)sinADccosBcosADcsinB451213355133365.由正弦定理得，ADsinBBDsinBAD，所以 ADBDsinBsinBAD33513336525.课堂活动区例 1解题导引这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当解由题意知 AB5(33)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得DBsinDABABsinADB，11 / 19DBAB33sin45sin1055sin45sin45cos60cos45sin60103(海里)又DBcDBAABc30(9060)60，Bc203(海里)，在DBc 中，由余弦定理，得cD2BD2Bc22BDcosDBc3001200210320312900，cD30(海里)，需要的时间 t30301(小时)故救援船到达 D 点需要 1 小时变式迁移 1解如图所示，易知cAD253560，在BcD 中，cosB312202212231202331，所以 sinB12331.在ABc 中，AcBcsinBsinA24，由 Bc2Ac2AB22AcABcosA，12 / 19得 AB224AB3850，解得 AB35，AB11(舍)，所以 ADABBD15.故此人在 D 处距 A 还有 15 千米例 2解题导引在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识解在BcD 中，cBD.由正弦定理得 BcsinBDccDsincBD，所以BccDsinsin，在 RtABc 中，ABBctanAcBs.变式迁移 2解由题意可知，在BcD 中，cD40，BcD30，DBc135，13 / 19由正弦定理得，cDsinDBcBDsinBcD，BD40sin30sin135202.过 B 作 BEcD 于 E，显然当人在 E 处时，测得塔的仰角最大，有BEA30.在 RtBED 中，又BDE1801353015.BEDBsin1520262410(31)在 RtABE 中，ABBEtan30103(33)(米)故所求的塔高为 103(33)米例 3解题导引平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之若研究最值，常使用函数思想解(1)由 ABHtan，BDhtan，ADHtan 及ABBDAD，14 / 19得 HtanhtanHtan，解得 Hhtantantan4124(m)因此，算出的电视塔的高度 H 是 124m.(2)由题设知 dAB，得 tanHd.由 ABADBDHtanhtan，得 tanHhd.所以 tan()tantan1tantanhdHHh，当且仅当 dHd，即dH1254555 时，上式取等号，所以当 d555 时，tan()最大因为 02，所以当 d555 时， 最大变式迁移 3解设PoB，四边形面积为 y，则在Poc 中，由余弦定理得Pc2oP2oc22oPoccos54cos.ySoPcSPcD1212sin34(54cos)2sin(3)534.当 32，即 56 时，ymax2534.15 / 19所以四边形 oPDc 面积的最大值为 2534.课后练习区1D6302km解析如图所示：设 th 后，汽车由 A 行驶到 D，摩托车由 B行驶到 E，则 AD80t，BE50t.因为 AB200，所以 BD20080t，问题就是求 DE 最小时 t 的值由余弦定理得，DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22500t2(20080t)50t12900t242000t40000.当 t7043 时，DE 最小9解在AcD 中，DAc30，ADc60DAc30，所以cDAc(2 分)又BcD180606060，所以ABccBD，16 / 19所以BABD.(6 分)在ABc 中，ABsinBcAAcsinABc，即 ABAcsin60sin1532620，(10 分)所以 BD32620(km)故 B、D 的距离约为(12分)10解如图，连接 A1B2，由题意知，A1B120，A2B2102，A1A22060302102(海里)(2 分)又B2A2A118012060，A1A2B2 是等边三角形，B1A1B21056045.(6 分)在A1B2B1 中，由余弦定理得17 / 19B1B22A1B21A1B222A1B1A1B2cos45202(102)222010222200，B1B2102(海里)(10 分)因此乙船的速度大小为1022060302(海里/小时)(12 分)11解方法一(1)依题意，有 A23，T43，又 T2，6.y23sin6x.(3 分)当 x4 时，y23sin233，m(4,3)又 P(8,0)，mP42325.(5 分)(2)如图，连接 mP，在mNP 中，mNP120，mP5.设PmN，则 060.由正弦定理得 mPsin120NPsinmNsin，NP1033sin，mN1033sin(60)，18 / 19(8 分)