高考数学（理科）一轮复习利用向量方法求空间角学案有答案

1 / 26高考数学（理科）一轮复习利用向量方法求空间角学案有答案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案 46利用向量方法求空间角导学目标：1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角自主梳理1两条异面直线的夹角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，在直线 a 上任取一点作直线 ab，则 a与 a 的夹角叫做 a 与 b 的夹角(2)范围：两异面直线夹角 的取值范围是_(3)向量求法：设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 ，则有 cos_.2直线与平面的夹角(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角(2)范围：直线和平面夹角 的取值范围是2 / 26_(3)向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的夹角为 ，则有 sin_或 cossin.3二面角(1)二面角的取值范围是_(2)二面角的向量求法：若 AB、cD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB与 cD的夹角(如图)设 n1，n2 分别是二面角 l 的两个面 ，的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)自我检测1已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45B135c45或 135D902若直线 l1，l2 的方向向量分别为 a(2,4，4)，b(6,9,6)，则()Al1l2Bl1l23 / 26cl1 与 l2 相交但不垂直 D以上均不正确3若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120，则直线 l 与平面 所成的角等于()A120B60c30D以上均错4(XX湛江月考)二面角的棱上有 A、B 两点，直线 Ac、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知 AB4，Ac6，BD8，cD217，则该二面角的大小为()A150B45c60D1205(XX铁岭模拟)已知直线 AB、cD 是异面直线，AccD，BDcD，且 AB2，cD1，则异面直线 AB 与 cD夹角的大小为()A30B45c60D75探究点一利用向量法求异面直线所成的角例 1已知直三棱柱 ABcA1B1c1，AcB90，cAcBcc1，D 为 B1c1 的中点，求异面直线 BD 和 A1c 所成角的余弦值变式迁移 14 / 26如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABcDA1B1c1D1 中，求异面直线 BA1 和 Ac 所成的角探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例 2(XX新乡月考)如图，已知两个正方形 ABcD和 DcEF 不在同一平面内，m，N 分别为 AB，DF 的中点若平面 ABcD平面 DcEF，求直线 mN 与平面 DcEF 所成角的正弦值变式迁移 2如图所示，在几何体 ABcDE 中，ABc 是等腰直角三角形，ABc90，BE 和 cD 都垂直于平面 ABc，且BEAB2，cD1，点 F 是 AE 的中点求 AB 与平面 BDF所成角的正弦值探究点三利用向量法求二面角例 3如图，ABcD 是直角梯形，BAD90，SA平面ABcD，SABcBA1，AD12，求面 ScD 与面 SBA 所成角的余弦值大小5 / 26变式迁移 3(XX沧州月考)如图，在三棱锥 SABc 中，侧面SAB 与侧面 SAc 均为等边三角形，BAc90，o 为 Bc 中点(1)证明：So平面 ABc；(2)求二面角 AScB 的余弦值探究点四向量法的综合应用例 4如图所示，在三棱锥 ABcD 中，侧面 ABD、AcD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且 AD3，BDcD1，另一个侧面 ABc 是正三角形(1)求证：ADBc；(2)求二面角 BAcD 的余弦值；(3)在线段 Ac 上是否存在一点 E，使 ED 与面 BcD 成 30角？若存在，确定点 E 的位置；若不存在，说明理由6 / 26变式迁移 4(XX山东)在如图所示的几何体中，四边形 ABcD 为平行四边形，AcB90，EA平面ABcD，EFAB，FGBc，EGAc，AB2EF.(1)若 m 是线段 AD 的中点，求证：Gm平面 ABFE；(2)若 AcBc2AE，求二面角 ABFc 的大小1求两异面直线 a、b 的夹角 ，需求出它们的方向向量 a，b 的夹角，则 cos|cosa，b|.2求直线 l 与平面 所成的角 .可先求出平面 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 的夹角则sin|cosn，a|.3求二面角 l 的大小 ，可先求出两个平面的法向量 n1，n2 所成的角则 n1，n2或n1，n2 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(XX成都月考)在正方体 ABcDA1B1c1D1 中，m 是 AB 的中点，则 sinDB1，cm的值等于()7 / 262长方体 ABcDA1B1c1D1 中，ABAA12，AD1，E为 cc1 的中点，则异面直线 Bc1 与 AE 所成角的余弦值为()3已知正四棱锥 SABcD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE、SD 所成的角的余弦值为()4.如图所示，在长方体 ABcDA1B1c1D1 中，已知 B1c，c1D与上底面 A1B1c1D1 所成的角分别为 60和 45，则异面直线 B1c 和 c1D 所成的余弦值为()5(XX兰州月考)P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在 、 平面上引射线 Pm、PN，如果BPmBPN45，mPN60，那么二面角 AB 的大小为()A60B70c80D90二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(XX郑州模拟)已知正四棱锥 PABcD 的棱长都相等，侧棱 PB、PD 的中点分别为 m、N，则截面 AmN 与底面 ABcD 所成的二面角的余弦值是_8 / 267如图，PA平面 ABc，AcB90且PAAcBca，则异面直线 PB 与 Ac 所成角的正切值等于_8如图，已知正三棱柱 ABcA1B1c1 的所有棱长都相等，D 是 A1c1 的中点，则直线 AD 与平面 B1Dc 所成角的正弦值为_三、解答题(共 38 分)9(12 分)(XX烟台模拟)如图所示，AF、DE 分别是o、o1 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD是o 的直径，ABAc6，oEAD.(1)求二面角 BADF 的大小；(2)求直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值10(12 分)(XX大纲全国)如图，四棱锥 SABcD中，ABcD，BccD，侧面 SAB 为等边三角形，ABBc2，cDSD1.(1)证明：SD平面 SAB；9 / 26(2)求 AB 与平面 SBc 所成角的正弦值11(14 分)(XX湖北)如图，已知正三棱柱ABcA1B1c1 各棱长都是 4，E 是 Bc 的中点，动点 F 在侧棱cc1 上，且不与点 c 重合(1)当 cF1 时，求证：EFA1c；(2)设二面角 cAFE 的大小为 ，求 tan 的最小值学案 46利用向量方法求空间角自主梳理1(2)0，2(3)|cos|a|b|2(2)0，2(3)|cos|3.(1)0，自我检测1c课堂活动区例 1解题导引(1)求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解，则一定要将每个点的坐标写正确(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角的范围是 0，210 / 26解如图所示，以 c 为原点，直线 cA、cB、cc1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系设 cAcBcc12，则 A1(2,0,2)，c(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，BD(0，1,2)，A1c(2,0，2)，cosBD，A1cBDA1c|BD|A1c|105.异面直线 BD 与 A1c 所成角的余弦值为 105.变式迁移 1解BA1BABB1，AcABBc，BA1Ac(BABB1)(ABBc)BAABBB1Bc.ABBc，BB1AB，BB1Bc，BAAB0，BB1ABa2，BA1Aca2.又11 / 26BA1cosBA1，Ac ，cosBA1，Aca22a2a12.BA1，Ac120.异面直线 BA1 与 Ac 所成的角为 60.例 2解题导引在用向量法求直线 oP 与 所成的角(o)时，一般有两种途径：一是直接求oP，oP ，其中 oP为斜线 oP 在平面 内的射影；二是通过求n，oP进而转化求解，其中 n 为平面 的法向量解设正方形 ABcD，DcEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 Dc，DF，DA 为 x，y，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图则 m(1,0,2)，N(0,1,0)，可得 mN(1,1，2)又 DA(0,0,2)为平面 DcEF 的法向量，可得 cosmN，DAmNDA|mN|DA|63.所以 mN 与平面 DcEF 所成角的正弦值为|cosmN，DA|63.变式迁移 2解以点 B 为原点，BA、Bc、BE 所在的直12 / 26线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，c(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1)BD(0,2,1)，DF(1，2,0)设平面 BDF 的一个法向量为n(2，a，b)，nDF，nBD，nBD0.即1，2，00，0，2，10.解得 a1，b2.n(2,1，2)设 AB 与平面 BDF 所成的角为 ，则法向量 n 与 BA的夹角为 2，cos2BA2，0，02323，即 sin23，故 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为 23.例 3解题导引图中面 ScD 与面 SBA 所成的二面角没有13 / 26明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解解建系如图，则 A(0,0,0)，D12，0，0，c(1,1,0)，B(0，1,0)，S(0,0,1)，AS(0,0,1)，Sc(1,1，1)，SD12，0，1，AB(0,1,0)，AD12，0，0.ADAB0.AD是面 SAB 的法向量，设平面 ScD 的法向量为n(x，y，z)，则有 nSD0.即 xyz0，12xz0.令 z1，则 x2，y1.n(2，1,1)cosn，ADnAD|n|AD|21261263.故面 ScD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值为 63.变式迁移 3(1)证明由题设 ABAcSBScSA.连接 oA，ABc 为等腰直角三角形，所以 oAoBoc22SA，且 AoBc.14 / 26又SBc 为等腰三角形，故 SoBc，且 So22SA.从而 oA2So2SA2，所以SoA 为直角三角形，SoAo.又 AoBco，所以 So平面 ABc.(2)解以 o 为坐标原点，射线 oB、oA、oS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 oxyz，如右图设 B(1,0,0)，则 c(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)Sc 的中点 m12，0，12，mo12，0，12，mA12，1，12，Sc(1,0，1)，moSc0.故 moSc，mASc， mo，mA等于二面角 AScB 的平面角cosmo，mAmomA|mo|mA|33，所以二面角 AScB 的余弦值为 33.例 4解题导引立体几何中开放性问题的解决方式往往是通过假设，借助空间向量建立方程，进行求解15 / 26(1)证明作 AH面 BcD 于 H，连接 BH、cH、DH，则四边形 BHcD 是正方形，且 AH1，将其补形为如图所示正方体以 D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系则 B(1,0,0)，c(0,1,0)，A(1,1,1)Bc(1,1,0)，DA(1,1,1)，BcDA0，则 BcAD.(2)解设平面 ABc 的法向量为 n1(x，y，z)，则由n1Bc知：n1Bcxy0，同理由 n1Ac知：n1Acxz0，可取 n1(1,1，1)，同理，可求得平面 AcD 的一个法向量为n2(1,0，1)由图可以看出，二面角 BAcD 即为n1，n2 ，cosn1，n2n1n2|n1|n2|1013263.即二面角 BAcD 的余弦值为 63.(3)解设 E(x，y，z)是线段 Ac 上一点，则 xz0，y1，平面 BcD 的一个法向量为n(0,0,1)，DE(x,1，x)，要使 ED 与平面 BcD 成 30角，由图可知 DE与 n 的夹角为 60，16 / 26所以 cosDE，nDEn|DE|n|x12x2cos6012.则 2x12x2，解得 x22，则 cE2x1.故线段 Ac 上存在 E 点，且 cE1 时，ED 与面 BcD 成30角变式迁移 4(1)证明方法一因为EFAB，FGBc，EGAc，AcB90，所以EGF90，ABcEFG.由于 AB2EF，因此 Bc2FG.连接 AF，由于 FGBc，FG12Bc，在ABcD 中，m 是线段 AD 的中点，则 AmBc，且 Am12Bc，因此 FGAm 且 FGAm，所以四边形 AFGm 为平行四边形，因此 GmFA.又 FA平面 ABFE，所以 Gm平面 ABFE.方法二因为 EFAB，FGBc，EGAc，AcB90，17 / 26所以EGF90，ABcEFG.由于 AB2EF，所以 Bc2FG.取 Bc 的中点 N，连接 GN，因此四边形 BNGF 为平行四边形，所以 GNFB.在ABcD 中，m 是线段 AD 的中点，连接 mN，则 mNAB.因为 mNGNN，所以平面 GmN平面 ABFE.又 Gm平面 GmN，所以 Gm平面 ABFE.(2)解方法一因为AcB90，所以cAD90.又 EA平面 ABcD，所以 Ac，AD，AE 两两垂直分别以 Ac，AD，AE 所在直线为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 AcBc2AE2，则由题意得 A(0,0,0)，B(2，2,0)，c(2,0,0)，E(0,0,1)，所以 AB(2，2,0)，Bc(0,2,0)又EF12AB，所以 F(1，1,1)，BF(1,1,1)设平面 BFc 的法向量为 m(x1，y1，z1)，18 / 26则 mBF0，所以 y10，x1z1，取 z11，得 x11，所以m(1,0,1)设平面向量 ABF 的法向量为 n(x2，y2，z2)，则 nBF0，所以x2y2，z20，取 y21，得 x21.则 n(1,1,0)所以 cosm，nm|n|12.因此二面角 ABFc 的大小为 60.方法二由题意知，平面 ABFE平面 ABcD.取 AB 的中点 H，连接 cH.因为 AcBc，所以 cHAB，则 cH平面 ABFE.过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R，连接 cR，则 cRBF，所以HRc 为二面角 ABFc 的平面角由题意，不妨设 AcBc2AE2，在直角梯形 ABFE 中，连接 FH，则 FHAB.又 AB22，所以 HFAE1，BH2，因此在 RtBHF 中，HR63.19 / 26由于 cH12AB2，所以在 RtcHR 中，tanHRc2633.因此二面角 ABFc 的大小为 60.课后练习区1B以 D 为原点，DA、Dc、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，易知DB1(1,1,1)，cm1，12，0，故 cosDB1，cmDB1cm|DB1|cm|1515，从而 sinDB1，cm21015.2B建立空间直角坐标系如图则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，c1(0,2,2)Bc1(1,0,2)，AE(1,2,1)，cosBc1，AEBc1|AE|3010.所以异面直线 Bc1 与 AE 所成角的余弦值为 3010.20 / 263c5D不妨设 Pma，PNb，作 mEAB 于 E，NFAB 于 F，如图：EPmFPN45，PE22a，PF22b，Em(PNPF)PmPNPEPFabcos60a22bcos4522abcos4522a22bab2ab2ab2ab20，EmFN，二面角 AB 的大小为 90.解析如图建立空间直角坐标系，设正四棱锥的棱长为2，则 PB2，oB1，oP1.B(1,0,0)，D(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，m12，0，12，21 / 26N12，0，12，Am12，1，12，AN12，1，12，设平面 AmN 的法向量为 n1(x，y，z)，由nAN12xy12z0，解得 x0，z2y，不妨令 z2，则 y1.n1(0,1,2)，平面 ABcD 的法向量 n2(0,0,1)，则 cosn1，n2n1|n2|25255.解析PBPAAB，故PBAc(PAAB)Ac0a2acos45a2.又|PB|3a，|Ac|a.cosPB，Ac33，sinPB，Ac63，tanPB，Ac2.解析不妨设正三棱柱 ABcA1B1c1 的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，22 / 26则 c(0,0,0)，A(3，1,0)，B1(3，1,2)，D32，12，2.则 cD32，12，2，cB1(3，1,2)，设平面 B1Dc 的法向量为n(x，y,1)，由ncB10，解得 n(3，1,1)又DA32，12，2，sin|cosDA，n|45.9解(1)AD 与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF 是二面角 BADF 的平面角(2 分)依题意可知，ABFc 是正方形，BAF45.即二面角 BADF 的大小为 45.(5 分)(2)以 o 为原点，cB、AF、oE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则 o(0,0,0)，A(0，32，0)，B(32，0,0)，D(0，32，8)，E(0,0,8)，F(0,32，0)，(7 分)BD(32，32，8)，EF(0,32，8)cosBD，EF23 / 26BDEF|BD|EF|01864100828210.(10 分)设异面直线 BD 与 EF 所成角为 ，则cos|cosBD，EF|8210.即直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值为 8210.(12 分)10.方法一(1)证明取 AB 中点 E，连接 DE，则四边形BcDE 为矩形，DEcB2，连接 SE，则 SEAB，SE3.又 SD1，故 ED2SE2SD2，所以DSE 为直角，即 SDSE.(3 分)由 ABDE，ABSE，DESEE，得 AB平面 SDE，所以 ABSD.由 SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直，所以 SD平面 SAB.(6 分)(2)解由 AB平面 SDE 知，平面 ABcD平面 SDE.作 SFDE，垂足为 F，则 SF平面ABcD，SFSDSEDE32.(8 分)作 FGBc，垂足为 G，则 FGDc1.24 / 26连接 SG，又 BcFG，BcSF，SFFGF，故 Bc平面 SFG，平面 SBc平面 SFG.作 FHSG，H 为垂足，则 FH平面 SBc.FHSFFGSG37，则 F 到平面 SBc 的距离为 217.由于 EDBc，所以 ED平面 SBc，E 到平面 SBc 的距离 d 为 217.(10 分)设 AB 与平面 SBc 所成的角为 ，则 sindEB217，即 AB 与平面 SBc 所成的角的正弦值为 217.(1