高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

1 / 19高考数学（理科）一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案 21两角和与差的正弦、余弦和正切公式导学目标：1.会用向量数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.4.熟悉公式的正用、逆用、变形应用自主梳理1(1)两角和与差的余弦cos()_，cos()_.(2)两角和与差的正弦sin()_，sin()_.(3)两角和与差的正切tan()2 / 19_，tan()_.(， 均不等于 k2，kZ)其变形为：tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)2辅助角公式asinbcosa2b2sin()，其中 cos ，sin ，tanba，角 称为辅助角自我检测1(XX福建)计算 sin43cos13cos43sin13的结果等于()2已知 cos6sin435，则 sin76 的值是()A3函数 f(x)sin2xcos2x 的最小正周期是()A.2Bc2D44(XX2，若sin3cos，则 的取值范围是()3 / 19A.3，2B.3，c.3，43D.3，325(XX广州模拟)已知向量 a(sinx，cosx)，向量 b(1，3)，则|ab|的最大值为()A 3D9探究点一给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例 1求值：(1)2sin50sin10(13tan10)2sin280；(2)sin(75)cos(45)3cos(15)变式迁移 1求值：(1)2cos10sin20sin70；(2)tan(6)tan(6)3tan(6)tan(6)探究点二给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例 2已知034，cos435，4 / 19sin34513，求 sin()的值变式迁移 2(XX广州模拟)已知tan42，tan12.(1)求 tan 的值；(2)求sin2sincos2sinsincos的值探究点三给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例 3已知0，tan212，cos()210.(1)求 sin 的值；(2)求 的值变式迁移 3(XX岳阳模拟)若sinA55，sinB1010，且 A、B 均为钝角，求 AB 的值5 / 19转化与化归思想的应用例(12 分)已知向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，|ab|255.(1)求 cos()的值；(2)若22，且sin513，求 sin 的值【答题模板】解(1)|ab|255，a22abb245.2分又a(cos，sin)，b(cos，sin)，a2b21，abcoscossinsincos()，4 分故 cos()a2b2452245235.6 分(2)2.cos()35，sin()45.8 分又sin513，20，cos1213.96 / 19分故 sinsin()sin()coscos()sin451213355133365.12 分【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|ab|255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将 变为().【易错点剖析】|ab|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点1转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换， “1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等2变换则必须熟悉公式分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件3恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化7 / 194基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(XX佛山模拟)已知sin3sin435，则 cos23 等于()A45B2已知 cos6sin233，则 sin76 的值是()A3(XX宁波月考)已知向量asin6，1，b(4,4cos3)，若 ab，则sin43 等于()A34B4函数 ysinxcosx 图象的一条对称轴方程是()Ax54Bx34cx4Dx25在ABc 中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则c 的大小为()A.c.6 或 56D.3 或 238 / 19题号 12345答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(XX重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 c，各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 c 上)且半径相等设第 i 段弧所对的圆心角为 i(i1,2,3)，则cos13cos233sin13sin233_.7设 sin352，tan()12，则 tan()_.8(XX惠州月考)已知 tan、tan 是方程x233x40 的两根，且 、2，2，则tan()_， 的值为_三、解答题(共 38 分)9(12 分)(1)已知 0，2，2， 且sin()3365，cos513.求 sin；(2)已知 ，(0，)，且 tan()12，tan17，求 2 的值9 / 1910(12 分)(XX四川)(1)证明两角和的余弦公式 c()：cos()coscossinsin；由 c()推导两角和的正弦公式S()：sin()sincoscossin.（2）已知ABc 的面积 S=，ABAc3，且cosB35，求 cosc.11(14 分)(XX济南模拟)设函数 f(x)ab，其中向量 a(2cosx,1)，b(cosx，3sin2x)，xR.(1)若函数 f(x)13，且 x3，3，求 x；(2)求函数 yf(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出 yf(x)在区间0，上的图象答案自主梳理1(1)coscossinsincoscossinsin(2)sincoscossinsincoscossin(3)tantan1tantan10 / 19tantan1tantanb2ba2b2自我检测1A课堂活动区例 1解题导引在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用解(1)原式2sin50sin1013sin10cos102sin802sin50sin10cos103sin10cos102sin802sin502sin1012cos1032sin10cos102cos102sin502sin10sin40cos102cos102sin60cos102cos1022sin6022326.(2)原式sin(45)30cos(45)11 / 193cos(45)3032sin(45)12cos(45)cos(45)32cos(45)32sin(45)0.变式迁移 1解(1)原式2cos3020sin20sin703cos20sin20sin20sin703cos20sin703.(2)原式tan(6)(6)1tan(6)tan(6)3tan(6)tan(6)3.例 2解题导引对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角” ，使“所求角”变为“已知角” ，若角所在象限没有确定，则应分类讨论应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧解cos4sin435，034，2.cos41sin2445，cos341sin2341213.sin()sin434sin4cos34cos4sin34351213455135665.12 / 19sin()5665.变式迁移 2解(1)由 tan42，得1tan1tan2，即 1tan22tan，tan13.(2)sin2sincos2sinsincossincoscossin2sincos2sinsincoscossinsincoscossinsinsincostan()tantan1tanta例 3解题导引(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是 0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好13 / 19(2)解这类问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角解(1)tan212，sinsin222sin2cos22sin2cos2sin22cos222tan21tan22212112245.(2)02，sin45，cos35.又 0.由 cos()210，得 sin()7210.sinsin()sin()coscos()sin721035210452525022.由 2 得 34.(或求 cos22，得 34)变式迁移 3解A、B 均为钝角且sinA55，sinB1010，cosA1sin2A25255，cosB1sin2B31031010.cos(AB)cosAcosBsinAsinB14 / 192553101055101022.又2，2.由，知 AB74.课后练习区1D6127.211239解(1)2，cos513，sin1213.(2 分)又0，232，又 sin()3365，cos()1sin21336525665，(4 分)sinsin()sin()coscos()sin3365121335.(6 分)15 / 19(2)tantan()tantan12171121713，(8 分)tan(2)tan()tantan1tantan1312113121.(10 分)，(0，)，tan130，0，0，234.(12 分)10(1)证明如图，在直角坐标系 xoy 内作单位圆 o，并作出角 、 与，使角 的始边为 ox，交o 于点 P1，终边交o 于点 P2；角 的始边为 oP2，终边交o 于点P3；角 的始边为 oP1，终边交o 于点 P4.16 / 19则 P1(1,0)，P2(cos，sin)，P3(cos()，sin()，P4(cos()，sin()，(2 分)由|P1P3|P2P4|及两点间的距离公式，得cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2，展开并整理得：22cos()22(coscossinsin)，cos()coscossinsin.(4 分)解由易得，cos2sin，sin2cos.sin()cos2cos2cos2cos()sin2sin()sincoscossin.sin()sincoscossin.(7 分)17 / 19(2)解由题意，设ABc 的角 B、c 的对边分别为 b、c.则 S12bcsinA12，AB0，A0，2，cosA3sinA，(9 分)又 sin2Acos2A1，sinA1010，cosA31010，由 cosB35，得 sinB45.cos(AB)cosAcosBsinAsinB