北京理工大学数学专业数学分析Ⅲ试题(MTH17042-MTH17169).doc

课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期 2014.11.32013级数学专业数学分析阶段测验（一）试题1.设是中的调和函数，S是中任意的分片光滑闭曲面。求证：，其中和分别表示函数和沿S外法线方向的方向导数。2.叙述正项级数敛散性的比较判别法和DAlembert比值判别法，并利用前者证明后者。3.判断下列级数的敛散性：（1） （2）（3） （4） （5）4.设。又设广义极限存在。求证：当（含）时，级数收敛；当（含）时，级数发散。5.研究级数的敛散性，包括绝对收敛性和条件收敛性，其中是实参数。6.设收敛，其中R0，求证：对一切，绝对收敛。7.设，且有极限。求证：数列收敛，且。8.设存在，又设绝对收敛。求证：。课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期 2014.112013级数学专业数学分析期中试卷一、（15分）（1）设数项级数与均绝对收敛，问：是否一定收敛？为什么？如果收敛，绝对收敛，那么是否一定收敛？为什么？（2）设，绝对收敛，又设的n次部分和序列有界，求证：收敛。二、（10分）设单调递减，且；又设是任意固定的正整数，求证：收敛当且仅当收敛。三、（15分）设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，（1）用肯定语气叙述函数项级数在数集E内不满足一致收敛的Cauchy准则的严格含义；（2）设存在数列和，满足，都有，且数项级数与均收敛，试利用一致收敛的Cauchy准则证明函数项级数在数集E内一致收敛。四、（10分）设，求证：收敛。五、（15分）研究函数项级数的敛散性，包括绝对收敛和条件收敛，并证明：（1）函数项级数的和函数在其收敛域内连续；（2）函数项级数在其收敛域内不一致收敛。六、（10分）设。（1）求证：函数序列在中内闭一致收敛；（2）用两种方法证明在内不一致收敛。七、（15分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间。八、（10分）设函数在区间I内定义，且，在区间I内一致连续；又设时关于x在I内一致收敛于。求证：在区间I内一致连续，且在区间I内等度连续，即，使得，只要，就有。九、（10分）设函数序列在区间内点态收敛于极限函数，且，极限存在；又设当时等度收敛于，即，使得当时，都有，求证：与都存在，且二者相等。（第八题、第九题二题中任选一题）课程编号：MTH17169 北京理工大学2016-2017学年第一学期2015级数学与统计学院数学分析期中考题1.（20分）讨论下列正项级数的收敛性。（1）； （2）； （3）。2.（30分）判断下列级数是否收敛；若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）； （2）。3.（15分）求幂级数的收敛半径和收敛域，并求出和函数的表达式。4.（15分）设和都在区间I上有界，并且在I上一致收敛于，在I上一致收敛于。证明：在I上一致收敛于。5.（20分）设，证明：（1）在其定义域内连续；（2）在区间上可导；（3）。课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期 2014.122013级数学专业数学分析第三次阶段练习一、判别敛散性：（1）； （2）； （3）。二、设单调递减，且，求证：收敛当且仅当收敛。三、设，求证：收敛。四、（1）求函数的Maclaurin级数展开式并确定收敛区间；（2）求幂级数的收敛域及和函数。五、（1）证明无穷级数收敛，并求其和；（2）设，求及的表达式。六、设对每一个自然数n，函数在数集E内有定义，又设，都有，求证：函数项级数在数集E内一致收敛。七、设收敛，其中为定数，求证：（1）幂级数在内绝对收敛；（2），幂级数在内一致收敛。八、设有广义积分，问：取何值时绝对收敛？取何值时条件收敛？取何值时发散？九、求广义积分的收敛域I，并证明：（1）函数在I内连续；（2）广义积分在I内不一致收敛。十、设，用三种方法计算广义积分。选作 设和在内连续，又设极限存在，且广义积分绝对收敛，求证：。课程编号：MTH17042 北京理工大学2014-2015学年第一学期 2015.1.262013级数学专业数学分析期末试题B卷一、（每小题7分，共35分）（1）求幂级数的收敛域及和函数；（2）设，求；（3）将展开成x的幂级数，确定收敛区间，并求的值；（4）求证无穷级数收敛，并求其和。（5）设，其中。求以为周期的Fourier级数展开式，并求其和函数在内的表达式。二、（10分）设单调递减，且，求证：收敛当且仅当收敛。三、（10分）设，求证：数列收敛。四、（15分）（1）设在内有定义，其中I是一个区间，且，关于在内常义可积，用肯定语气叙述广义积分关于在区间I内不满足一致收敛Cauchy准则的严格含义；（2）用两种方法计算广义积分（证明计算过程的合理性）。五、（15分）求广义积分的收敛域I，并证明：（1）函数在I内连续；（2）广义积分在I内不一致收敛。六、（7分）设，又设幂级数的收敛半径为1，其和函数为。求证：成立的充要条件是发散。七、（8分）设在区域上定义，偏导函数在内存在且有界；又设对每个，极限存在；求证：（1）在有界开区间内一致连续；（2）时，关于在有界开区间内一致收敛。提示：考虑以下的定理：设，在内连续，则时，在内一致收敛的充分必要条件是时，在内收敛且在区间内等度连续。课程编号：MTH17169 北京理工大学2016-2017学年第一学期2015级数学与统计学院数学分析期终考试考题（A卷）1.（20分）判断下列无穷级数或广义积分的收敛性。（1）； （2）； （3）； （4）。2.（10分）证明：当时绝对收敛；当时条件收敛；当时发散。3.（12分）（1）设，求；（2）设，其中在上连续，求。4.（12分）（1）求幂级数的收敛域及其和函数的表达式；（2）求级数的和。5.（14分）（1）证明关于在内闭一致收敛，但不一致收敛；（2）求积分的值。6.（14分）设以为周期，在上表达式为。（1）求的