第三章　图形的相似

第三章第三章 图形的相似图形的相似 3 1 比例线段比例线段 3 1 1 比例的基本性质 教学目标 知识与技能 理解比例的基本性质 并会对比例式进行变形 过程与方法 借助等式的性质 了解比例的基本性质及其简单应用 能 运用比例的基本性质解决问题 情感态度与价值观 通过现实情境 进一步发展学生从数学的角度提出问题 分析问题和解决问题的能力 培养学生的数学应用意识 体会数学与自然 社 会的密切联系 教学重点 比例的基本性质及其应用 教学难点 了解比例的基本性质及其简单应用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设问题情境一 创设问题情境 引入新课引入新课 1 什么是两个数的比 2 与 3 的比 4 与 6 的比如何表示 其比值相等 吗 用小学学过的方法可写成什么形式 2 比与比例有什么区别 3 用字母 a b c d 表示数 若上述四个数成比例 则可写成怎样的形 式 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 探究 1 比例的基本性质 在置疑导入的基础上 各小组展开讨论 已知比例式 a b c d 则 ad bc 为什么 师生活动 教师可以提示学生等式的基本性质 如果学困生仍然没有思路 教师可以提示学生 在 a b c d 的两边同时乘 bd 会得到什么结果 继续提 问为什么会想到在比例式的两边同时乘 bd 实际上 bd 是两个分式的公分母 归纳 1 比例的基本性质 比例的两外项之积等于两内项之积 用式子表 示为 如果 a b c d 那么 ad bc 2 a b c d 叫作比例式 ad bc 叫作等积式 等积式和比例式可以互换 探究 2 等积式化比例式 如果 a b c d 四个数成比例 即 a b c d 那么 ad bc 反过来如果 ad bc 那么能写出多少个比例式 师生活动 给各小组时间讨论交流 然后展示各组的结论 各组一定会出 现不同的结果 鼓励学生就不同的结果展开讨论 3 应用举例应用举例 例 1 教材 P63 例 2 根据下列条件 求 a b 的值 1 4a 5b 2 87 ba 讲评策略 鼓励学生从多个角度去变形求解 然后帮助学生总结方法的简 便与繁难 变式一 已知 3a 2b 则 a b 已知 a 2 3 5 则 a 4 拓展提高拓展提高 例 2 已知 4 8 2 3 3 4 zyx 且 x y z 12 求 x y z 的值 解 设 4 8 2 3 3 4 zyx a 则 x 3a 4 y 2a 3 z 4a 8 x y z 3a 4 2a 3 4a 8 12 a 3 x 5 y 3 z 4 例 3 威海模拟 若 k ba c ac b Cb a 求 k 的值 五 当堂训练五 当堂训练 1 教材 P63 练习中的 T1 T2 2 教材 P67 习题 3 1 中的 T1 T2 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 3 1 2 成比例线段 教学目标 知识与技能 结合现实情境 感受学习线段的比的必要性 了解线段的比 和成比例线段 会求两条线段的比及黄金分割比的应用 过程与方法 借助几何直观 了解比例线段及黄金分割的简单应用 情感态度与价值观 通过现实情境 进一步发展学生从数学的角度提出问题 分析问题和解决问题的能力 培养学生的数学应用意识 体会数学与自然 社 会的密切联系 教学重点 理解线段的比的概念及线段成比例 教学难点 了解黄金分割比的简单应用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设情境一 创设情境 引入新课引入新课 你还记得以前接触过的 变化的鱼 吗 如果将点的横坐标和纵坐标都乘 或除以 同一个非零数 那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化 图 中的鱼是将坐标为 0 0 5 4 3 0 5 1 5 1 3 0 4 2 0 0 的点 O A B C D B E O 用线段依次连接而成的 中的鱼是将 中鱼上每个点的横坐标 纵坐标都乘 2 得到的 1 线段 CD 与 HL OA 与 OF BE 与 GM 的长度分别是多少 2 线段 CD 与 HL 的比 OA 与 OF 的比 BE 与 GM 的比分别是多少 它 们相等吗 3 在图 中 你还能找到比值相等的其他线段吗 图 3 1 4 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 探究 1 线段的比的概念 1 引入例中 线段 CD 与 HL 的比 OA 与 OF 的比 BE 与 GM 的比分别 是多少 它们有何特点 2 两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系 归纳 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB CD 的长度分别是 m n 那么就说这两条线段的比 AB CD m n 或写成 其中 AB CD m n AB CD 分别叫作这个线段比的前项和后项 如果把 表示成比值 k 那么 m n k 或 AB k CD 两条线段的比实际上就是两个数的比 AB CD 探究 2 成比例线段 1 引入例中的线段 CD 与 HL 的比 OA 与 OF 的比 BE 与 GM 的比相等 吗 2 如图 3 1 5 设每个小方格的边长均为 1 四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上 那么 AB AD EF EH 的长度分别是多少 分别 计算 的值 你发现了什么 AB EF AD EH AB AD EF EH 图 3 1 5 3 线段的比与表示两组线段的比相等的式子是同一个意思吗 表示两组线 段的比相等的式子反映四条线段的什么关系 各小组同学互相讨论 发表自己 的看法 归纳 在四条线段中 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比 那 么这四条线段叫作成比例线段 简称为比例线段 探究 3 黄金分割 古希腊数学家 天文学家欧多克索斯 Eudoxus 约前 400 约前 347 曾经 提出一个问题 能否将一条线段 AB 分成不相等的两部分 使较短线段 CB 与 较长线段 AC 的比等于 AC 与原线段 AB 的比 即使得 成立 CB AC AC AB 如果能做到的话 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 golden section 点 C 叫作线段 AB 的黄金分割点 较长线段 AC 与原线段 AB 的比叫作黄金分割 比 你能把任意一条线段黄金分割吗 如果可以的话 那么黄金分割比是多少呢 各小组互相合作 探求这样的点是否存在 这种分割得到的比值引起了人们极大的注意 自古希腊以来 人们认为黄 金分割点是分割线段时最优美 最令人赏心悦目的点 黄金分割也就被视为最 美丽的几何学比率 而古希腊的雅典帕德嫩神庙 埃及的金字塔 生活中的蒙 娜丽莎像 五角星图以及自然界美丽的蝴蝶 一片树叶等物体中都充满了黄金 分割 故给人以优美 赏心悦目的感觉 现在大家知道原因了吗 归纳 线段 AB 上存在一点 C 把已知线段分成不相等的两部分 其中较短线 段 CB 与较长线段 AC 的比等于 AC 与原线段 AB 的比 这个比值为 0 618 5 1 2 3 应用举例应用举例 例 1 教材 P65 例 3 已知线段 a b c d 的长度分别为 0 8 cm 2 cm 1 2 cm 3 cm 问 a b c d 是比例线段吗 讲评策略 学生肯定会先求 a b c d 再比较两个值是否相等 从而判 断四条线段是否成比例 提醒学生注意 对于这种打乱排列顺序再判断四条线 段是否成比例的题目 不能再按自然排序求比判断 而应先把四个数值从小到 大重新排列 验证最长与最短的两条线段的长度之积是否等于中间两条线段的 长度之积 变式 下列各组中的 a b c d 四条线段是否成比例 若成比例 请写出 比例式 式中需含全部 4 个字母 1 a 1 cm b 3 cm c 6 cm d 9 cm 2 a 5 cm b 10 cm c 15 cm d 20 cm 3 a 1 9 cm b 8 1 cm c 5 7 cm d 2 7 cm 4 a 126 cm b 23 cm c 14 cm d 207 cm 四 拓展提高四 拓展提高 1 黄金分割比的应用 例 2 如图 3 1 6 已知线段 AB 的长度为 1 点 P 是 AB 上的一点 且使 AP2 AB BP 求线段 AP 的长和 AP AB 的值 图 3 1 6 2 比例线段的分类讨论题 例 3 已知 1 2 三个数 请你再添加一个数 使这四个数构成一个比例式 2 这样的数有几个 5 当堂训练当堂训练 1 教材 P66 练习中的 T1 T2 2 教材 P67 习题 3 1 中的 T2 T4 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 3 2 平行线分线段成比例平行线分线段成比例 教学目标 知识与技能 理解平行线分线段成比例这个基本事实 能应用此结论证明线 段成比例 并会进行有关的计算 过程与方法 通过探索平行线分线段成比例这个基本事实的过程 进一步 熟悉由特殊到一般的数学思想 能把一个较复杂的图形分成几个基本图形 锻 炼识图能力和推理论证能力 情感态度与价值观 通过合作探究 提高与他人交往的能力和团结合作意 识 教学重点 平行线分线段成比例定理及其理解 教学难点 平行线分线段成比例定理及其推论的灵活应用 平行线分线段 成比例定理的变式 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设问题情境一 创设问题情境 引入新课引入新课 一组等距离的平行线截直线 AC 所得到的线段相等 那么在直线 BD 上所 截得的线段有什么关系呢 B D 操作印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做实验 1 画一条与这组平行线 垂直的直线 l1 则直线 l1被这组平行线截得的线段相等吗 为什么 2 任意画 一条与这组平行线相交的直线 l2 量一量直线 l2被这组平行线截得的线段是否 相等 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 探究 1 平行线等分线段定理 操作 1 如图 3 2 13 小方格的边长都是 1 直线 a b b1 b2 分别交 直线 m n 于点 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 图 3 2 13 观察发现 A1A2 A2A3 A3A4之间有什么关系 B1B2 B2B3 B3B4之间有 什么关系呢 2 如果在图 3 2 13 中重新画一条直线 被四条平行直线所截 你猜想 有何结论 归纳 两条直线被一组平行线所截 如果在其中一条直线上截得的线段相 等 那么在另一条直线上截得的线段也相等 探究 2 平行线分线段成比例定理 操作 1 如图 3 2 14 小方格的边长都是 1 直线 a b c 分别交直 线 m n 于点 A1 A2 A3 B1 B2 B3 图 3 2 14 计算 你有什么发现 A1A2 A2A3 B1B2 B2B3 2 将直线 b 向下平移到如图 3 2 15 的位置 直线 m n 与直线 b 的交 点分别为 A2 B2 你在问题 1 中发现的结论还成立吗 如果将 b 平移到其他位 置呢 图 3 2 15 3 如图 3 2 16 在平面上任意作三条平行线 用它们截两条直线 截 得的线段成比例吗 图 3 2 16 4 如何理解 对应线段 如何用语言描述各小组总结的结论 对应线 段成比例 都有哪些表达形式 归纳 两条直线被一组平行线所截 所得的对应线段成比例 探究 3 平行线分线段成比例定理的推论 如果图 3 2 17 中直线 l1 l2相交 且交点 A 刚好落到直线 l3上 那么图 中有哪些成比例线段 依据是什么 图 3 2 17 归纳 平行于三角形一边的直线截其他两边 所得的对应线段成比例 三 应用举例三 应用举例 例 1 教材 P71 例 如图 3 2 18 已知 AA1 BB1 CC1 AB 2 BC 3 A1B1 1 5 求 B1C1的长 图 3 2 18 变式一 如图 3 2 19 在 ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 上 DE BC 已知 AE 6 则 EC 的长是 AD BD 3 4 A 4 5 B 8 C 10 5 D 14 图 3 2 19 图 3 2 20 变式二 如图 3 2 20 在 ABC 中 EF CD DE BC 求证 AF BD AD FD 4 拓展提高拓展提高 1 用平行线分线段成比例计算线段的长度 例 2 如图 3 2 21 已知菱形 BEDF 内接于 ABC 点 E D F 分别在 AB AC 和 BC 上 若 AB 15 BC 12 求菱形的边长 图 3 2 21 5 当堂训练当堂训练 1 教材 P71 练习中的 T1 T2 2 教材 P71 习题 3 2 中的 T1 T2 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 3 3 相似图形相似图形 教学目标 知识与技能 1 掌握相似多边形的相关概念 利用定义判断两个多边形是 否相似 2 掌握相似三角形及相似多边形的基本性质 并能应用其进行简单的 计算 过程与方法 在探索过程中 进一步发展学生归纳 类比 反思 交流等 方面的能力 了解相似多边形的定义 并能根据定义及其基本性质解决问题 情感态度与价值观 发展学生观察 操作 归纳 类比等多方面的能力 提 高学生的数学思维水平 教学重点 探索相似三角形的性质以及性质的应用 教学难点 探索相似三角形的性质及其应用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设情境一 创设情境 引入新课引入新课 播放一些图片 让学生在音乐中欣赏 感受生活中形状相同的图形 欣赏 并找出图中哪些图形是相同的 图 3 3 6 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 探究 1 相似三角形的概念及性质 1 如图 3 3 7 右边的三角形是左边的三角形放大得到的 它们相似吗 2 用量角器量一量两个三角形的三个内角 你发现有什么特殊的地方吗 3 如果每一个小正方形的边长为 1 你能求出两个三角形的边长吗 这 6 条边长有什么关系 图 3 3 7 归纳 1 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等 对应边成比例 2 我们把三个角对应相等 三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角 形 3 若 ABC 与 DEF 相似 且点 A B C 分别与点 D E F 对应 则记 为 ABC DEF 4 相似三角形对应边的比叫作相似比 相似比是有顺序的 探究 2 相似多边形的概念及性质 教师展示课件 播放动画 图 3 3 8 在这两个多边形中是否有相等的内角 夹相等的内角的两边是否成比例 初步感知定义 归纳 1 对于两个边数相同的多边形 如果它们的对应角相等 对应边成比例 那么这两个多边形叫作相似多边形 2 相似多边形对应边的比叫作相似比 表示相似比时 多边形的顺序必须 与相似比的前项和后项分别对应 3 相似用 表示 读作 相似于 如图 3 3 8 中的两个多边形我 们记作六边形 ABCDEF 六边形 A1B1C1D1E1F1 4 相似多边形的对应角相等 对应边成比例 探究 3 1 想一想 1 任意两个等边三角形 正三角形 相似吗 任意两个正方形呢 任意两个 正 n 边形呢 2 任意两个菱形相似吗 2 观察如图 3 3 9 的两组图形 提出问题 多媒体展示 图 中的两个图形相似吗 为什么 图 中的两个图形呢 与同伴交流 图 3 3 9 如果两个多边形不相似 那么它们的各角可能对应相等吗 它们的各边可能对 应成比例吗 让学生充分思考 讨论 交流 教师巡回指导 最后引导学生做 出归纳 3 应用举例应用举例 例 1 如图 3 3 10 ABC A B C 求 的度数和 A C 的长 图 3 3 10 讲评策略 多媒体给出题目 先要求学生理解题意 找出对应顶点 对应 边 对应角 然后利用相似三角形的对应角相等 对应边成比例即可解决问 题 变式一 已知 ABC A1B1C1 且 A 50 B 95 则 C1 A 50 B 95 C 35 D 25 变式二 若 ABC A B C 且 2 则 ABC 与 A B C 相似比是 AB A B A B C 与 ABC 的相似比是 4 拓展提高拓展提高 例 2 在如图 3 3 11 所示的相似四边形中 求未知边 x y 的长度和 的度数 图 3 3 11 例 3 如图 3 3 12 已知 ABC ADE AE 50 cm EC 30 cm BC 70 cm BAC 45 ACB 40 求 1 AED 和 ADE 的度数 2 DE 的长 图 3 3 12 5 当堂训练当堂训练 1 教材 P75 练习中的 T1 T2 2 教材 P76 习题 3 3 中的 T1 T2 T3 T4 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 3 4 1 相似三角形的判定相似三角形的判定 第 1 课时 利用平行证相似 教学目标 知识与技能 理解并掌握判定三角形相似的预备定理 掌握相似三角形的 判定 过程与方法 进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力 情感态度与价值观 通过本节内容教学 体验数学学习活动中探索与创造的 乐趣 通过合作交流学习 培养他们的团队合作精神 增强学习数学的兴趣和 信心 教学重点 判定三角形相似的预备定理的推导与应用 教学难点 判定三角形相似的预备定理的推导 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设情境一 创设情境 引入新课引入新课 在 ABC 中 D 为 AB 的中点 如图 3 4 10 过点 D 作 DE BC 交 AC 于点 E 那么 ADE 与 ABC 的边对应成比例吗 对应角相等吗 ADE 与 ABC 相似吗 图 3 4 10 二 合作交流二 合作交流 探究新知探究新知 探究 判定三角形相似的预备定理 1 在情景导入的基础上 引导学生继续思考 在 ABC 中 D 为 AB 上 任意一点 如图 3 4 11 所示 过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于点 E 那么 ADE 与 ABC 相似吗 2 如果点 D E 分别在 AB AC 的延长线上呢 在 AB AC 的反向延长 线上呢 归纳 平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的延长线 相交 截得 的三角形与原三角形相似 三 应用举例三 应用举例 例 1 如图 3 4 12 在平行四边形 ABCD 中 DE 交 BC 于点 F 交 AB 的延长线于点 E 1 请写出图中相似的三角形 2 请由其中的一对相似三角形写出相应的比例式 3 请说明 AE BF 与 AD BE 是否相等 讲评策略 学生分组讨论 交流 教师巡视指导 然后请三位学生板书答 案 教师对学生的答案进行点评 给出正确答案 1 EBF EAD CDF BEF EAD DCF 2 举一例 在 EBF EAD 中 有 EB EA EF ED 还有两种情形鼓励学生自行解答 3 由 2 可得 AE BF AD BE BF AD 图 3 4 12 四 拓展提高四 拓展提高 例 2 如图 3 4 13 已知四边形 ABCD 是平行四边形 1 求证 MEF MBA 2 若 AF BE 分别是 DAB CBA 的平分线 求证 DF EC 图 3 4 13 五 当堂训练五 当堂训练 1 教材 P78 练习中的 T1 T2 2 教材 P89 习题 3 4 中的 T1 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 第 2 课时 利用两角证相似 教学目标 知识与技能 经历两个三角形相似条件的探索过程 增强发现问题 提出问 题的意识 进一步体会类比 分类 归纳等思想与方法 过程与方法 通过运用三角形相似的条件解决简单问题 进一步发展合情 推理能力和初步的逻辑推理能力 情感态度与价值观 通过本节内容教学 使学生认识数学与生活的密切联系 体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣 通过合作交流学习 培养他们的团 队合作精神 增强学习数学的兴趣和信心 教学重点 相似三角形的判定方法以及推导过程 并会用判定定理进行相 关证明和计算 教学难点 利用相似三角形的判定定理说理 证明 和应用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设情境一 创设情境 引入新课引入新课 小明和小亮在老师的指导下分别制作了两个风筝 这两个风筝的形状有何 关系 如何判定这两个三角形形状的风筝相似呢 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 两个三角形相似的判定定理 1 如果两个三角形只有一个角相等 它们一定相似吗 如果有两个角分别相 等呢 结合问题 小组内同学合作对下面的问题进行动手操作 1 画两个三角形 使得每个三角形都有一个角等于 裁剪下来对比这两 个三角形是否相似 2 小组内成员分别画 ABC 和 A B C 使得 A 和 A 都等于 B 和 B 都等于 裁剪下来对比这两个三角形是否相似 3 改变 的度数 两人一组分别画 ABC 和 A B C 并展开讨论 两个三角形是否相似 归纳 两角分别相等的两个三角形相似 如图 3 4 36 在 ABC 和 A B C 中 A A B B ABC A B C 图 3 4 36 3 应用举例应用举例 例 1 教材 P80 例 3 如图 3 4 37 在 ABC 中 C 90 从点 D 分别作边 AB BC 的垂线 垂足分别为点 E F DF 与 AB 交于点 H 求证 DEH BCA 图 3 4 37 讲评策略 先让学生自己从图中找角的关系 看两个三角形中是否有两个 角相等 再让学生组织语言证明 对语言使用不规范的要加以纠正 变式一 如图 3 4 38 当 DE 不平行于 BC 时 ADE 与 ABC 还可 能相似吗 满足什么条件时这两个三角形相似 图 3 4 38 图 3 4 39 变式二 如图 3 4 39 点 D 在 ABC 的边 AC 上 请添加一个角的条 件使得 ADB 与 ABC 相似 4 拓展提高拓展提高 1 利用判定定理 1 求线段的长度 例 2 在 ABC 中 D 是 AB 上的点 且 ACD B 试说明 1 ABC 与 ACD 相似 2 AD 4 AC 6 求 AB 的长度 图 3 4 40 图 3 4 41 2 与三角形全等综合证明角相等 例 3 如图 3 4 41 四边形 ABCD 是平行四边形 点 F 在 BA 的延长线 上 连接 CF 交 AD 于点 E 1 求证 CDE FAE 2 当 E 是 AD 的中点 且 BC 2CD 时 求证 F BCF 5 当堂训练当堂训练 1 教材 P80 练习中的 T1 T2 2 教材 P89 习题 3 4 中的 T2 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 第 3 课时 利用两边及夹角证相似 教学目标 知识与技能 理解并掌握三角形相似的判定定理 两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似 在进行探索的活动过程中 发展类比的数学思想 激发学生的探索发现归纳意识 增强合情推理的语言表达能力 过程与方法 掌握相似三角形的判定定理 并能运用判定定理进行有关证明 和计算 发展应用意识 情感态度与价值观 培养学生积极思考 动手 观察的能力 使学生感悟 几何知识在生活中的价值 教学重点 掌握相似三角形的判定定理 两边对应成比例且夹角相等的 两个三角形相似 教学难点 相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设情境一 创设情境 引入新课引入新课 1 如图 3 4 60 A B 两点被池塘隔开 小明为了测量 A B 两点间的 距离 在池塘边任选一点 C 连接 AC BC 并延长 AC 到 D 使 CD AC 1 2 延长 BC 到 E 使 CE BC 连接 DE 如果测量得 DE 20 m 那么 1 2 AB 2 20 40 m 你想知道这是为什么吗 图 3 4 60 2 如图 3 4 61 现用一个交叉卡钳 两条尺长 AC 和 BD 相等 OC OD 量内孔直径 AB 若 OC OA 1 2 如果测量得 CD 10 cm 那么 AB 2 10 20 cm 你知道这是为什么吗 图 3 4 61 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 相似三角形的判定定理 2 1 画 ABC 与 A B C 使 A A 设法比较 B 与 AB A B AC A C B 的大小 或 C 与 C ABC 和 A B C 相似吗 2 画 ABC 与 A B C 使 B B 设法比较 A AB A B BC B C 与 A 的大小 或 C 与 C ABC 和 A B C 相似吗 先留给学生 3 分钟的时间独立作图思考 建议学生采用给出的角度和长度 每人画出两组图进行比较 并引导学生根据上一课时得到的判定定理判断三角 形是否相似 达到了巩固旧知 探索新知的目的 归纳 判定定理 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 3 应用举例应用举例 例 1 教材 P82 例 5 如图 3 4 62 在 ABC 与 DEF 中 已知 C F 70 AC 3 5 cm BC 2 5 cm DF 2 1 cm EF 1 5 cm 图 3 4 62 证明 AC 3 5 cm BC 2 5 cm DF 2 1 cm EF 1 5 cm 又 C F 70 ABC DF AC 2 1 3 5 3 5 EF BC 1 5 2 5 3 5 DF AC EF BC DEF 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 变式一 如图 3 4 63 D 在 ABC 的 AB 边上 AD 1 BD 2 AC 问 ACD 与 ABC 相似吗 请说明你的理由 3 图 3 4 63 图 3 4 64 变式二 如图 3 4 64 已知 BD CE 为 ABC 的高 试说明 ADE 与 ABC 是否相似 4 拓展提高拓展提高 1 共角相似三角形及应用 例 2 如图 3 4 65 D E 分别是 ABC 的边 AC AB 上的点 若 AE 1 5 AC 2 BC 3 且 求 DE 的长 AD AB 3 4 图 3 4 65 2 灵活运用判定方法判定三角形相似 例 3 如图 3 4 66 ABC 与 A B C 相似吗 你有哪些判断方法 图 3 4 66 例 4 如图 3 4 67 正方形 ABCD 中 E 为 AB 的中点 BF BC 那么图中 1 4 与 ADE 相似的三角形有几个 选择其中的一组写出证明过程 图 3 4 67 5 当堂训练当堂训练 1 教材 P82 练习中的 T1 T2 2 教材 P89 习题 3 4 中的 T3 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 第 4 课时 利用三边成比例证相似 教学目标 知识与技能 理解并掌握三角形相似的判定定理 三边成比例的两个三角 形相似 并能运用判定定理进行有关证明和计算 发展应用意识 过程与方法 在进行探索的活动过程中 发展类比的数学思想 激发学生 的探索发现归纳意识 增强合情推理的语言表达能力 情感态度与价值观 培养学生积极思考 动手 观察的能力 使学生感悟 几何知识在生活中的价值 教学重点 掌握相似三角形的判定定理 三边成比例的两个三角形相似 教学难点 相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 问题情境一 问题情境 引入新课引入新课 我们已经学习了哪些判别两个三角形相似的方法 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 1 画 ABC 与 A B C 使 ABC 的边长是 A B C 的边长的 K 倍 分别度量 A 和 A B 和 B C 和 C 的大小由此你有什么发现 它们分别 相等吗 先留给学生 3 分钟的时间独立作图思考 建议学生采用给出的角度和长度 每人画出两组图进行比较 并引导学生根据上一课时得到的判定定理判断三角 形是否相似 达到了巩固旧知 探索新知的目的 归纳 判定定理 3 三边成比例的两个三角形相似 3 应用举例应用举例 例 1 教材 P84 例 7 在 Rt ABC 与 Rt A B C 中 C 90O和 C 90O 求证 Rt ABC Rt A B C AB A B AC A C 例 2 教材 P84 例 8 判断下图中的两个三角形是否相似 并说明理 变式一 如图 ABC 与 A B C 相似吗 你有哪些判断方法 变式二 如图 已知点 O 是 ABC 内任一点 连接 OA OB OC 点 D E F 分别是 OA OB OC 的中点 求证 ABC DEF 四 拓展提高四 拓展提高 1 如图 3 ABC 与 ACD 都是直角三角形 ACB ADC 90 已知 AB 20 BC 12 CD 9 6 求证 ABC ACD 3 如图 4 ABC 中 B 48 ADC 77 AB BC AD AC BD AB 求 C 的度数 4 如图 5 ABC 中 EF AB DE BC AD DB 2 3 CB 10 求 FC 的长 五 当堂训练五 当堂训练 1 教材 P89 练习中的 T1 T2 T3 2 教材 P89 习题 3 4 中的 T8 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 3 4 2 相似三角形的性质相似三角形的性质 第 1 课时 相似三角形对应重要线段的性质 教学目标 知识与技能 经历探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系的过程 图 图 3图 D C B A 图 图 4图 DC B A 图 图 5图 F D C B A E 理解相似多边形的性质 利用相似三角形的性质解决一些实际问题 过程与方法 通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系 培养学 生的探索精神和合作意识 情感态度与价值观 通过运用相似三角形的性质 增强学生的应用意识 培 养学生独立思考的习惯 使学生在数学活动中获得成功的体验 教学重点 运用相似三角形的性质解决实际问题 教学难点 相似三角形的性质的运用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设情境一 创设情境 引入新课引入新课 在生活中 我们经常利用相似的知识解决建筑类问题 如图 小王依据图 纸上的 ABC 以 1 2000 的比例建造了模型房梁 A B C CD 和 C D 分 别是它们的立柱 问题 1 试写出 ABC 与 A B C 的对应边和对应角之间的关系 问题 2 ACD 与 A C D 相似吗 为什么 如果相似 指出它们的相似 比 问题 3 如果 CD 1 5 cm 那么模型房的房梁立柱有多高 问题 4 据此 你可以发现相似三角形的什么性质 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 相似三角形对应中线的比 对应角平分线的比 对应高的比等于相似比 1 如图 已知 ABC A B C 相似比为 k AD 平分 BAC A D 平分 B A C E E 分别为 BC B C 的中点 试探究 AD 与 A D 的比值 AE 与 A E 的比呢 2 如果把 AD A D 换成三角形的高 结论还成立吗 通过学生小组合作探究 类比前面的探究过程 至少证明其中一个结论 完成后再展示说明 学生之间互相补充 教师适时点评 归纳 相似三角形对应边上的中线的比 对应角平分线的比 对应高的比 都等于相似比 3 应用举例应用举例 例 1 如图 CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高 DE AC 垂足为点 E 已 知 CD 2 AB 6 AC 4 求 DE 的长 变式一 两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5 cm 求 这两个三角形的相似比 在这两个三角形的一组对应中线中 如果较短的中线 是 3 cm 那么较长的中线有多长 变式二 钳工小王准备按照比例尺为 3 4 的图纸制作三角形零件 如图 3 4 122 图纸上的 ABC 表示该零件的横断面 A B C CD 和 C D 分别是 它们的高 图 3 4 122 1 各等于多少 AB A B BC B C AC A C 2 ABC 与 A B C 相似吗 如果相似 请说明理由 并指出它们的相似 比 3 请在图中再找出一对相似三角形 4 等于多少 你是怎样做的 CD C D 四 当堂训练四 当堂训练 1 教材 P87 练习中的 T1 T2 2 教材 P90 习题 3 4 中的 T5 五 课时小结五 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 六 教学反思六 教学反思 第 2 课时 相似三角形对应周长和面积的性质 教学目标 知识与技能 理解并掌握相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似 比的平方 并能用来解决简单的问题 过程与方法 培养学生全面地观察问题与分析问题的能力 进一步培养学 生的逆向思维能力 打破思维定势的束缚 情感态度与价值观 在探索过程中发展学生积极的情感 态度 价值观 体验解决问题策略的多样性 教学重点 理解相似三角形的周长比等于相似比 面积比等于相似比的平 方 教学难点 相似三角形的周长比 面积比与相似比的关系的推导和应用 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设问题情境一 创设问题情境 引入新课引入新课 在比例尺为 1 500 的地图上 测得一个三角形地块的周长为 12 cm 面 积为 6 cm2 求这个地块的实际周长及面积 问题 1 在这个情景中 地图上的三角形形状的地块与实际地块是什么关 系 1 500 表示什么含义 问题 2 要解决这个问题 需要什么知识 问题 3 你能对这个地块的实际周长与面积做出估计吗 问题 4 如何说明你的猜想是否正确呢 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 相似三角形的周长的比等于相似比 面积比等于相似比的平方 1 请大家在如图 3 4 144 的 6 6 的方格纸 每个方格的边长为单位 1 上 画出一个与 ABC 相似 且相似比不是 1 的格点三角形 A B C 图 3 4 144 2 分别求出两个三角形的周长和面积 计算它们的周长比和面积比 你发 现了什么规律 3 如果 ABC A B C 且相似比为 k 那么 ABC 与 A B C 的周长比 是多少 面积比呢 说说你的理由 师生活动 先让学生独立完成探究中的 1 2 两个问题 然后小组之间进行 交流 教师巡视指导 及时发现学生不同的做法 教师用投影展示他们的做法 并指出学生的做法虽然不同 但得出的结论是一致的 这时教师进一步追问 如果相似三角形的相似比为 k 上述结论是否仍然成立 自然引出第 3 个问题 先让学生在学案上规范地写出证明 然后找一名较好的学生在黑板上板演并讲 解 归纳 相似三角形的周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 3 应用举例应用举例 例 1 教材 P88 例 12 已知 ABC 与 A B C 的相似比为 且 S 2 3 ABC S A B C 91 求 A B C 的面积 变式一 如图 3 4 145 已知 ABC A B C 它们的周长分别为 60 cm 和 72 cm 且 AB 15 cm B C 24 cm 求 BC AC A B A C 的长 图 3 4 145 变式二 如图 3 4 146 分别取等边三角形 ABC 各边的中点 D E F 得 DEF 若 ABC 的边长为 a 1 DEF 与 ABC 相似吗 2 求两个三角形的周长比与面积比 图 3 4 146 4 拓展提高拓展提高 例 2 如图 3 4 147 点 M 是 ABC 内一点 过点 M 分别作直线平行 于 ABC 的各边 若所形成的三个小三角形 1 2 3 图中阴影部分 的面 积分别是 4 9 和 49 则 ABC 的面积是 图 3 4 147 例 3 如图 3 4 148 在 ABC 中 DE BC DE 8 cm BC 12 cm 梯形 BCED 的面积为 90 cm2 求 S ADE 图 3 4 148 5 当堂训练当堂训练 1 教材 P89 练习中的 T1 T2 T3 2 教材 P90 习题 3 4 中的 T6 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 七 教学反思七 教学反思 3 5 相似三角形的应用 教学目标 知识与技能 掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题 过程与方法 巩固相似三角形的有关知识 提高综合运用三角形相似的判定 条件和性质解决问题的能力 发展数学应用意识 加深对相似三角形的理解和 认识 情感态度与价值观 通过问题情境的设置 培养积极的进取精神 增强数 学学习的自信心 实现学生之间的交流合作 体现数学知识解决实际问题的价 值 教学重点 综合运用相似三角形的判定和性质解决实际问题 教学难点 把生活中的问题转化为数学问题 利用工具构造相似三角形模 型 教具准备 小镜子 标杆 皮尺等测量工具 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设问题情境一 创设问题情境 引入新课引入新课 1 今天我们要上一节活动课 任务是利用三角形相似的有关知识 测量我 校操场上旗杆的高度 你能采用什么办法 先独立思考 再小组交流 图 3 5 1 2 每个小组准备好小镜子 标杆 皮尺等测量工具 分组活动 全班交流 研讨 并运用所学知识验证结论的正确性 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 探究 1 方法 1 利用阳光下的影子 原理 这是直接运用相似三角形的方法 操作方法 如图 3 5 2 一名学生直立于旗杆影子的顶端处 测出该同 学的影长和此时旗杆的影长 图 3 5 2 说明 AE CB 表示光线 DC 表示旗杆 EB 表示人的影长 AB 表示身 高 BD 表示旗杆的影长 探究 2 方法 2 利用标杆测量旗杆的高度 原理 这是间接运用相似三角形 的方法 操作方法 如图 3 5 3 选一名学生为观测者 在他和旗杆之间的地面 上直立一根高度已知的标杆 观测者前后调整自己的位置 使旗杆顶部 标杆 顶部与眼睛恰好在同一直线上时 分别测出他的目高 标杆的高 他的脚与旗 杆底部以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度 图 3 5 3 图 3 5 4 探究 3 方法 3 利用镜子的反射 原理 这是直接运用相似三角形的方法 操作方法 如图 3 5 4 选一名学生作为观测者 在他与旗杆之间的地面上 平放一面镜子 固定镜子的位置 观测者看着镜子来回调整自己的位置 使自 己能够通过镜子看到旗杆顶端 测出此时他的目高 他的脚与镜子的距离 旗 杆底部 与镜子的距离就能求出旗杆的高度 3 应用举例应用举例 例 1 教材 P92 例 在用步枪瞄准靶心时 要使眼睛 O 准星 A 靶心 点 B 在同一条直线上 在射击时 李明由于有轻微的抖动 致使准星 A 偏离到 A 如图 3 5 5 所示 已知 OA 0 2 m OB 50 m AA 0 0005 m 求李 明射击到的点 B 偏离靶心点 B 的长度 BB 近似地认为 AA BB 图 3 5 5 变式一 已知高 4 m 的旗杆在水平地面上的影子长为 6 m 此时测得附近 一 个建筑物的影子长为 24 m 求该建筑物的高度 如图 3 5 6 所示 图 3 5 6 图 3 5 7 变式二 明明想用镜子测量一棵古松树的高 但因树旁有一条小河 不能 测量镜子与树之间的距离 于是他两次利用镜子 如图 3 5 第一次他把 镜子放在 C 点 人在 F 点正好从镜中看到树尖 A 第二次他把镜子放在 C 处 人在 F 处正好看到树尖 A 已知明明眼睛距地面 1 70 m 量得 CC 为 12 m CF 为 1 8 m C F 为 3 84 m 求这棵古松树的高度 4 拓展提高拓展提高 1 利用太阳光求物体的高度 例 2 如图 3 5 8 AB 表示一个窗户的高 AM 和 BN 表示射入室内的 光线 窗户的下端到地面的距离 BC 1 米 已知某一时刻 BC 在地面的影长 CN 1 5 米 AC 在地面的影长 CM 4 5 米 求窗户的高度 图 3 5 8 图 3 5 9 2 运用平面镜反射求物体的高度 例 3 如图 3 5 9 是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图 点 P 处放一水平的平面镜 光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物 CD 的顶端 C 处 已知 AB BD CD BD 且测得 AB 1 2 米 BP 1 8 米 PD 12 米 那么该建筑物的高度是多少米 3 测量建筑物的高度 例 4 如图 3 5 10 亮亮蹲在地上 颖颖站在亮亮和楼之间 两人适当 调整自己的位置 当楼的顶部 M 颖颖的头顶 B 及亮亮的眼睛 A 恰在一条直线 上时 两人分别标定自己的位置 C D 然后测出两人之间的距离 CD 1 25 m 颖颖与楼之间的距离 DN 30 m 颖颖的身高 BD 1 6 m 亮亮蹲地观测时 眼睛到地面的距离 AC 0 8 m 你能根据以上测量数据帮助他们求出该住宅楼 的高度吗 图 3 5 10 5 当堂训练当堂训练 1 教材 P92 练习中的 T1 T2 2 教材 P93 习题 3 5 中的 T1 T2 T3 六 课时小结六 课时小结 1 本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2 本节课还有哪些疑惑 说一说 知识网络 利用太阳光下的影子测物高 相似的应用利用标杆测物高 利用平面镜反射测物高 七 教学反思七 教学反思 3 6 位似 第 1 课时 位似图形 教学目标 知识与技能 理解位似多边形的定义及相关性质 过程与方法 掌握判断两个多边形是否是位似多边形的方法 并能准确指 出位似中心和位似比 初步掌握把多边形按照一定比例放大或缩小的绘图方 法 情感态度与价值观 基于学生对图形学习的兴趣 锻炼学生勤于动手实践的 品质 培养学生从多个角度 不同思路解决问题的思维习惯和严谨的数学学习 态度 增强学生学习数学的信心 教学重点 掌握判断两个多边形是否是位似多边形的方法 并能准确指出 位似中心和位似比 教学难点 初步掌握把多边形按照一定比例放大或缩小的绘图方法 教具准备 多媒体 授课类型 新授课 教学过程 一 创设情境一 创设情境 引入新课引入新课 1 问题 1 观察下列图形 每组图形有什么特点 图 3 6 1 问题 2 在图片 上取一点 A 它与另一张图片 如图片 上相应的点 B 之 间的连线是否经过镜头中心 P 在图片上换其他的点试一试 还有类似的规律 吗 2 请同学们观察一组图片 思考下列问题 图 3 6 2 1 它们是相似图形吗 2 图形位置间有什么关系 你能寻找出一些规律吗 归纳 如果两个相似多边形每组对应点所在的直线都经过同一个点 O 且每组 对应点与 O 点的距离之比都等于一个定值 k 例如 OA k OA k 0 那么这 样的两个多边形叫作位似多边形 点 O 叫作位似中心 2 合作交流合作交流 探究新知探究新知 探究 1 位似多边形的概念 如图 3 6 3 这组四边形除了相似 还有其他特点么 每组对应点到 O 点的距离的比值有什么关系 图 3 6 3 学生先自主观察图形的特点 然后在小组内交流自已的看法 交流后借助 多媒体展示自己的成果 学生经过小组交流后会得到结论 教师在学生