椭圆培优提高

高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 1 1 设 F1 F2分别是椭圆 1 的左 右焦点 P 为椭圆上一点 M 是 F1P 的中点 x2 25 y2 16 OM 3 则 P 点到椭圆左焦点的距离为 A 4 B 3 C 2 D 5 解析 由题意知 在 PF1F2中 OM PF2 3 1 2 PF2 6 PF1 2a PF2 10 6 4 答案 A 2 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F 1 0 离心率等于 则 C 的方程是 1 2 A 1 B 1 x2 3 y2 4 x2 4 y2 3 C 1 D y2 1 x2 4 y2 3 x2 4 解析 依题意 所求椭圆的焦点位于 x 轴上 且 c 1 e a 2 b2 a2 c2 3 因此 c a 1 2 其方程是 1 x2 4 y2 3 答案 C 3 已知椭圆的方程为 2x2 3y2 m m 0 则此椭圆的离心率为 A B C D 1 3 3 3 2 2 1 2 解析 由 1 c2 a2 b2 x2 m 2 y2 m 3 a2 m 2 b2 m 3 m 6 e2 e 1 3 3 3 答案 B 4 已知圆 M x2 y2 2mx 3 0 m 0 的半径为 2 椭圆 C 1 的左焦点为 x2 a2 y2 3 F c 0 若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线 l 与圆 M 相切 则 a 的值为 A B 1 C 2 D 4 3 4 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 2 解析 圆 M 的方程可化为 x m 2 y2 3 m2 则由题意得 m2 3 4 即 m2 1 mb 0 的半焦距为 c 原点 O 到经过两点 c 0 0 b 的直线的 x2 a2 y2 b2 距离为 c 1 2 1 求椭圆 E 的离心率 2 如图 AB 是圆 M x 2 2 y 1 2 的一条直径 若椭圆 E 经过 A B 两点 求椭圆 E 的 5 2 方程 解析 1 过点 c 0 0 b 的直线方程为 bx cy bc 0 则原点 O 到该直线的距离 d bc b2 c2 bc a 由 d c 得 a 2b 2 解得离心率 1 2a2 c2 c a 3 2 2 方法一 由 1 知 椭圆 E 的方程为 x2 4y2 4b2 依题意 圆心 M 2 1 是线段 AB 的中点 且 AB 10 易知 AB 与 x 轴不垂直 设其方程为 y k x 2 1 代入 得 1 4k2 x2 8k 2k 1 x 4 2k 1 2 4b2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 8k 2k 1 1 4k2 x1x2 4 2k 1 2 4b2 1 4k2 由 x1 x2 4 得 4 解得 k 8k 2k 1 1 4k2 1 2 从而 x1x2 8 2b2 于是 AB x1 x2 1 1 2 2 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 6 5 2 x1 x2 2 4x1x210 b2 2 由 AB 得 解得 b2 3 1010 b2 2 10 故椭圆 E 的方程为 1 x2 12 y2 3 所以 x1 x2 4 x1x2 8 2b2 于是 AB x1 x2 1 1 2 2 5 2 x1 x2 2 4x1x210 b2 2 由 AB 得 解得 b2 3 1010 b2 2 10 故椭圆 E 的方程为 1 x2 12 y2 3 12 图 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 过 F2的直线交椭圆于 P Q 两点 x2 a2 y2 b2 且 PQ PF1 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 7 1 若 PF1 2 PF2 2 求椭圆的标准方程 22 2 若 PF1 PQ 求椭圆的离心率 e 2 方法一 连接 QF1 如图 设点 P x0 y0 在椭圆上 且 PF1 PF2 则 1 x y c2 x2 0 a2 y2 0 b22 02 0 求得 x0 y0 a c a2 2b2 b2 c 由 PF1 PQ PF2 得 x0 0 从而 PF1 2 2 2 a2 b2 a a2 2b2 c c b4 c2 2a 2 a2 2b2 a a2 2b2 由椭圆的定义 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 从而由 PF1 PQ PF2 QF2 有 QF1 4a 2 PF1 又由 PF1 PF2 PF1 PQ 知 QF1 PF1 2 因此 2 PF1 4a 2 即 2 a 4a 2a2 2b2 于是 2 1 4 解得 22e2 1 e 1 2 1 4 2 2 1 2 63 方法二 连接 QF1 如图 由椭圆的定义 高考资源网 您身边的高考专家 版权所有 高考资源网 8 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 从而由 PF1 PQ PF2 QF2 有 QF1 4a 2 PF1 又由 PF1 PQ PF1 PQ 知 QF1 PF1 2 因此 4a 2 PF1 PF1 2 PF1 2 2 a 2 从而 PF2 2a PF1 2a 2 2 a 2 1 a 22 由 PF1 PF2 知 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2c 2 因此 e c a PF1 2 PF2 2 2a 2 2 2 2 1 29 6 263 13 设 F1 F2分别是椭圆 E 1 a b 0 的左 右焦点 过点 F1的直线交椭圆 E 于 x2 a2 y2 b2 A B 两点 AF1 3 F1B 1 若 AB 4 ABF2的周长为 16 求 AF2 2 若 cos AF2B 求椭圆 E 的离心率 3 5 解 1 由 AF1 3 F1B AB 4 得 AF1 3 F1B 1 因为 ABF2的周长为 16 所以由椭圆定义可得 4a 16 AF1 AF2 2a 8 故 AF2 2a AF1 8 3 5 2 设 F1B k 则 k 0 且 AF1 3k AB 4k 由椭圆定义可得 AF2 2a 3k BF2 2a k 在 ABF2中 由余弦定理可得 AB 2 AF2 2 BF2 2 2 AF2 BF2 cos AF2B 即 4k 2 2a 3k 2 2a k 2 2a 3k 2a k 6 5 化简可得 a k a 3k 0 高考资源网 您身边