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精品文档 1欢迎下载 导数导数 导数的意义为函数的变化率意义为函数的变化率 由定义 00 0 00 limlim xx f xxf xy fx xx 可知 导数是对应一元函数的导数是对应一元函数的 偏导偏导数 0000 00 0 lim x x f xx yf xy fxy x 偏导数是对应于多元函数的对应于多元函数的 其意义是 0000 00 0 lim y y f xyyf xy fxy y 偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率坐标轴方向的变化率 方向导数方向导数 设 为 xOy平面上以 为始发点的一条射线 是l 000 P xy cos cos l e 与 同方向的单位向量 则该射线的参数方程为 那么 函数 在l 0 0 cos cos xxt yyt f x y 沿 方向的方向导数为 000 P xyl 从方向导数的定义可知 方向导 00 0000 0 cos ycos lim t xy f xttf xyf lt 数就是函数在点沿方向沿方向 的变化率的变化率 方向导数也是对应于多元方向导数也是对应于多元 00 xy f l f x y 000 P xyl 函数的函数的 方向导数是一个标量值方向导数是一个标量值 方向导数与偏导数的关系方向导数与偏导数的关系 如果函数在点可微分 那么函数在改点沿任 f x y 000 P xy 意方向 的方向导数存在 且有 其中l 00 0000 cos cos xy xy f fxyfxy l 为方向 的方向余弦 若方向也就是 x 轴方向 则 cos cos l e l 1 0 l e 若方向也就是 y 轴方向 则 00 00 x xy f fxy l 0 1 l e 00 00 y xy f fxy l 精品文档 2欢迎下载 梯度 梯度 设函数在平面区域 D 内有一阶连续偏导数 则对于每一个点 f x y 都可以定出一个向量向量 这向量称为函数 000 P xyD 0000 xy fxyfxy ij 在点的梯度 即 f x y 000 P xy 000000 xy f xyfxyfxy gradij 方向导数与梯度关系 如果函数在点可微分 是方 f x y 000 P xy cos cos l e 向 同向的单位向量 则 其中为l 00 0000 0000 cos cos cos xy xy l f fxyfxy l f xyf xy gradegrad 梯度与方向的夹角 从上式可以看出当时 方向导数取得最大值 00 f xygrad l e0 也就是梯度的模 总结总结 函数在一点的梯度是个向量梯度是个向量 它的方向是函数 00 f xygrad 在这点的方向导数取得最大值的方向方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值 精品文档 3欢迎下载 欢迎您的下载
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