高中数学数列专题大题训练

第 1 页 共 24 页 高中数学数列专题大题组卷高中数学数列专题大题组卷 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 2 已知各项均为正数的等比数列 an a1a2a3 5 a7a8a9 10 则 a4a5a6 A B 7C 6D 3 数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 an 1 3Sn n 1 则 a6 A 3 44B 3 44 1 C 44D 44 1 4 已知数列 an 满足 3an 1 an 0 a2 则 an 的前 10 项和等于 A 6 1 3 10 B C 3 1 3 10 D 3 1 3 10 5 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S3 a2 10a1 a5 9 则 a1 A B C D 6 已知等差数列 an 满足 a2 a4 4 a3 a5 10 则它的前 10 项的和 S10 A 138 B 135 C 95D 23 7 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则 m A 3B 4C 5D 6 8 等差数列 an 的公差为 2 若 a2 a4 a8成等比数列 则 an 的前 n 项和 Sn A n n 1 B n n 1 C D 9 设 an 是等差数列 下列结论中正确的是 A 若 a1 a2 0 则 a2 a3 0B 若 a1 a3 0 则 a1 a2 0 C 若 0 a1 a2 则 a2D 若 a1 0 则 a2 a1 a2 a3 0 第 2 页 共 24 页 二 解答题 共二 解答题 共 14 小题 小题 10 设数列 an n 1 2 3 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an a1 且 a1 a2 1 a3成等差数列 求数列 an 的通项公式 记数列 的前 n 项和为 Tn 求使得 Tn 1 成立的 n 的最小值 11 设等差数列 an 的公差为 d 前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的公比为 q 已 知 b1 a1 b2 2 q d S10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 2 当 d 1 时 记 cn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 12 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 3an 1 证明 an 是等比数列 并求 an 的通项公式 证明 13 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且 a1 a11 a13成等比数列 求 an 的通项公式 求 a1 a4 a7 a3n 2 14 等差数列 an 中 a7 4 a19 2a9 求 an 的通项公式 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 15 已知等比数列 an 中 a1 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 证明 Sn 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的通项公式 16 已知数列 an 满足 an 2 qan q 为实数 且 q 1 n N a1 1 a2 2 且 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 1 求 q 的值和 an 的通项公式 第 3 页 共 24 页 2 设 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 17 已知数列 an 是首项为正数的等差数列 数列 的前 n 项和为 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn an 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 18 已知数列 an 和 bn 满足 a1 2 b1 1 an 1 2an n N b1 b2 b3 bn bn 1 1 n N 求 an与 bn 记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 19 已知数列 an 是递增的等比数列 且 a1 a4 9 a2a3 8 1 求数列 an 的通项公式 2 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 20 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 2Sn 3n 3 求 an 的通项公式 若数列 bn 满足 anbn log3an 求 bn 的前 n 项和 Tn 21 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 a an 1 Sn 3n n N 由 设 bn Sn 3n 求数列 bn 的通项公式 若 an 1 an n N 求 a 的取值范围 22 已知等差数列 an 的公差为 2 前 n 项和为 Sn 且 S1 S2 S4成等比数列 求数列 an 的通项公式 令 bn 1 n 1 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 23 数列 an 满足 a1 1 nan 1 n 1 an n n 1 n N 证明 数列 是等差数列 设 bn 3n 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 第 4 页 共 24 页 第 5 页 共 24 页 高中数学数列专题大题组卷高中数学数列专题大题组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 9 小题 小题 1 1996 全国 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项和为 A 130 B 170 C 210 D 260 分析 利用等差数列的前 n 项和公式 结合已知条件列出关于 a1 d 的方程 组 用 m 表示出 a1 d 进而求出 s3m 或利用等差数列的性质 sm s2m sm s3m s2m成等差数列进行求解 解答 解 解法 1 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 由题意得方程组 解得 d a1 s3m 3ma1 d 3m 210 故选 C 解法 2 设 an 为等差数列 sm s2m sm s3m s2m成等差数列 即 30 70 s3m 100 成等差数列 30 s3m 100 70 2 解得 s3m 210 故选 C 点评 解法 1 为基本量法 思路简单 但计算复杂 解法 2 使用了等差数列 的一个重要性质 即等差数列的前 n 项和为 sn 则 sn s2n sn s3n s2n 成等差 数列 第 6 页 共 24 页 2 2010 大纲版 已知各项均为正数的等比数列 an a1a2a3 5 a7a8a9 10 则 a4a5a6 A B 7C 6D 分析 由数列 an 是等比数列 则有 a1a2a3 5 a23 5 a7a8a9 10 a83 10 解答 解 a1a2a3 5 a23 5 a7a8a9 10 a83 10 a52 a2a8 故选 A 点评 本小题主要考查等比数列的性质 指数幂的运算 根式与指数式的互 化等知识 着重考查了转化与化归的数学思想 3 2011 四川 数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 an 1 3Sn n 1 则 a6 A 3 44B 3 44 1 C 44D 44 1 分析 根据已知的 an 1 3Sn 当 n 大于等于 2 时得到 an 3Sn 1 两者相减 根 据 Sn Sn 1 an 得到数列的第 n 1 项等于第 n 项的 4 倍 n 大于等于 2 所以得 到此数列除去第 1 项 从第 2 项开始 为首项是第 2 项 公比为 4 的等比数列 由 a1 1 an 1 3Sn 令 n 1 即可求出第 2 项的值 写出 2 项以后各项的通项公 式 把 n 6 代入通项公式即可求出第 6 项的值 解答 解 由 an 1 3Sn 得到 an 3Sn 1 n 2 两式相减得 an 1 an 3 Sn Sn 1 3an 则 an 1 4an n 2 又 a1 1 a2 3S1 3a1 3 得到此数列除去第一项后 为首项是 3 公比为 4 的等比数列 所以 an a2qn 2 3 4n 2 n 2 则 a6 3 44 故选 A 第 7 页 共 24 页 点评 此题考查学生掌握等比数列的确定方法 会根据首项和公比写出等比 数列的通项公式 是一道基础题 4 2013 大纲版 已知数列 an 满足 3an 1 an 0 a2 则 an 的前 10 项和 等于 A 6 1 3 10 B C 3 1 3 10 D 3 1 3 10 分析 由已知可知 数列 an 是以 为公比的等比数列 结合已知可 求 a1 然后代入等比数列的求和公式可求 解答 解 3an 1 an 0 数列 an 是以 为公比的等比数列 a1 4 由等比数列的求和公式可得 S10 3 1 3 10 故选 C 点评 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用 属于基 础试题 5 2013 新课标 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S3 a2 10a1 a5 9 则 a1 A B C D 分析 设等比数列 an 的公比为 q 利用已知和等比数列的通项公式即可得到 解出即可 第 8 页 共 24 页 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q S3 a2 10a1 a5 9 解得 故选 C 点评 熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键 6 2008 全国卷 已知等差数列 an 满足 a2 a4 4 a3 a5 10 则它的前 10 项的和 S10 A 138 B 135 C 95D 23 分析 本题考查的知识点是等差数列的性质 及等差数列前 n 项和 根据 a2 a4 4 a3 a5 10 我们构造关于基本量 首项及公差 的方程组 解方程组求 出基本量 首项及公差 进而代入前 n 项和公式 即可求解 解答 解 a3 a5 a2 a4 2d 6 d 3 a1 4 S10 10a1 95 故选 C 点评 在求一个数列的通项公式或前 n 项和时 如果可以证明这个数列为等 差数列 或等比数列 则可以求出其基本项 首项与公差或公比 进而根据等 差或等比数列的通项公式 写出该数列的通项公式 如果未知这个数列的类型 则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关 间接求其通项公式 7 2013 新课标 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则 m A 3B 4C 5D 6 第 9 页 共 24 页 分析 由 an与 Sn的关系可求得 am 1与 am 进而得到公差 d 由前 n 项和公 式及 Sm 0 可求得 a1 再由通项公式及 am 2 可得 m 值 解答 解 am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 所以公差 d am 1 am 1 Sm 0 得 a1 2 所以 am 2 m 1 1 2 解得 m 5 故选 C 点评 本题考查等差数列的通项公式 前 n 项和公式及通项 an与 Sn的关系 考查学生的计算能力 8 2014 新课标 等差数列 an 的公差为 2 若 a2 a4 a8成等比数列 则 an 的前 n 项和 Sn A n n 1 B n n 1 C D 分析 由题意可得 a42 a4 4 a4 8 解得 a4可得 a1 代入求和公式可得 解答 解 由题意可得 a42 a2 a8 即 a42 a4 4 a4 8 解得 a4 8 a1 a4 3 2 2 Sn na1 d 2n 2 n n 1 故选 A 点评 本题考查等差数列的性质和求和公式 属基础题 9 2015 北京 设 an 是等差数列 下列结论中正确的是 A 若 a1 a2 0 则 a2 a3 0B 若 a1 a3 0 则 a1 a2 0 第 10 页 共 24 页 C 若 0 a1 a2 则 a2D 若 a1 0 则 a2 a1 a2 a3 0 分析 对选项分别进行判断 即可得出结论 解答 解 若 a1 a2 0 则 2a1 d 0 a2 a3 2a1 3d 2d d 0 时 结论成 立 即 A 不正确 若 a1 a3 0 则 a1 a2 2a1 d 0 a2 a3 2a1 3d 2d d 0 时 结论成立 即 B 不正确 an 是等差数列 0 a1 a2 2a2 a1 a3 2 a2 即 C 正确 若 a1 0 则 a2 a1 a2 a3 d2 0 即 D 不正确 故选 C 点评 本题考查等差数列的通项 考查学生的计算能力 比较基础 二 解答题 共二 解答题 共 14 小题 小题 10 2015 四川 设数列 an n 1 2 3 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an a1 且 a1 a2 1 a3成等差数列 求数列 an 的通项公式 记数列 的前 n 项和为 Tn 求使得 Tn 1 成立的 n 的最小值 分析 由已知数列递推式得到 an 2an 1 n 2 再由已知 a1 a2 1 a3 成等差数列求出数列首项 可得数列 an 是首项为 2 公比为 2 的等比数列 则 其通项公式可求 由 求出数列 的通项公式 再由等比数列的前 n 项和求得 Tn 结合求解指数不等式得 n 的最小值 解答 解 由已知 Sn 2an a1 有 an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 即 an 2an 1 n 2 从而 a2 2a1 a3 2a2 4a1 又 a1 a2 1 a3成等差数列 第 11 页 共 24 页 a1 4a1 2 2a1 1 解得 a1 2 数列 an 是首项为 2 公比为 2 的等比数列 故 由 得 由 得 即 2n 1000 29 512 1000 1024 210 n 10 于是 使 Tn 1 成立的 n 的最小值为 10 点评 本题考查等差数列与等比数列的概念 等比数列的通项公式与前 n 项 和公式等基础知识 考查运算求解能力 是中档题 11 2015 湖北 设等差数列 an 的公差为 d 前 n 项和为 Sn 等比数列 bn 的 公比为 q 已知 b1 a1 b2 2 q d S10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 2 当 d 1 时 记 cn 求数列 cn 的前 n 项和 Tn 分析 1 利用前 10 项和与首项 公差的关系 联立方程组计算即可 2 当 d 1 时 由 1 知 cn 写出 Tn Tn的表达式 利用错位相 减法及等比数列的求和公式 计算即可 解答 解 1 设 a1 a 由题意可得 解得 或 当时 an 2n 1 bn 2n 1 第 12 页 共 24 页 当时 an 2n 79 bn 9 2 当 d 1 时 由 1 知 an 2n 1 bn 2n 1 cn Tn 1 3 5 7 9 2n 1 Tn 1 3 5 7 2n 3 2n 1 Tn 2 2n 1 3 Tn 6 点评 本题考查求数列的通项及求和 利用错位相减法是解决本题的关键 注意解题方法的积累 属于中档题 12 2014 新课标 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 3an 1 证明 an 是等比数列 并求 an 的通项公式 证明 分析 根据等比数列的定义 后一项与前一项的比是常数 即 常 数 又首项不为 0 所以为等比数列 再根据等比数列的通项化式 求出 an 的通项公式 将进行放大 即将分母缩小 使得构成一个等比数列 从而求和 证 明不等式 解答 证明 3 0 数列 an 是以首项为 公比为 3 的等比数列 第 13 页 共 24 页 an 即 由 知 当 n 2 时 3n 1 3n 3n 1 当 n 1 时 成立 当 n 2 时 1 对 n N 时 点评 本题考查的是等比数列 用放缩法证明不等式 证明数列为等比数列 只需要根据等比数列的定义就行 数列与不等式常结合在一起考 放缩法是常 用的方法之一 通过放大或缩小 使原数列变成一个等比数列 或可以用裂项相消法求和的新 数列 属于中档题 13 2013 新课标 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且 a1 a11 a13 成等比数列 求 an 的通项公式 求 a1 a4 a7 a3n 2 分析 I 设等差数列 an 的公差为 d 0 利用成等比数列的定义可得 再利用等差数列的通项公式可得 化为 d 2a1 25d 0 解出 d 即可得到通项公式 an II 由 I 可得 a3n 2 2 3n 2 27 6n 31 可知此数列是以 25 为首项 6 为公差的等差数列 利用等差数列的前 n 项和公式即可得出 a1 a4 a7 a3n 2 解答 解 I 设等差数列 an 的公差为 d 0 第 14 页 共 24 页 由题意 a1 a11 a13成等比数列 化为 d 2a1 25d 0 d 0 2 25 25d 0 解得 d 2 an 25 n 1 2 2n 27 II 由 I 可得 a3n 2 2 3n 2 27 6n 31 可知此数列是以 25 为首项 6 为公差的等差数列 Sn a1 a4 a7 a3n 2 3n2 28n 点评 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式是解题的 关键 14 2013 大纲版 等差数列 an 中 a7 4 a19 2a9 求 an 的通项公式 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 分析 I 由 a7 4 a19 2a9 结合等差数列的通项公式可求 a1 d 进而可求 an II 由 利用裂项求和即可求解 解答 解 I 设等差数列 an 的公差为 d a7 4 a19 2a9 解得 a1 1 d II 第 15 页 共 24 页 sn 点评 本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用 试题比 较容易 15 2011 新课标 已知等比数列 an 中 a1 公比 q Sn为 an 的前 n 项和 证明 Sn 设 bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的通项公式 分析 I 根据数列 an 是等比数列 a1 公比 q 求出通项公式 an和 前 n 项和 Sn 然后经过运算即可证明 II 根据数列 an 的通项公式和对数函数运算性质求出数列 bn 的通项公式 解答 证明 I 数列 an 为等比数列 a1 q an Sn 又 Sn Sn II an bn log3a1 log3a2 log3an log33 2log33 nlog33 1 2 n 第 16 页 共 24 页 数列 bn 的通项公式为 bn 点评 本题主要考查等比数列的通项公式 前 n 项和以及对数函数的运算性 质 16 2015 天津 已知数列 an 满足 an 2 qan q 为实数 且 q 1 n N a1 1 a2 2 且 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 1 求 q 的值和 an 的通项公式 2 设 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 分析 1 通过 an 2 qan a1 a2 可得 a3 a5 a4 利用 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 计算即可 2 通过 1 知 bn n N 写出数列 bn 的前 n 项和 Tn 2Tn的表达 式 利用错位相减法及等比数列的求和公式 计算即可 解答 解 1 an 2 qan q 为实数 且 q 1 n N a1 1 a2 2 a3 q a5 q2 a4 2q 又 a2 a3 a3 a4 a4 a5成等差数列 2 3q 2 3q q2 即 q2 3q 2 0 解得 q 2 或 q 1 舍 an 2 由 1 知 bn n N 记数列 bn 的前 n 项和为 Tn 则 Tn 1 2 3 4 n 1 n 第 17 页 共 24 页 2Tn 2 2 3 4 5 n 1 n 两式相减 得 Tn 3 n 3 n 3 1 n 4 点评 本题考查求数列的通项与前 n 项和 考查分类讨论的思想 利用错位 相减法是解决本题的关键 注意解题方法的积累 属于中档题 17 2015 山东 已知数列 an 是首项为正数的等差数列 数列 的 前 n 项和为 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn an 1 2 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 分析 1 通过对 cn 分离分母 并项相加并利用数列 的 前 n 项和为即得首项和公差 进而可得结论 2 通过 bn n 4n 写出 Tn 4Tn的表达式 两式相减后利用等比数列的求和 公式即得结论 解答 解 1 设等差数列 an 的首项为 a1 公差为 d 则 a1 0 an a1 n 1 d an 1 a1 nd 令 cn 则 cn c1 c2 cn 1 cn 第 18 页 共 24 页 又 数列 的前 n 项和为 a1 1 或 1 舍 d 2 an 1 2 n 1 2n 1 2 由 1 知 bn an 1 2 2n 1 1 22n 1 n 4n Tn b1 b2 bn 1 41 2 42 n 4n 4Tn 1 42 2 43 n 1 4n n 4n 1 两式相减 得 3Tn 41 42 4n n 4n 1 4n 1 Tn 点评 本题考查求数列的通项及求和 利用错位相减法是解决本题的关键 注意解题方法的积累 属于中档题 18 2015 浙江 已知数列 an 和 bn 满足 a1 2 b1 1 an 1 2an n N b1 b2 b3 bn bn 1 1 n N 求 an与 bn 记数列 anbn 的前 n 项和为 Tn 求 Tn 分析 直接由 a1 2 an 1 2an 可得数列 an 为等比数列 由等比数列 的通项公式求得数列 an 的通项公式 再由 b1 1 b1 b2 b3 bn bn 1 1 取 n 1 求得 b2 2 当 n 2 时 得另一 递推式 作差得到 整理得数列 为常数列 由此可得 bn 的通项公式 第 19 页 共 24 页 求出 然后利用错位相减法求数列 anbn 的前 n 项和为 Tn 解答 解 由 a1 2 an 1 2an 得 由题意知 当 n 1 时 b1 b2 1 故 b2 2 当 n 2 时 b1 b2 b3 bn 1 和原递推式作差得 整理得 由 知 因此 两式作差得 n N 点评 本题主要考查等差数列的通项公式 等差数列和等比数列等基础知识 同时考查数列求和等基本思想方法 以及推理论证能力 是中档题 19 2015 安徽 已知数列 an 是递增的等比数列 且 a1 a4 9 a2a3 8 1 求数列 an 的通项公式 2 设 Sn为数列 an 的前 n 项和 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 分析 1 根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可 求数列 an 的通 项公式 2 求出 bn 利用裂项法即可求数列 bn 的前 n 项和 Tn 解答 解 1 数列 an 是递增的等比数列 且 a1 a4 9 a2a3 8 a1 a4 9 a1a4 a2a3 8 解得 a1 1 a4 8 或 a1 8 a4 1 舍 第 20 页 共 24 页 解得 q 2 即数列 an 的通项公式 an 2n 1 2 Sn 2n 1 bn 数列 bn 的前 n 项和 Tn 1 点评 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算 利用裂项法是解 决本题的关键 20 2015 山东 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 2Sn 3n 3 求 an 的通项公式 若数列 bn 满足 anbn log3an 求 bn 的前 n 项和 Tn 分析 利用 2Sn 3n 3 可求得 a1 3 当 n 1 时 2Sn 1 3n 1 3 两式相 减 2an 2Sn 2Sn 1 可求得 an 3n 1 从而可得 an 的通项公式 依题意 anbn log3an 可得 b1 当 n 1 时 bn 31 n log33n 1 n 1 31 n 于是可求得 T1 b1 当 n 1 时 Tn b1 b2 bn 1 3 1 2 3 2 n 1 31 n 利用错位相减法可求得 bn 的 前 n 项和 Tn 解答 解 因为 2Sn 3n 3 所以 2a1 31 3 6 故 a1 3 当 n 1 时 2Sn 1 3n 1 3 此时 2an 2Sn 2Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即 an 3n 1 所以 an 因为 anbn log3an 所以 b1 第 21 页 共 24 页 当 n 1 时 bn 31 n log33n 1 n 1 31 n 所以 T1 b1 当 n 1 时 Tn b1 b2 bn 1 3 1 2 3 2 n 1 31 n 所以 3Tn 1 1 30 2 3 1 3 3 2 n 1 32 n 两式相减得 2Tn 30 3 1 3 2 32 n n 1 31 n n 1 31 n 所以 Tn 经检验 n 1 时也适合 综上可得 Tn 点评 本题考查数列的求和 着重考查数列递推关系的应用 突出考查 错位 相减法 求和 考查分析 运算能力 属于中档题 21 2008 全国卷 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 a an 1 Sn 3n n N 由 设 bn Sn 3n 求数列 bn 的通项公式 若 an 1 an n N 求 a 的取值范围 分析 依题意得 Sn 1 2Sn 3n 由此可知 Sn 1 3n 1 2 Sn 3n 所以 bn