f分布t分布和卡方分布

精品文档 106欢迎下载 1 4 1 4 常用的分布及其分位数常用的分布及其分位数 1 1 卡平方分布卡平方分布 卡平方分布 卡平方分布 t t 分布及分布及 F F 分布都是由正态分布所导出的分分布都是由正态分布所导出的分 布 它们与正态分布一起 是试验统计中常用的分布 布 它们与正态分布一起 是试验统计中常用的分布 当当 X X1 1 X X2 2 XnXn 相互独立且都服从相互独立且都服从 N 0 1 N 0 1 时 时 Z Z i i X 2 的分布称为自由度等于的分布称为自由度等于 n n 的的分布 记作分布 记作 Z Z n n 它 它 2 2 的分布密度的分布密度 p p z z 0 0 2 2 1 2 1 2 2 其他 zex n zn n 式中的式中的 称为 称为 GammaGamma 函数 且函数 且 1 1 2 n udeu u n 0 1 2 1 分布是非对称分布 具有可加性 即当分布是非对称分布 具有可加性 即当 Y Y 与与 Z Z 2 1 2 相互独立 且相互独立 且 Y Y n n Z Z m m 则 则 Y ZY Z n mn m 2 2 2 证明证明 先令先令 X X1 1 X X2 2 X Xn n X Xn n 1 1 X Xn n 2 2 X Xn mn m相互独立相互独立 且都服从且都服从 N 0 1 N 0 1 再根据 再根据分布的定义以及上述随机变量分布的定义以及上述随机变量 2 的相互独立性 令的相互独立性 令 Y XY X X X X X Z XZ X X X X X 2 1 2 2 2 n 2 1 n 2 2 n 2 mn Y Z Y Z X X X X X X X X X X X X 2 1 2 2 2 n 2 1 n 2 2 n 2 mn 即可得到即可得到 Y ZY Z n n m m 2 2 2 t t 分布分布 若若 X X 与与 Y Y 相互独立 且相互独立 且 X X N 0 1 N 0 1 Y Y n n 则 则 Z Z 的分布称为自由的分布称为自由 2 n Y X 度等于度等于 n n 的的 t t 分布 记作分布 记作 Z Z t t n n 它的分布密度 它的分布密度 P z P z 2 2 1 n n n 2 1 2 1 n n z 精品文档 107欢迎下载 请注意 请注意 t t 分布的分布密度也是偶函数 且当分布的分布密度也是偶函数 且当 n 30n 30 时 时 t t 分布与标准正态分布分布与标准正态分布 N 0 1 N 0 1 的密度曲线几乎重叠为一的密度曲线几乎重叠为一 这时这时 t t 分布的分布函数值查分布的分布函数值查 N 0 1 N 0 1 的分布函数值表便可的分布函数值表便可 以得到 以得到 3 3 F F 分布分布 若若 X X 与与 Y Y 相互独立 且相互独立 且 X X n n Y Y m m 2 2 则则 Z Z 的分布称为第一自由度等于的分布称为第一自由度等于n n 第二自由度等于 第二自由度等于 m Y n X m m的的 F F 分布 记作分布 记作 Z Z F F n n m m 它的分布密度 它的分布密度 p z p z 其他 0 0 2 1 2 22 2 22 z mn znm n z mn mn m m n n 请注意 请注意 F F 分布也是非对称分布 它的分布密度与自由度分布也是非对称分布 它的分布密度与自由度 的次序有关 当的次序有关 当 Z Z F F n n m m 时 时 F F m m n n Z 1 4 4 t t 分布与分布与 F F 分布的关系分布的关系 若若 X X t t n n 则 则 Y XY X F 1 F 1 n n 2 证 证 X X t t n n X X 的分布密度的分布密度 p p x x 2 2 1 n n n 2 1 2 1 n n x Y XY X 的分布函数的分布函数 F F y y P Y P Y y y P X P X 0 0 时 时 F F y y P P X X Y yy 2 2 xdxp y y xdxp y 0 精品文档 108欢迎下载 Y XY X 的分布密度的分布密度 p p y y 2 Y 2 1 1 2 1 22 1 2 1 2 n yn y n n n n 与第一自由度等于与第一自由度等于 1 1 第二自由度等于 第二自由度等于 n n 的的 F F 分布的分布密分布的分布密 度相同 因此度相同 因此 Y XY X F 1 F 1 n n 2 为应用方便起见 以上三个分布的分布函数值都可以从为应用方便起见 以上三个分布的分布函数值都可以从 各自的函数值表中查出 但是 解应用问题时 通常是查各自的函数值表中查出 但是 解应用问题时 通常是查 分位数表 有关分位数的概念如下 分位数表 有关分位数的概念如下 4 4 常用分布的分位数常用分布的分位数 1 1 分位数的定义 分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关 根据应用分位数或临界值与随机变量的分布函数有关 根据应用 的需要 有三种不同的称呼 即的需要 有三种不同的称呼 即 分位数 上侧分位数 上侧 分位分位 数与双侧数与双侧 分位数 它们的定义如下 分位数 它们的定义如下 当随机变量当随机变量 X X 的分布函数为的分布函数为 F F x x 实数 实数 满足满足 0 0 1 1 时 时 分位数是使分位数是使 P X P X 1 1 F F 的数的数 双侧双侧 分位数是使分位数是使 P X P X P X 2 2 1 1 F F 2 2 0 5 0 5 的数的数 2 2 因为因为 1 1 F F F 1F 1 所以上侧 所以上侧 分位数分位数 就是就是 1 1 分位数分位数x x 1 1 F F 1 1 0 5 0 5 1 1 F F 2 2 0 5 0 5 所以双侧 所以双侧 分位数分位数 1 1就是就是 0 5 0 5 分位数分位数x x 0 5 0 5 双侧 双侧 分位数分位数 2 2就是就是 1 1 0 5 0 5 分位数分位数x x 1 1 0 5 0 5 2 2 标准正态分布的 标准正态分布的 分位数记作分位数记作 u u 0 5 0 5 分位数记分位数记 作作 u u 0 5 0 5 1 1 0 5 0 5 分位数记作分位数记作 u u 1 1 0 5 0 5 精品文档 109欢迎下载 当当 X X N 0 1 N 0 1 时 时 P X P X u u F F 0 1 0 1 u u P X P X u u 0 5 0 5 F F 0 1 0 1 u u 0 5 0 5 0 5 0 5 P X P X u u 1 1 0 5 0 5 F F 0 1 0 1 u u 1 1 0 5 0 5 1 1 0 5 0 5 根据标准正态分布密度曲线的对称性 根据标准正态分布密度曲线的对称性 当当 0 5 0 5 时时 u u 0 0 当当 0 5 0 5 时时 u u 0 0 u u u u 1 1 如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数 如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数 则先查出则先查出 u u 1 1 然后得到 然后得到 u u u u 1 1 论述如下 当论述如下 当 X X N 0 1 N 0 1 时时 P X P X u u F F 0 1 0 1 u u P X P XP X u u 1 1 1 1 F F 0 1 0 1 u u 1 1 故根据标准正态分布密度曲线的对称性 故根据标准正态分布密度曲线的对称性 u u u u 1 1 例如 例如 u u 0 10 0 10 u u 0 900 90 1 282 1 282 u u 0 05 0 05 u u 0 950 95 1 645 1 645 u u 0 01 0 01 u u 0 990 99 2 326 2 326 u u 0 025 0 025 u u 0 9750 975 1 960 1 960 精品文档 110欢迎下载 u u 0 005 0 005 u u 0 9950 995 2 576 2 576 又因为又因为 P X P X 0 n 0 当当 X X n n 时 时 P X P X n n 2 2 2 例如 例如 0 0050 005 4 0 21 4 0 21 0 0250 025 4 0 48 4 0 48 2 2 0 050 05 4 0 71 4 0 71 0 950 95 4 9 49 4 9 49 2 2 0 9750 975 4 11 1 4 11 1 0 9950 995 4 14 9 4 14 9 2 2 4 4 t t 分布的分布的 分位数记作分位数记作 t t n n 精品文档 111欢迎下载 当当 X X t t n n 时 时 P X P X30n 30 时 在比较简略的表中查不到时 在比较简略的表中查不到 t t n n 可 可 用用 u u 作为 作为 t t n n 的近似值 的近似值 5 5 F F 分布的分布的 分位数记作分位数记作 F F n n m m F F n n m m 0 0 当当 X X F F n n m m 时 时 P X P X F F n n m m 精品文档 112欢迎下载 另外 当另外 当 较小时 在表中查不出较小时 在表中查不出 F F n n m m 须先查 须先查 F F1 1 m m n n 再求 再求 F F n n m m 论述如下 论述如下 1 1 nmF 当当 X X F F m m n n 时时 P X P X 1 1 P P X 1 1 1 nmF X 1 1 1 nmF 又根据又根据 F F 分布的定义 分布的定义 F F n n m m P P F F n n m m X 1 X 1 因此因此 F F n n m m 1 1 nmF 例如 例如 F F 0 95 0 95 3 4 6 59 3 4 6 59 F F 0 975 0 975 3 4 9 98 3 4 9 98 F F 0 99 0 99 3 4 16 7 3 4 16 7 F F 0 95 0 95 4 3 9 12 4 3 9 12 F F 0 975 0 975 4 3 15 1 4 3 15 1 F F 0 99 0 99 4 3 28 7 4 3 28 7 F F 0 01 0 01 3 4 3 4 F F 0 025 0 025 3 4 3 4 F F 0 05 0 05 3 4 3 4 7 28 1 1 15 1 12 9 1 精品文档 113欢迎下载 课内练习课内练习 1 1 求分位数求分位数 0 050 05 8 8 0 950 95 12 12 2 2 求分位数求分位数 t t 0 05 0 05 8 8 t t 0 95 0 95 12 12 3 3 求分位数求分位数 F F0 05 0 05 7 5 7 5 F F0 95 0 95 10 12 10 12 4 4 由由u u 0 975 0 975 1 960 1 960写出有关的上侧分位数与双侧分位数 写出有关的上侧分位数与双侧分位数 5 5 由由t t 0 95 0 95 4 2 132 4 2 132写出有关的上侧分位数与双侧分位数 写出有关的上侧分位数与双侧分位数 6 6 若若X X 4 4 P X 0 711 0 05P X 0 711 0 05 P X 9 49 0 95P X 9 49 0 95 试 试 写出有关的分位数 写出有关的分位数 7 7 若若X X F 5 3 F 5 3 P X 9 01 0 95P X 9 01 0 95 Y Y F 3 5 F 3 5 Y 5 41 Y1 44 1 44 习题答案 习题答案 1 1 2 73 2 73 21 0 21 0 2 2 1 8601 860 1 782 1 782 3 3 3 37 3 37 4 4 1 9601 960 为上侧为上侧 0 0250 025 分位数 分位数 1 9601 960 与与 1 9601 960 为双侧为双侧 0 050 05 分位数 分位数 5 5 2 1322 132 为上侧为上侧 0 050 05 分位数 分位数 2 1322 132 与与 2 1322 132 为双侧为双侧 0 10 1 分位数 分位数 6 6 0 7110 711 为上侧为上侧 0 950 95 分位数 分位数 9 499 49 为上侧为上侧 0 050 05 分位数 分位数 0 7110 711 与与 19 4919 49 为双侧为双侧 0 10 1 分位数 分位数 7 7 9 019 01 为上侧为上侧 0 050 05 分位数