平面向量的坐标表示

1 第第 7 章章 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 1 理解向量的有关概念理解向量的有关概念 1 向量的概念 既有方向又有大小的量 注意向量和数量的区别 2 零向量 长度为零的向量叫零向量 记作 注意零向量的方向是任意方向 0 3 单位向量 给定一个非零向量 与同向且长度为 1 的向量叫的单位向量 的单位向量是 a a a a a a 4 相等向量 方向与长度都相等的向量 相等向量有传递性 5 平行向量 也叫共线向量 如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行 记作 规定零向量和任何向量平行 ab 6 相反向量 长度相等方向相反的向量叫做相反向量 的相反向量是长度相等方向相反的向量 aa 2 向量的表示方法向量的表示方法 1 几何表示法 用带箭头的有向线段表示 如 注意起点在前 终点在后 AB 2 符号表示法 用一个小写的英文字母来表示 如 等 a b c 3 坐标表示法 在平面内建立直角坐标系 以与轴 轴方向相同的两个单位向量 为基底 xy i j 则平面内的任一向量可表示为 称为向量的坐标 叫做向量的坐标 a jyixa x y a yxa a 表示 如果向量的起点在原点 那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 3 实数与向量的积 实数与向量的积 提醒提醒 相等向量一定是共线向量 但共线向量不一定相等 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念 两个平行向量的基线平行或重 合 但两条直线平行不包含两条直线重合 平行向量无传递性 因为有 0 三点共线共线 CBA AB AC 2 提醒提醒 1 若则为锐角或者角若则为钝角或者角 0a b a b 00a b a b 2 可以用来证明 a b a b a b A 3 非零向量 夹角的计算公式 ab ba ba cos 4 ba a b 实数与向量的积是一个向量 记作 它的长度和方向规定如下 aa 1 aa 2 当时 的方向与的方向相同 当时 的方向与的方向相反 当时 0 a a0 a a0 零向量 注意 0a 4 平面向量的数量积 平面向量的数量积 1 两个向量的夹角 已知两个非零向量和 过 O 点作 则 AOB 0 180 a b OAa OBb 叫做向量与的夹角 当 0 时 与 同向 当 180 时 与反向 如果与的夹角是a b a b a b a b 90 我们说与垂直 记作 a b ab 2 两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量与 它们的夹角为 则数量叫做a b cosa b 与的数量积 或内积 记作 即 规定零向量与任一向量的数量积为 0 若a b a b a b cosa b 则 1122 ax ybxy a b 1212 x xy y 3 向量的数量积的几何意义 叫做向量在方向上的投影 是向量与的夹角 cosb b a a b 的几何意义是 数量等于模与在上的投影的积 a b a b a b a 4 向量数量积的性质 设与都是非零向量 是单位向量 是与的夹角 a b e a b 当与同向时 当与反向时 a ba b a b a ba b a b cos a b a b baa b 5 向量数量积的运算律 3 a b abc ab a b ab abc a cb c 5 平面向量的基本定理 平面向量的基本定理 如果和是同一平面内的两个不共线向量 那么对该平面内的任一向量 1 e 2 e a 有且只有一对实数 使 称为一组基底 1 2 a 1 122 ee 1 e 2 e 6 向量的运算 向量的运算 1 几何运算 向量加法 利用 平行四边形法则 进行 但 平行四边形法则 只适用于不共线的向量 除此之外 向量加法还可利用 三角形法则 设 那么向量叫做与的和 即 ABa BCb AC a b abABBCAC 向量的减法 用 三角形法则 设 那么由减向量的终点 ABa ACb abABACCB 指向被减向量的终点 容易得出 ababab 2 坐标运算 设 则 1122 ax ybxy 向量的加减法运算 ab 1212 xxyy 实数与向量的积 1111 ax yxy 若 则 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向 1122 A x yB xy 2121 ABxx yy 线段的终点坐标减去起点坐标 平面向量数量积 向量的模 a b 1212 x xy y 2 22222 axyaaxy 7 向量的运算律 向量的运算律 1 交换律 abba aa a b ab 2 结合律 cbacba cbacba 3 分配律 aaa baba cbcacba 8 向量平行向量平行 共线共线 的充要条件 的充要条件 1 向量与非零非零向量共线的充要条件是 实数 是唯一存在的 ba ba 当与同向时 当与异向时 a b0 a b 0 2 若 则 11 ax y 22 bxy ab 1212 x yy x 22 baba 提醒 平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同 三角形法则要求参与加 法的两个向量的首尾相接 可推广到 据此 可根据需 122311 nnn A AA AAAA A 要在一个向量的两个端点之间任意插点 4 向量中一些常用的结论向量中一些常用的结论 1 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 要注意运用 2 特别地 ababab 当同向或有同向或有 a b 0 abababab 当反向或有反向或有 a b 0 abababab 当不共线不共线 这些和实数比较类似 a b ababab 3 在中 若 则其重心的坐标为ABC 112233 A x yB xyC xy 123123 33 xxxyyy G 为的重心 1 3 PGPAPBPCG ABC 特别地为的重心 0PAPBPCP ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 向量所在直线过的内心 是的角平 0 ABAC ABAC ABC BAC 分线所在直线 是的外心 OAOBOCO ABC 4 向量中三终点共线存在实数使得PA PB PC ABC 且 PAPBPC 1 9 向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件 ba 0aba b ba 1212 0 x xy y 7 1 向量的坐标向量的坐标 表示及其运算表示及其运算 5 例题精讲例题精讲 例 1 已知分别是 和 的重心 是的中点 若 A B C D 的坐标分别是 12 G GABCACDG 12 GG 0 0 求点的坐标 2 5 5 7 10 2 G 例 2 已知点 O 0 0 A 1 2 B 4 5 及 t OPOAAB 求 1 t 为何值时 P 在 x 轴上 P 在 y 轴上 P 在第二象限 2 四边形OABP 能否构成平行四边形 若能 求出相应的t 值 若不能 请说明理由 过关演练过关演练 1 已知 若 则的值分别为 2 xA 2 5 yB 4 6 AB yx 2 已知向量 若 则 7 2 xa 4 6 xb ba x 3 已知平行四边形的顶点 则顶点的坐标为 ABCD 2 1 A 1 3 B 6 5 CD 4 若向量 则向量的坐标是 2 3 a 1 0 b ab 2 5 若 且 则等于 3 2 a 1 4 yb ba y 6 若为的重心 则下列各向量中与共线的是 MABC AB A B ABBCAC AMMBBC C D AMBMCM AMAMAMAC 7 在矩形中 则向量的长度等于 ABCD3AB 1BC ABADAC A B C D 22 334 6 8 在中 分别为边 的中点 已知点坐标为 点坐标为ABC DEFABBCCAD 2 1 E 点坐标为 则点坐标为 5 3 F 7 2 A 9 已知 当与共线时 的值为 2 1 a 1 xb ba 2 ba 2x 10 当 时 向量与共线且方向相同 当 时 与共 m 1 2 ma 6 2 mb ma b 线且方向相反 11 若三点 共线 则 1 1 A 4 2 B 9 xC x 12 设 用 作基底有 则 2 1 a 1 1 b 2 3 c a b bqapc p q 13 已知点在向量所在的直线上 则所满足的条件是 yxM 1 2 OP yx 14 已知 12 4 3 2 6 PP 1 若点在线段上 且则点的坐标是 P 12 PP 12 2PPPP P 2 若点在线段的延长线上 且则点的坐标是 P 12 PP 12 4PPPP P 3 若点在线段的延长线上 则点的坐标是 P 21 P P 12 4 5 PPPP P 4 若点在线段的延长线上 则点的坐标是 P 21 P P 112 4 5 PPPP P 15 下列四个命题 若 则或 若为单位向量 则 0a b 0a 0b e aa e 若与共线 与共线 则与共线 其中错误命题的序号是 3 a a aa a b b c a c 16 已知 且 则当 时 点落在轴上 0 0 O 2 1 A 5 4 BOPOAtOB tPx 17 已知 是两个非零向量 则 不共线 是 的 a b a b abab 18 下列四个命题中是真命题的有 个 若与是共线向量 则与也是共线向量ba ba a b 若 则与是共线向量 baba a b 若 则与是共线向量 baba a b 7 若 则与任何向量都共线 baba b 19 在中 设向量 则的面积 ABC CAa CBb ABC ABC S 的周长 ABC ABC C 20 对个向量 如果存在不全为零的实数使得 则称n 12 n a aa 12 n k kk 1122 0 nn k ak ak a 性相关 若已知 是线性相关的 则 12 n a aa 1 1 1a 2 3 2a 3 3 7a 123 kkk 21 在四边形中 则四边形的面积是ABCD 1 1ABDC 3 BABCBD BABCBD ABCD 7 2 向量的数量积向量的数量积 例题精讲例题精讲 例 1 设 O 是直角坐标原点 在轴上求一点 P 使最小 并求jiOBjiOA 4 32xBPAP 此时的大小 APB 例 2 已知 且的夹角为 又 求 1 2 baba 4 baODbaOC 2 3 CD 注意 有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解 本例就可以由作图得解 例 3 已知锐角中内角的对边分别为 向量 ABC A B C a b c 2sin 3 mB 2 2cos1 cos2 2 B nB 且mn 1 求的大小 B 2 如果 求的面积的最大值 2b ABC ABC S 8 过关演练过关演练 1 1 已知 与的夹角为 则 2 a 1 b a b 120 ba 2 已知 则向量与的夹角为 4 a 1 b 4 ba a b 2 1 已知 与的夹角为 则在方向上的投影为 4 a a b 30a b 2 已知 则在上方向上的投影为 3 a 5 b 13 ba a b 3 已知 且 则的值为 3 a 4 b bkabka k 4 已知 与的夹角正弦值为 则 5 a a b 5 3 12 ba b 5 已知 则 2 a 5 b 3 ba ba 6 已知 与的夹角为 要使与垂直 则 2 a 2 b a b 45ab a 7 在平行四边形中 已知 则 ABCD4 3ABAD 60 DABAB DA 8 是所在平面上一点 若 则是的PABC PA PBPB PCPC PA PABC 9 已知向量 是不平行于轴的单位向量 且 则 3 1a b x3a b b 10 与向量的夹解相等 且模为 的向量是 7 1 2 2 a 17 22 b 1 11 在中 且 则的值ABC ABa BCb CAc 3a 2b 4c a bb cc a 为 12 在中 已知 且 则这个三角形的形状是 ABC 2ABAC 2AB AC 13 下列四个命题 若 则 若 则或 若 且0 baba 0 ba 0 a0 bR 则或 对任意两个单位向量 都有 其中正确命题的序号是0 a 0 0 aa b 1 ba 14 若 则与的夹角为 abab b ab 15 在中 O 为中线上一个动点 若 则的最小值是 ABC AM2AM OA OBOC 16 已知满足ABC 则的 2 ABAB ACBA BCCA CB ABC 9 形状一定是 17 在 ABC 中 AB 2 AC 1 D 是边 BC 上一点 DC 2BD 则 0 120ABC AD BC 18 如果 且 那么 caba 0 a A B C D 在方向上的投影相等cb cb cb cb a 19 若 是非零向量且 则一定有 a b ba A B baba baba C D baba baba 20 已知 如果与的夹角为锐角 则的取值范围是 2 a 2 3 b a b 21 已知向量 1 对任意 t R 恒有 t 则 a e e a e a e A B C D a e e a e a a e a e a e 22 已知两个单位向量和互相垂直 则的充要条 1 e 2 e R 2121 1 1122122 eeee 件是 A B 0 2121 0 2121 C D 0 2211 0 1221 23 在中 有命题ABC 若 则为等腰ABACBC 0ABBCCA 0ABACABAC ABC 三角形 若 则为锐角三角形 0AB AC ABC 上述命题正确的是 A B C D 24 点在所在平面内 给出下列关系式 OABC 1 0OAOBOC 2 OA OBOB OCOC OA 3 0 ACABBCBA OAOB ACABBCBA 4 0OAOBABOBOCBC 则点依次为的 OABC 10 A 内心 外心 重心 垂心 B 重心 外心 内心 垂心 C 重心 垂心 内心 外心 D 外心 内心 垂心 重心 7 3 平面向量的分解定理平面向量的分解定理 例题精讲例题精讲 例 1 已知是的边上的点 且 如图 1 所示 若用DABC BC 1 2BD DC ABa ACb 表示 则 a b AD AD 过关演练过关演练 1 已知等差数列的前 n 项和为 若 且 A B C 三点共线 该直线不过原 n a n S 1200 OBa OAaOC 点 O 则 200 S 2 下列条件中 三点不共线的是 ABP A B 13 44 MPMAMB 2MPMAMB C D 33MPMAMB 31 44 MPMAMB 3 下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是 A B 12 0 0 1 2ee 12 1 2 5 7ee C D 12 3 5 6 10ee 12 13 2 3 24 ee 4 已知向量 用和来表示 则为 2 3 a 1 2 b 4 7 c a b c c A B C D ba 2ba 2ba 2 ba 2 5 设 M 是 ABC 的重心 则 AM 11 A B C D 2 ACAB 2 ACAB 3 ACAB 3 ACAB 6 分别为的边 上的中线 且 那么为 ADBEABC BCACADa BEb BC A B C D ba 3 4 3 2 ba 3 2 3 2 ba 3 4 3 2 ba 3 4 3 2 7 过的重心作一直线分别交 于点 若 则ABC ABACDE ADxAB AEyAC 0 xy 的值为 yx 11 8 是内的一点 则的面积与的面积之比为 PABC 1 3 APABAC ABC ABP A 2B 3C D 6 2 3 9 请用表示 00 1 OB120 OCOA30 OC5OAOBOA 与的夹角为 与的夹角为 OAOB OC 10 已知 设 则等于1 3 0 OAOBOAOB AOC 30o OCmOAnOB m nR m n 11 已知四边形是菱形 点在对角线上 不包括端点 则等于 ABCDPACACAP A 0 1 B 0 ABAD ABBC 2 2 C 0 1 D 0 ABAD ABBC 2 2 12 如图 在 ABC 中 设 0