信号与系统期末复习材料

信号与系统期末复习材料信号与系统期末复习材料 信号与系统期末复习 一 基础知识点1 信号的频带宽度 带宽 与信号的脉冲宽度成反 比 信号的脉冲宽度越宽 频带越窄 反之 信号脉冲宽度越窄 其频带越宽 2 系统对信号进行无失真传输时应满足的条件 系统的幅频特性在 整个频率范围 内应为常量 系统的相频特性在整个频率范围内应与 成正比 比例系数为 0t3 矩形脉冲信号的周期与频谱线的间隔存在着倒数的关系 4 零输入响应 ZIR 从观察的初始时刻 例如t 0 起不再施加输 入信号 即零输入 仅由该时刻系统本身具有的初始状态引起的 响应称为零输入响应 或称为储能响应 5 零状态响应 ZSR 在初始状态为零的条件下 系统由外加输入 激励 信号引起的响应称为零状态响应 或称为受迫响应 6 系统的完全响应也可分为完全响应 零输入响应 零状态响应 z iy tyty tzs7 阶跃序列可以用不同位移的单位阶跃序列之和来表示 8 离散信号指的是信号的取值仅在一些离散的时间点上才有定义 nf9 信号的三大分析方法 时域分析法 频域分析法 复频域分 析法10 信号三大解题方法 傅里叶 研究的领域频域 分析的方法 频域分析法 拉普拉斯 研究的领域复频域 分析的方法复频域分 析法 Z变换主要针对离散系统 可以将差分方程变为代数方程 使 得离散系统的分析简化 11 采样定理 又称为奈奎斯特采样频率 如果为带宽有限的连续信 号 其频谱 tf F的最高频率为 则以采样间隔m fmsfT21 对信号进行等间隔采样所得的采样信号将包含原信号的全 部信息 因而可 tf t fs tf利用完全恢复出原信号 tfs12 设脉冲宽度为1ms 频带宽度为KHzms111 如果时间压缩 一半 频带扩大2倍 13 在Z变换中 收敛域的概念对于给定的任意有界序列 使上式收 敛的所有z值的集合称为z变化的收敛域 根据级数理论 上式收敛的充分必要条件F z 绝对可和 即 nf n 0 nznf14 信号的频谱包括 幅度谱 相位谱15 三 角形式的傅里叶级数表示为 n 1110 sin cos nntn btn a atf当为奇函数时 其傅里叶级数展开式中只有sin nt分量 而无 直流分量和cos分量 16 离散线性时不变系统的单位序列响应是 n 17 看到这张图 直流分量就是4 18 周期信号的频谱具有的特点 频谱图由频率离散的谱线组成 每根谱线代表一个谐波分量 这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱 频谱图中的谱线只能在基波频率的整数倍频率上出现 1 频谱图中各谱线的高度 一般而言随谐波次数的增高而逐渐减 小 当谐波次数无限增高时 谐波分量的振幅趋于无穷小 19 信号频谱的知识点 非周期信号的频谱为连续谱 若信号在时域持续时间有限 则其频域在频域延续到无限 20 根据波形 写出函数表达式 用 tf t 表示 f t 1tt 461 4 6 1f t 121 t 为冲激函数 定义 0 0 0 ttt 特性1 dtt 与阶跃函数的关系dttd t 采样 筛选 性 若函数在t 0连续 由于 tf t 只在t 0存在 故有 0 f tt tf 若在连续 则有 tf0tt 000tttftttf 上述说明 t 函数可以把信号在某时刻的值采样 筛选 出来 tf 重要积分公式 0 f dtttf 00tfdttttf 例 题计算下列各式 1 tt dttt 1 dt tt 0 3co s dt tet 003 二 卷积1 定义 d tffty 212 代数性质 交换律 t 1221tftftff 结合律 t 321321tftftft ftff 分配律 3231321tftftftftftftf 2 微分和积分特性 微分特性 t t 2121tfftff 积分特性 t t 1212 1 1tfftff 微积分特性 t t 2 1 1 1 2121tfftfftftf 任意信号与 t 卷积又是即 tf t tftf 由微分特性则 t tftf 3 延时特性 1 t 212122211ttttttyttttftttf 4 重要卷积公式 tfttf tt tt 21 t 2 tttt 1 1 teatteatat 1 t 21122121aateeaateetatat ata 例题求下列卷积 5 3 tt 2 t t ttet 三 傅里叶变换1 周期信号的三角级数表示 n 110 cos nntn Aatf 22nnnbaA arctan nnnab 其中 Tf0dt t Ta01 T ndttn tfTa01 cos 2 Tndttn tfTb01 sin 22 周期信号的指 数级数表示1F TtjnndtetfT01 3 非周期信号的傅里叶变换 dtetftj F 反变换 2 deFttj 1 f 4 常用非周期信 号的频谱 门函数 2 2 0 2 1 SatttG 冲激信号 t 1 t 直流信号 2 1 tf 指数信号 0 0 taetfat j ateat 1 单位 阶跃信号 0 0 0 1 ttt j t1 5 傅里叶变换的性质与应用 线性性质 2 11atfa 信号的延时与相位移动ttf 脉冲展缩与频带的变化 22112FaFatf 0e 0tj F 1 aFaatf 表明信号时域 波形的压缩 对应其频谱图形的扩展 时域波形的扩展对应其频域 图形的压缩 且两域内展缩的倍数是一致的 信号的调制与频谱搬移 Ftf 21 21 cos 000 FFttf e 00 tj 周期信号的频谱函数 cos 000 t sin 000 jt n n n FF 2 1 时域微 分特性 jFtfdtdnnn 时域积分特性 1 j 0 1F 11 dFft 6 卷积定理及其应用若 11Ftf 22Ftf 则 F 2121Ftftf 例题1试利用卷积定理求下列信号的频谱函数 cos 0ttAtf tsin 0tAtf 例题2若已知 F tf 求 3 tf 3 tf 例题3如图所示已知 tjetf2 ttx20cos 求 F YX 例题4如图所示周期锯齿波信号f t 试求三角形式的傅里叶级数 例题5设信号 试求的频谱函数 4 cos 1ttf 1 0 1 1 2tttf 21tftf例题6求的 频谱函数 0 sin 0 attetfat 例题7已知 用傅里叶性质 求一阶微分以及的积分 2 tetf tf tf 四 拉普拉斯变换1 单边拉普拉斯的定义F s 0 dtetfst2 常用拉普拉斯变换 aseat 1 2 1asteat 1 t st st1 s11 sAA 22 sin s st 22 cos s1t 2 stt 32 2 stt 1assaeat 22 sin a steat t tfTA02T 22 cos asasteat3 拉普拉斯变换的基本性 质 线性 22112211sFasFatfatfa 时移性0e s 00 stFttttf 比例性 尺度变换 asFaatf1 幅频移特 性 e t 00ssFfts 时域微分特性df 0 f d ssFtt 0 0 d d222 fsfsFsttf 0 0 0 f d nd 1 21 nn nnnffsssFsttf 时域积分特性f0 ssFt d 4 求拉普拉斯反 变换 D s 0的根 不含重根 nSSnnsFSS K D s 0仅含重 根1 1 1K111SSmnnnnsFSSdsdn n 1 2 3 m 5 微分方程的拉普拉斯变换解法例1 3 3 ytytytyt则SsYysSYySysYSyySySsYS1 0 3 0 0 3 0 0 0 223 6 电路S域模型 电阻R上的时域电 压 电流关系为一代数方程 tRitu 两边取拉氏变换 就得到复频域 S域 中的电压 电流象函数关系为 UsRIs 电容C上的时域电压 电流关系为dttduCtic 两边取拉氏变换 利用微分性质得时的 代数关系0 t 0 c I CussCUcs或susIsCsc 0 1 Uc 电感L上的时域电压 电流关系为dttdiLtuL 两边取拉氏变换 就可得出S域内的电压 电流关系为 0 L U LLissLIs或sisUsLsL 0 1 IL KCL和KVL0 t分别取拉氏变换 可得基尔霍夫定律的 S域形式i 0 tu0 7 卷积定理时域卷积变换到S域的特性sI 0 sU 2121sFsFtftf 8 重要的函数 H s为系统函数 S sts 阶跃响应 F stf 输入信号 Y ZSsLT ItyZS 系统的零状态响应 Y t ZSsHsFsthfyZS 1 S 0sHSsd htst 积分定理阶跃响应 1 1sHSLts 则 tsth 例题1若已知 求 sFtf 3 tf 3 tf 例题2求下列函数的单边拉氏变换 te 2tet3 tetcos2 例 题3求下列象函数的拉氏反变换 651 F2 ssss 1 22 F22 sssss 231 F2 sss 2 2 4 F sss例题4已知LTI的微分方程 3 6 5 tftytyty 试求其阶跃响应s t 和冲激响应h t 例题5已知 nnf 零输入响应为 5 01 2 nnyn 若输入 求系统响应 5 0 nnfn ny例题6如下图所示 已知H1 24 s H2 3 21 s H3 11 s 求冲激响应h t 例题7已知的全响应为 的全响应为 求冲激响应h t 1f 2cos2 ttet 2f 2cos2 ttet 例题8设系统微分方程为 2 3 4 tftftytyty 已知 试用拉氏变换法求零输入响 应和零状态响应 1 0 y 1 0 y 2tetft 五 Z变换1 单边Z变换的定义 n 0 nznfzF F z 的反变换 dzzzFjnf1 2 1 2 典型序列的Z变换 单位序列 0 0 0 1 nnn 所以1 nZ 阶跃序列 0 0 0 1 nnn 所以111 1 zzznZ 指数序列 nan 所以azzaznaZ n 11 13 常用序列的Z变换 1 n 1 zzn 2 1 z zn 32 1 1 zzzn azzan 2 azaznan aanezze 1cos2sin s in 0200 zzzn 1cos2 cos cos 0200 z zzzn4 求Z反变 换 F z 仅含有一阶极点izziizzzzF K i nn iinzkn10 kf n F z 仅含有重极点izzminnnzzFzzdzdn 1 1K111 n 1 2 3 m 5 Z变换的主要性质 线性 11nfa 移 位特性 221122zFazFanfa z 1m k z zmkzkfzF m 1nf 对于双边序列例如 1 1 fF nf 2 1 2 12 ffz zFznf 对于单边序列 z mFmnmnf z例如mzmn 1 zzzmnm 比例性 尺度变 换 azFnfan 6 卷积定理设 11zFnf 22zFnf 则 2121zFzFnfnf 例题1求下列离散信号的z变换 2 n nan 1 21 1 nn 例题2求下列F z 的反变换f n 2 1 2 zzzzF 2 1 2 zzzzF例题3用单边z变换解差分方程1 1 05 0 1 9 0 ynnyny 六 系统函数1 系统框图 当系统由两个子系统级联构成时 如下 图所示 系统函数H s 等于两个子系统函数的乘积 当系统由两个子系统并联构成时 如下图所示 系统函数H s 等 于两个子系统函数的和 当两个子系统反馈连接时 如下图所示 2 系统函数的零 极点零点让系统函数分子的值为0 所解出的点 在图中用 o 表示 极点让系统函数分母的值为0 所解出的点 在图中用 表示 若为n重零点或极点 可在其旁注以 n 3 系统稳定的判断方法 稳定若H s 的全部极点位于s的左半平面 则系统是稳定的 临界稳定若H s 的虚轴上有s 0的单极点或一对共轭单极点 其余 极点全在s左半平面 则系统是临界稳定的 不稳定H s 只要有一个极点位于s右半平面 或在虚轴上有二阶或 二阶以上的重极点 则系统是不稳定的 例题1已知 求系统函数H s 并判断其稳定性 321jp 322jp 11 z22 z例题2根据图 判断系统是否稳定 例题3已知23 H sss 求系统的冲激响应 阶跃响应 并画出零 极点分布图 并判断其稳定性 例题4已知23 H2 ssss 21 2tetft 求其零状态响应 并画出它的零点和极点 并判 断其稳定性 tyZS例题5已知连续系统由两个子系统级联而成 如图所示 若描 述两个子系统的微分方程分别为 t 2 11xtxtyty 2 1tytyty 求每个子系统的系统函数H1 s H2 s 及整个系统的单位冲激响应h t 画出系统的零极点图 判断系统的稳定性 七 离散系统的稳定性1 既是离散系统 又是因果系统 其稳定性 的判断方法 稳定H z 的所有极点全部位于单位圆内 则系统稳定 临界稳定H s 的一阶极点 实极点或共轭复极点 位于单位圆上 单位圆外无极点 则系统为临界稳定 不稳定H s 只要有一个极点位于单位圆外 或在单位圆上有重极 点 则系统不稳定 例题1设有差分方程表示的系统 1 2 2 0 1 1 0 nfnfny nyny试求系统函数H z 并讨论系统的稳定性 信号与系统期末试题 B 一 填空题 20分 每空2分 1 描述线性非时变连续系统的数学模 型是 2 离散系统的激励与响应都是 它们是 的函数 或称序列 3 确定信号是指能够以 表示的信号 在 其定义域内任意时刻都有 4 请写出 LTI 的英文全称 5 若信号f t 的FT存在 则它满足绝对可积的条件是 6 自相关函数是描述随机信号X t 在 取 值之间的相关程度 7 设X t 为平稳的连续随机信号 其自相关函数是 其功率密度谱是 二 选择题 20分 每小题2分 1 连续信号与的卷积 即 tf 0 tt 0tttf a b c tf 0ttf t d 0tt 2 连续 信号与的乘积 即 tf 0tt 0tttf a b c 0ttf 0ttf t d 00tttf 3 线性时不变系统的数学模型是 a 线 性微分方程 b 微分方程 c 线性常系数微分方程 d 常系数微分方程 4 若收敛坐标落于原点 S平面有半平面为收敛区 则 a 该信号是 有始有终信号 b 该信号是按指数规律增长的信号 c 该信号是按指 数规律衰减的信号 d 该信号的幅度既不增长也不衰减而等于稳定值 或虽时间成比例增长的信号ntt 5 若对连续时间信号进行频域 分析 则需对该信号进行 a LT b FT c Z变换 d 希尔伯特变换6 无失真传输的条件是 a 幅频特性等于常数 b 相位特性是一通过原 点的直线 c 幅频特性等于常数 相位特性是一通过原点的直线 d 幅频特性是一通过原点的直线 相位特性等于常数7 描述离散时间 系统的