平面向量教案

精品文档 1欢迎下载 教师阎伟清学生 上课时间 学科高中数学年级教材版本 课题平面向量平面向量 教学 重点 1 向量的综合应用 2 用向量知识 实现几何与代数之间的等价转化 教学 难点 1 向量的综合应用 2 用向量知识 实现几何与代数之间的等价转化 教学 过程 基本知识回顾 基本知识回顾 1 1 向量的概念 向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量 有二个要素 大小 方向 2 2 向量的表示方法 向量的表示方法 用有向线段表示 几何表示法 AB 用字母 等表示 字母表示法 a b 平面向量的坐标表示 坐标表示法 分别取与轴 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 任作一个向量 由平面向量基本定xyi j a 理知 有且只有一对实数 使得 叫做向量的 直角 坐标 记作 xya xiyj yxa ax y 其中叫做在轴上的坐标 叫做在轴上的坐标 特别地 xaxyay 若 则i 1 0 j 0 1 0 0 0 22 axy 11 yxA 22 yxB 1212 yyxxAB 22 2121 ABxxyy 3 3 零向量 单位向量 零向量 单位向量 长度为 0 的向量叫零向量 记为 0 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 注 就是单位向量 a a 4 4 平行向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定与任一向量平行 向量 平行 记作 共线向量与平行向量关系 平行向0 a b c a b c 量就是共线向量 性质 性质 是唯一 0 ab bab ba ba ab 0 与同向 方向 0 与反向 长度 其中 1221 0 0ab bx yx y 1122 ax ybxy 5 5 相等向量和垂直向量 相等向量和垂直向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 精品文档 2欢迎下载 垂直向量 两向量的夹角为 2 性质 性质 0aba b A 其中 1212 0abx xy y 1122 ax ybxy 6 6 向量的加法 减法 向量的加法 减法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 平行四边形法则 平行四边形法则 起点相同的两向量相加 常要构造平行四边形 ACab DBab 三角形法则三角形法则 加法首尾相连 减法终点相连方向指向被减数 加法法则的推广 112n ABABB B 1nn BB 即个向量 首尾相连成一个封闭图形 则有 n 12 a a n a 12 aa 0 n a 向量的减法向量加上的相反向量 叫做与的差 即 a b a b a b a b 差向量的意义 则 OAa OBb BAa b 平面向量的坐标运算 若 则 11 ax y 22 bxy ab 2121 yyxx ab 2121 yyxx axy 向量加法的交换律 向量加法的结合律 a b baa bcabc 常用结论 1 若 则 D 是 AB 的中点 1 2 ADABAC 2 或 G 是 ABC 的重心 则0GAGBGC 7 7 向量的模 1 定义 向量的大小 记为 或 a AB 精品文档 3欢迎下载 2 模的求法 若 则 ax y a 22 xy 若 则 1122 A x yB xyAB 22 2121 xxyy 3 性质 1 实数与向量的转化关系 2 2 aa 22 0 ab bab 2 反之不然 22 abab 3 三角不等式 ababab 4 当且仅当共线时取 a ba b A a b 即当同向时 即当同反向时 a b a ba b A a b a ba b A 5 平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和 即 2222 2 2 ababab 8 8 实数与向量的积 实数与向量的积 实数 与向量的积是一个向量 记作 a a 1 a a 2 0 时 与方向相同 0 当与异向时 0 a b a b 的大小由及的大小确定 因此 当 确定时 的符号与大小就确定了 这就是 b a a b a b 实数乘向量中 的几何意义 13 13 两个向量垂直的充要条件 两个向量垂直的充要条件 符号语言 0 a b a b 坐标语言 设 x1 y1 x2 y2 则 x1x2 y1y2 0 a b a b 例题讲解例题讲解 例例 1 1 已知 ABC 中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 BC 边上的高为 AD 求点 D 和向量坐标 AD 例例 2 2 求与向量 1 和 1 夹角相等 且模为的向量的坐标 a3 b32 c 例例 3 3 在 OAB 的边 OA OB 上分别取点 M N 使 1 3 1 4 设线段 AN OM OA ON OB 与 BM 交于点 P 记 用 表示向量 OA a OB b a b OP 例例 4 4 直角坐标系中 分别是与轴正方向同向的单位向量 在直角三角形中 若xOyij xy ABC 则的可能值个数是 jkiACjiAB 3 2k 1 2 3 4 例例 5 5 如图 平面内有三个向量 其中与与的夹角为 120 与的夹角为OA OBOCOA OBOA OC 精品文档 6欢迎下载 30 且且 1 若 R R OA OBOC32OCOA OB 则 的值为 例例 6 6 设a a 1 2 b b 3 4 c c 3 2 则 a a 2b b c c A 15 12 B 0 C 3 D 11 例例 7 7 已知平面向量 且 则 2 2 1 mba abba32 A 2 4 B 3 6 C 4 8 D 5 10 例例 8 8 已知平面向量 1 3 4 2 与垂直 则是 a b ab a A 1 B 1C 2D 2 例例 9 9 在平行四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于点 O E 是线段 OD 的中点 AE 的延长线与 CD 交于点 F 若 则 aAC bBD AF A B C D 11 42 ab 21 33 ab 11 24 ab 12 33 ab 例例 1010 已知向量 函数 3sin cos cos cos axxbxx 21f xa b 1 求的最小正周期 2 当时 若求的值 f x 62 x 1 f x x 例例 1111 已知向量 cosx sinx 且x 0 a 2 3 2 3 b 2 sin 2 cos xx 2 1 求ba 2 设函数 求函数的最值及相应的的值 baxf ba xfx 精品文档 7欢迎下载 提高练习一提高练习一 一 选择题 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 下列命题中正确的是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 OAOBAB 0ABBA C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 00AB ABBCCDAD 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设点 若点在直线上 且 则点的坐标为 2 0 A 4 2 BPABAB 2 AP P A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 1 1 1 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 或 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 无数多个 3 1 1 1 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若平面向量 与向量的夹角是 且 则 b 2 1 a o 18053 b b A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 6 3 6 3 3 6 3 6 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 向量 若与平行 则等于 2 3 a 1 2 b mab 2ab m A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 2 2 11 2 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 且 则锐角为 3 sin 2 a 1 cos 3 b a b A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 30 0 60 0 75 0 45 二 填空题 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 且 则向量与的夹角为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 abcab ca a b 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知向量 若用和表示 则 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 2 a 2 3 b 4 1 c a b c c 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 与的夹角为 若 则的值为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1a 2b ab 0 60 35 ab mab m 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若菱形 的边长为 则 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ABCD2ABCBCD 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 若 则在上的投影为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 3 2 b 7 4 a b 3 解答题 已知 其中 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 cos sin a cos sin b 0 1 求证 与互相垂直 ab ab 精品文档 8欢迎下载 2 若与的长度相等 求的值 为非零的常数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ka ba k b k 提提 一 一 1 1 设点 P 3 6 Q 5 2 R 的纵坐标为 9 且 P Q R 三点共线 则 R 点的横坐标为 A 9 B 6 C 9 D 6 2 已知 2 3 b b 4 7 则在b b上的投影为 A B C D 3 设点 A 1 2 B 3 5 将向量按向量 1 1 平移后得向量为 A 2 3 B 1 2 C 3 4 D 4 7 4 若 a b c b c a 3bc 且 sinA sinBcosC 那么 ABC 是 A 直角三角形 B 等边三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 5 已知 4 b b 3 与b b的夹角为 60 则 b b 等于 A B C D 6 已知向量 求向量b b 使 b b 2 并且与b b的夹角为 课后作业课后作业 一 选择题 1 在 ABC中 一定成立的是 A asinA bsinB B acosA bcosB C asinB bsinAD acosB bcosA 2 ABC中 sin2A sin2B sin2C 则 ABC为 A 直角三角形B 等腰直角三角形 C 等边三角形D 等腰三角形 3 在 ABC中 较短的两边为 且A 45 则角C的大小是 32 22 ba A 15 B 75C 120 D 60 4 在 ABC中 已知 则 等于 3 1 4 ABC SACABABAC 精品文档 9欢迎下载 A 2B 2C 2D 4 5 设 A 是 ABC 中的最小角 且 则实数a的取值范围是 1 1 cos a a A A a 3B a 1C 1 a 3D a 0 6 在 ABC中 三边长AB 7 BC 5 AC 6 则 等于 ABBC A 19B 14C 18D 19 7 在 ABC中 A B 是 sinA sinB成立的什么条件 A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要 8 若 ABC的 3 条边的长分别为 3 4 6 则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积 比是 A 1 1B 1 2C