方程思想想 专题训练(含解答)-

1 方程思想方程思想 在解决数学问题时 有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元 寻找已知与未知 之间的等量关系 构造方程或方程组 然后求解方程完成未知向已知的转化 这种解决问 题的思想称为方程思想 1 1 要具有正确列出方程的能力要具有正确列出方程的能力 有些数学问题需要利用方程解决 而正确列出方程是关键 因此要善于根据已知条件 寻找等量关系列方程 2 2 要具备用方程思想解题的意识 要具备用方程思想解题的意识 有些几何问题表面上看起来与代数问题无关 但是要利用代数方法 列方程来解决 因此要善于挖掘隐含条件 要具有方程的思想意识 还有一些综合问题 需要通过构造方 程来解决 在平时的学习 应该不断积累用方程思想解题的方法 3 3 要掌握运用方程思想解决问题的要点 要掌握运用方程思想解决问题的要点 除了几何的计算问题要使用方程或方程思想以外 经常需要用到方程思想的还有一元 二次方程根的判别式 根与系数关系 方程 函数 不等式的关系等内容 在解决与这些 内容有关的问题时要注意方程思想的应用 例题分析例题分析 例例 1 1 一商店以每 3 盘 16 元钱的价格购进一批录音带 又从另外一处以每 4 盘 21 元钱 价格购进比前一批数量加倍的录音带 如果以每 3 盘 k 元的价格全部出售可得到所投资的 20 的收益 求 k 的值 分析分析 可以设商店第一次购进 x 盘录音带 则第二次购进 2x 盘录音带 根据题意 列 出方程 xx k xx x kxx xk 2 3 16 3 2 21 4 120 3263 6 6 5 0 19 解这个方程 两边除以 得 答 k 的值是 19 小结小结 上述例题是应用问题 正确列出方程是解题的关键 在学习过程中要不断培养 这方面的能力 其中所设的 x 是辅助元 它在解题过程中是参加变化的量 可以消去 也 叫做参变量 并不是最终所求的未知量 从本题可以看出 设辅助元 x 以后可以方便我们 解题 例例 2 2 以 AB 为直径的圆交 BC 于 D 交 AC 于 F DE 切半圆于 ABCABAC中 D 交 AC 于 E 若 AB BC 5 6 且 AF 7 求 CE 的长 解 连结 AD FD 是直径 AB ADB ACAB DBC CDBD 90 是中点 2 FABD CFDB BC CCFDDCDF CDFCAB CFCBCDAC ABBCABACxBCx 四点共圆 设 5656 CDx CFxxx CFx xx xAC CF EDEDFCAD CADBACCDFBAC EDFCADBACCDFCDE CEEFCE 3 635 57 57635 525 18 1 2 1 2 1 2 9 即 是切线 C E F D A O B 例例 3 3 已知方程两根为 a b 方程两根为 c d 求xx 2 6410 xx 2 7810 的值 ac bc ad bd 解 由根系关系得 aba b cdc d 641 781 3 ac bc ad bd ac bdbcad abadcbcdabbdaccd cbadacbd abccdbcdaabd cbad 2222 2222 cdxx ccdd cdcd abab cdab ab 是方程的两根 同理 原式 2 22 22 22 2222 22 7810 78107810 782 642 2642 6464 78641988 78 c d 7878 例例 4 4 已知方程有两个根的积等于 2 解这个方程 252453200 432 xxxx 分析分析 若直接求解此方程较困难 可以利用待定系数法 由根与系数的关系可知 两 根之积为 2 的一元二次方程 如果二次项的系数是 1 那么常数项是 2 解 设25245320 432 xxxx xaxxbx xab xabxab x 22 432 2 210 22610220 比较对应项系数 得 解得 原方程可以化成 原方程的根是 25 624 10253 9 2 4 9 2 2 24100 1 2 416 22 ab ab ab ab xxxx 小结小结 本例是一个解方程的问题 但是在求解过程中仍然体现了方程思想 利用根系 关系构造方程 利用待定系数法构造方程组 都是方程思想的应用 易错题分析易错题分析 例例 1 1 已知关于 x 的方程有两个正整数根 求整数 m 02 1 2 2 mxmmx 分析 本题关于 x 的方程有两个正整数根 所以这个方mxmxm 2 2120 程是一元二次方程 如果用根系关系来解 即 0 mxx 12 0 列出关于 m 的不等式 再由正整数根的条件求出 m 的值 方法比较xx 12 0 0 4 繁 一般来说 解字母系数的一元二次方程 都可以分解因式 这样解法比较简便 解 将方程分解因式 02 1 2 2 mxmmx 0 2 1 2 1 0 1 2 2 2 1 x mm m x x xmmx 且是正整数 或 x mm 2 12 检验 当 m 1 时 方程为xx 2 430 xxxx 13013 12 当 m 2 时 方程为2640 2 xx xx xxxx 2 12 320 12012 mm12或均符合题意 点证 本题有的同学解法比较繁 而且容易错 用分解因式的方法较好 另外求出 以后 变形为以后 便于讨论 m 的值 最后 求出 m 的值以后要注x m m 2 2 x m 2 1 2 意检验是否符合题意 以免多解或丢解 还可以检验 等 0 xxxx 1212 00 例例 2 2 若关于 x 的方程 有两个不同的正整数根 求 kxkx 22 16 31720 正整数 k 的值 分析 本题用因式分解的方法较好 但求出 k 以后 要注意检验 因为题目要求有两 个不同的正整数根 所以 0 解 关于 x 的方程有两个不同的正整数根 kxkx 22 16 31720 将方程的左边分解因式 kk 2 101 kxkx x k x k xx x k k 112160 12 1 6 1 12 1 0123511 12 12 1 和是两个不同的正整数 由 得 5 由得 或 但即 时 符合题意 x k k kk kkk k kxxk 2 222 12 6 1 2347 23 6 314172030 3 2462 点评 本题容易错在 k 3 没有舍 所以一定要注意检验 0 例例 3 3 已知抛物线在 x 轴上方 关于 x 的方程yxxm 2 48 两个不等实数根是 当 m 是整数时 求 mxmxm 32 2230 2 的值 分析 本题是二次函数和方程的综合题 要用限定 m 的范围 由已知 m 是整数确定 m 的值 然后用根系关系求出的值 解 在 x 轴上方 yxxm 2 48 1 2 22 16480 4 84 2990 1 m m mmm m 又方程有两个不等实根 由又 是整数 或 41 23 mm mm 但方程有两个不等实根是一元二次方程 mxmxm 32 2230 2 mm mxx 303 24 210 4 21 2 34 2 22 2 即 方程为 点评 本题容易错的地方是求出以后 没有舍去 m 3 所以一定mm 23和 要检验一元二次方程的二次项系数 使其不为零 6 以上三个例题 组成一个题组 小结为一元二次方程要注意验二次项系数 验 并 且还要检验是否符合题意 这样才能避免出错 练习练习 一一 选择题 选择题 1 已知 其内切圆半径为 则三角形三边的长是 ABCA的周长是 28120 3 A 8 7 13 B 8 5 12 C 6 7 14 D 8 7 14 2 已知等腰三角形的一腰与底边的长分别为方程的两根 若这样的三角xxa 2 60 形只有一个时 a 的取值范围是 A a 8 B 0 a 8 C 0 ab c 2 2b a c 3 b 是正整数 4 ABCabc 222 84 则 b 的值是 2 已知 a 为自然数 二次方程有一正整数根 p 那么xxa 2 32240 a 方程的另一极是 3 已知 m 是整数 二次方程有两个正整数根 则 m 的值是mxmxm 2 2120 三三 解答题 解答题 1 某考生的准考证号码是一个四位数 它的千位数字是 1 如果把 1 移到个位上去 那么 所得的新数比原数的 5 倍少 49 求这个考生的准考证号码 2 如图 正方形 ABCD 的中心为 O 面积为且1989 2 cmP 为正方形内的一点 求 PB 的长 OPBPAPB45514 D C O P A B 3 已知是关于 x 的一元二次方程的两个实数根 xx 12 mxmnmxn 2 140 的两个实根 且yyyymyn 12 2 82450 是关于 的方程 求 m n 的值 x yx y 1122 11 8 4 如图 EB 是直径 O 是圆心 CB CD 切半圆于 B D CD 交 BE 延长线于 A 点 若 BC 6 AD 2AE 求半圆的面积 C D A E O B 5 已知抛物线与 x 轴有两个交点 A B 且 A 在 x 轴正半轴 yxmxm 2 213 B 在 x 轴负半轴 设 OA 长为 a OB 长为 b 1 求 m 的取值范围 2 若 a b 满足 a b 3 1 求 m 的值 3 由 2 所得的抛物线与 y 轴交于 C 问在抛物线上是否存在一点 P 使 PACOAC 若存在 求 P 点的坐标 如果不存在 请说明理由 9 疑难解析疑难解析 A 教师自己设计的问题 1 解答题的第 4 小题怎样用方程的思想解决问题 2 解答题的第 5 小题的解题思路是什么 B 对问题的解答 1 答 这个题也是方程思想的应用 关键在于理解 AD 2AE 在条件中的作用 因为有倍 半关系 所以 AE AD 1 2 这是方程思想应用最明显的知识特征 再利用勾股定理和成 比例线段的知识 就可以转化为方程求解了 略解略解 连结 CO DE BD 设 DB 交 OC 于 F 点 CDCB CDCBDCOBCO CO DBAB EDBDECO ADDCAEEO ADAECDEO ADAE CDEOEO SRS 是切线 且 是直径 半圆半圆 6 90 2 213 1 2 9 2 2 2 答由于抛物线与 x 轴有两个交点 A B 可知方程有两 xmxm 2 2130 个不等实根 即判别式大于零 由已知 A 在 x 轴正半轴 B 在 x 轴负半轴 可进一步确定 上面方程有一个正根 一个负根 从而将函数图形问题转化为方程根的判定去解决 略解略解 1 由题意 0 3 1 4 1 2 2 mm 即 m 可取任意实数 0 4 7 2 3 43 22 mmm B 两点在 y 轴两侧 即方程有一正根 一负根 A 03 1 2 2 mxmx 即 解得0 3 21 mxx3 m 10 2 由题意 得 A a 0 B b 0 ba mab mba ba ba 3 3 1 2 3 1 3 解得 经检验不合题意舍去 0 1 m 3 5 2 m 3 5 m 0 m 3 由抛物线 令 x 0 得 y 3 32 2 xxy 3 0 由 m 0 求出 a 3 b 1 0 3 A 为等腰直角三角形 OAC 若存在点 P 使时 与AOC 关于 AC 为轴对OACPAC PACOCOA 称图形 P 点坐标 3 3 将 x 3 代入中 得 y 0 说明 P 3 3 不在抛32 2 xxy 物线上 即不存在抛物线上的点 P 使 OACPAC 11 试题答案试题答案 一 1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 A 二 1 5 2 4 3 m 1 或 m 212 三 1 提示提示 设原数后三位为 x 则原数为 1000 x 由题意列