大学概率论与数理统计复习资料

第一章 随机事件及其概率 知识点 概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 2 加法定理ABPBPAPBAP 21 11 有限可加性两两互斥设 n n i i n i i AAAAPAP 0 互不相容时 独立时与 BAABP BABPAPABP 5 ABPAPBAPBAP 时当ABBPAPBAPBAP 0 6 21 1 in n i ii APAAA ABPAPBP 且的一个划分为其中 全概率公式 1 1 21 11 相互独立时 n n i i n i i AAAAPAP 4 BAPBPABPAPABP 3 APABPABP 7 1 逆概率公式 n i ii ii i ABPAP ABPAP BAP 1 SLALAPnrAP 应用举例 1 已知事件满足 且 则 A B BAPABP 6 0 AP BP 2 已知事件相互独立 则 A B kAP 6 0 2 0 BAPBP k 3 已知事件互不相容 A B 3 0 AP 5 0 BAPBP 则 4 若 3 0 AP 5 0 4 0 BABPBAPBP 5 是三个随机事件 事件与 的关系 A B CCB ACB A 是 6 5 张数字卡片上分别写着 1 2 3 4 5 从中任取 3 张 排成 3 位数 则排成 3 位奇数的概率是 7 某人下午 5 00 下班 他所积累的资料表明 到家时间5 30 5 40 5 40 5 50 5 50 6 006 00以后以后 乘地铁0 3 0 40 20 1 乘汽车0 20 30 40 1 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车 1 试求他在 5 40 5 50 到家的概率 2 结果他是 5 47 到家的 试求他是乘地铁回家的概率 解 1 设 他是乘地铁回家的 他是乘汽车回家 1 A 2 A 的 第 段时间到家的 分别对应时间段 i Bi4 3 2 1 i 5 30 5 40 5 40 5 50 5 50 6 00 6 00 以后 则由全概率公式有 2221212 ABPAPABPAPBP 由上表可知 4 0 12 ABP3 0 22 ABP5 0 21 APAP 35 0 5 03 04 05 0 2 BP 2 由贝叶斯公式 7 4 35 0 4 05 0 2 21 21 BP BAP BAP 8 盒中 12 个新乒乓球 每次比赛从中任取 3 个来用 比 赛后仍放回盒中 求 第三次比赛时取到 3 个新球的概率 看作业习题 1 4 9 11 15 16 第二章 随机变量及其分布 知识点 连续型 离散型 随机变量分布的性质 连续型 离散型 随机变量分布 包括随机变量 函数的分布 常用分布 重要内容 1 2121 xFxFxxxF 单调递增 即 1 lim 0 lim 2 xFF xFF x x 0 3xFxFxF 右连续 即 RxxF 10 4 1 i i p 2 分布律的性质 2 1 10 ipi 1 分布函数的性质 1 非负性 2 规范性 3 分布密度函数的性质 Rxxf 0 4 概率计算 5 常用分布 1 dxxf 1 非负性 2 规范性 1221 P xXxP XxP Xx aFaXP 0 aFaFaXP 2 1 21 x x dxxfxXxP 0 0 aFaFaXP a dxxfXaP a dxxfaXP 为连续型随机变量 X 二项分布 73 991 3 2 3 45 951 2 2 2 27 681 1 2 1 XP XP XP 或泊松分布 PXX 0 1 0 ke k kXP k pnbXpnBX 或 记为 1 0 nkqpCkXP knkk n 条件 较大且 很小 泊松定理 1 npe k ppC k knkk n 其他 均匀分布 0 1 bxa ab xf baUX 其他 指数分布 0 0 0 xe xf EX x 2 1 2 2 2 2 xexf NX x 正态分布 5 0 0 1 应用举例 1 设是某随机变量的密度函数 则 2 0 x f xkex k 2 设随机变量的概率密度为 则X 22 cos 2 1 xxxf 01 XP 3 设随机变量的分布函数为 则X 1 1 ln 1 0 ex exx x xF 2 XP 4 设 满足的参数 2 NX 1 1 XPXP 5 离散型随机变量的分布律为 则X 1 1 1 2 3 P Xkk c k c 6 土地粮食亩产量 单位 kg 按亩产量高 60 360 2 NX 低将土地分成等级 若亩产量高于 420kg 为一级 在 360 420kg 间为二级 在 315 360kg 间为三等 低于 315kg 为四级 求等级 的概率分布 Y5 0 0 8413 0 1 7734 0 75 0 x xF 1 2 xx 73 99 3 45 95 2 27 68 1 XP XP XP 解 3154 3603153 4203602 4201 X X X X Y 7 110 在长度为 的时间 单位 h 间隔内收到的紧急呼救的t 次数服从参数为的泊松分布 而与时间间隔的起点无关 Xt 2 1 求某一天中午 12 时至下午 3 时至少收到 1 次呼救的概率 解 的分布律为 X 2 1 0 2 2 k k t e kXP k t 中午 12 时到下午 3 时 表明 求 3 t 1 XP 8 一批产品由 8 件正品 2 件次品组成 若随机地从中每 次抽取一件产品后 无论抽出的是正品还是次品总用一件 正品放回去 直到取到正品为止 求抽取次数的分布律 X 解 所有可能的取值为 1 2 3X 第 次取到正品 i Ai3 2 1 i 看作业习题 2 4 7 17 20 24 26 27 28 第三章 多维随机变量及其分布 知识点 二维连续型 离散型 随机变量分布的性质 二维连续型 离散型 随机变量的分布 包括边际分布 随机变量的独立性 二维常用分布 内容提要 1 概率分布的性质 2 二维概率计算 2 1 0 jipij离散型非负性 1 11 ij ij p归一性 1 dxdyyxf连续型归一性 G PX YGf x y dxdy 3 边际密度函数计算 4 常用分布 二维正态分布 5 随机变量的独立性 6 正态分布的可加性 dyyxfxf X dxyxfyfY yFxFyxF YX 2 1 jippp jiij yfxfyxf YX 2 12 2 12 11 1 2 iii n nn nii ii Nin N 设 且相互独立则 其他 均匀分布 0 1 Dyx A yxf 2 22 2 11 NYNX 2 2 2 121 NYX 应用举例 1 设的密度函数则 YX 其他 0 0 0 2 yxke yxf yx k 2 设离散型随机变量的联合分布律为 X Y 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 61 91 181 3 X Y P 且相互独立 则 YX 3 某箱中有 100 件产品 其中一 二 三等品分别为 70 20 10 件 现从中随机的抽取一件 记 等品抽到 其它 i Xi 1 0 求 1 和的联合分布律 2 并求 3 2 1 i 1 X 2 X 21 XXP 4 设随机变量在曲线 围成的区域里服从 YXxy xy D 均匀分布 求联合概率密度和边缘概率密度 5 设二维随机变量的概率密度为 YX 求 其它0 1 4 21 22 yxyx yxf XYP 6 设随机变量相互独立 并且均服从正态分布 321 XXX 则 3 2 1 2 iNX iii 3 1 i iii bXaX 看作业习题 3 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 18 第四章 随机变量的数字特征 知识点 随机变量的数学期望的性质与计算 随机变量的方差 协方差 相关系数 的性质与计算 主要内容 1 数学期望的计算 dxxxfXEpxXE XEX i ii 1 连续型离散型 求的分布已知 dxxfxgYEpxgYE YEXgYX i ii 2 连续型离散型 求且的分布已知 2 性质 当随机变量相互独立时 dydxyxyfYEpyYE dydxyxxfXEpxXE YEXEYX R ji ijj R ij iji 2 2 1 4 连续型离散型 连续型离散型 方法 或求的联合分布已知 dydxyxfyxgZEpyxgZE ZEYXgZYX R ij ijji 2 3 连续型离散型 求 且的联合分布已知 dyyyfYEpyYE dxxxfXEpxXE Yj j j Xi i i 2 连续型离散型 连续型离散型 则先求出边际分布方法 2121nn XEXEXEXXXE 3 方差的计算 4 方差性质 5 协方差与相关系数 协方差的计算 EXEYEXYYXCOV DYDXYXCOV XY 相关系数的计算 DYDX YXCOV XY 应用举例 1 某农产品的需求量 X 单位 吨 服从区间 1200 3000 上的 均匀分布 若售出这种农产品 1 吨 可赚 2 万元 但若 1212 nn E XYE XE Y E X XXE XE XE X 2 D XE XEX 即 22 D XE XE X 易证 2 2 D aXba D X 2 D aXa D X 特别地 3 2 D XYD XD YEXE XYE Y 1 0D c XYD XYD XD Y 特别地当与独立时 12 n XXX 推广当相互独立时有 n i i n i i DXXD 11 Cov X YE XE XYE Y 销售不出去 则每吨需付仓库保管费 1 万元 问每年应 准备多少吨产品才可得到最大平均利润 解 设每年准备该种产品 k 吨 1200 k 3000 则利润 Y 为 此时有库存 此时无库存 kXXkX kXk XY 2 2 XgEYE 2 设随机变量和 的方差存在且不等于 则XY 是和 D XYD XD Y XY A 不相关的充分条件 但不是必要条件 B 独立的充分条件 C 不相关的充分必要条件 D 独立的充分必要条件 3 已知 与 相互独立 则 2 4 YDXDXY cbYaXD 4 设随机变量与 相互独立 且与 有相同的概率分布 XYXY 数学期望与方差均存在 记 求 YX 2 YX3 解 因为与 相互独立 则XY EXEYXYE 与 有相同的概率分布 则XYDYDXEYEX DD EEE DD Cov YXYXEE3 2 3 52 22 EYXYXE 22 352EYEXEYEX 22 5 EXEX 看作业习题 4 第五章 大数定律和中心极限定理 知识点 切比雪夫不等式 大数定律和中心极限定理 内容提要 1 切比雪夫不等式 2 独立同分布的中心极限定理 2 0 10021 UXXXX i 独立同分布 且设 则 3 1 1 ii DXEX 则 1 近似 中心极限定 3 100 100 100 1 NX i i 理 2 标准化后 1 0 3 100 100 100 1 N X i i 3 100 100 100 1 x X i i 的分布函数是 即 3 100 100 100 1 xx X P i i 2 2 1 DX PXEX DX PXEX 3 100 100 3 100 100 3 100 100 3 100 100 3 100 100 3 10 1 100 1 ab b X a PbXaP i i i i 4 22 100 1 100 1 3 100 1 1 100 i i i i XD XP 切比雪夫不等式 5 同理 近似 300 1 1 100 1 100 1 NXX i i 标准化后 1 0 300 1 1 100 1 100 1 N X i i 75 1 2 300 1 2 100 1 21 100 1 22 100 1 100 1 i i i i XD XP 切比雪夫不等式 3 2 1 2 n XB n pn xR 定理设随机变量则对 任意有 lim 1 n n Xnp Pxx npp 第六章 数理统计的基本概念 知识点 抽样分布 内容提要 1 基本概念 样本 统计量 常用统计量 2 抽样分布定理 1 特别地 1 1 0 22 XNX则若 2 nt nY X T 1 2 nFT 3 21 2 11 nnF nY nX F 1 12 nnF F 4 1 2 n NX 1 0 N n X 1 nt ns X 1 1 2 2 2 n Sn 0 1 1 2 i XNin 设且相互独立称 nXXXX n i in 2 1 222 2 2 1 2 2 0 1 XNYn 设且X与Y相互独立 则称 22 112 XnYnXY 设且与相互独立则称 2 2 21 有及样本方差则对样本均值简单随机样本 中抽取的一个是从正态总体设 SX NXXX n 2 1 12 2 2 1 1 S F nn S 1 2 2 121 2 122 22 12 n n XXXN Y YYN X YSS 定理3 设是来自 是来自的两个独立样本 分别表示样本均值表示样本方差 则统计量 12 12 22 1122 1212 2 1 1 11 2 XY t nn nSnS nnnn 1 设总体相互独立 且都服从 而YX 3 0 2 N 分别来自的样本 问 和 921921 YYYXXX YX和 1 服从什么分布 921 XXX 2 22 9 2 2 2 1 CYYYC分布 服从若 解 92 1 3 0 2 iNX i 9 0 2 921 NXXX 92 1 3 0 2 iNYi 92 1 1 0 3 iN Yi c 1 9 则 9 3 22 9 1 i i Y 第七章参数估计 知识点 点估计 区间估计 估计量的评价标准 主要内容 1 矩法 矩估计法的具体步骤矩估计法的具体步骤 1 1 2 1 2 n r ri i AXrk n 12 k k 这是一个包含个未知参数的方程组 12 4 k 解出其中 12 1 1 2 r rrk vE Xvrk 求出 12 k 用表示 3 rr vA 令 2 极大似然估计法 3 解方程组求出估计量 1212 5 kk 用方程组的解分别作为 的估计量这个估计量称为矩估计量 1212 1 1 n kik i LLf x 构造似然函数 12 12 2 0 ln 0 1 2 k i k i L L ik 得似然方程组或 3 估计量