基本不等式及应用

精品文档 第第 1 页页 共共 8 8 页页1欢迎下载 基本不等式及应用基本不等式及应用 一 考纲要求 1 了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 3 了解证明不等式的基本方法 综合法 二 基本不等式 基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件 ab a b 2 a 0 b 0a b 三 常用的几个重要不等式 1 a2 b2 2ab a b R 2 ab 2 a b R a b 2 3 2 a b R 4 2 a b 同号且不为零 a2 b2 2 a b 2 b a a b 上述四个不等式等号成立的条件都是 a b 四 算术平均数与几何平均数 设 a 0 b 0 则 a b 的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为 两个正数的 a b 2ab 算术平均数不小于它们的几何平均数 四个四个 平均数平均数 的大小关系 的大小关系 a a b b R R 当且仅当当且仅当a a b b时取等号时取等号 五 利用基本不等式求最值 设 x y 都是正数 1 如果积 xy 是定值 P 那么当 x y 时和 x y 有最小值 2 P 2 如果和 x y 是定值 S 那么当 x y 时积 xy 有最大值 S2 1 4 强调 1 在使用 和为常数 积有最大值 和 积为常数 和有最小值 这两个结论时 应把握三点 一正 二定 三相等 四最值 当条件不完全具备时 应创造条件 正 两项必须都是正数 定 求两项和的最小值 它们的积应为定值 求两项积的最大值 它们的和应为定值 等 等号成立的条件必须存在 2 当利用基本不等式求最大 小 值等号取不到时 如何处理 若最值取不到可考虑函数的单调性 想一想想一想 错在哪里 错在哪里 22 22 abab 2ab ab ab 已已知知函函数数 求求函函数数的的 最最小小值值和和此此时时x的的取取值值 x xxf 1 已已知知函函数数 求求函函数数的的 最最小小值值和和此此时时x的的取取值值 x xxf 1 11 22 1 1 2 fxxx xx xx x 解 当 且 仅 当即时 函 数 取 到 最 小 值 已已知知函函数数 求求函函数数的的最最小小值值 2 2 3 x x xxf 已已知知函函数数 求求函函数数的的最最小小值值 2 2 3 x x xxf 33 2 22 2 3 3 2 6 fxxx xx x x x x 解 当 且 仅 当即时 函 数 的 最 小 值 是 23x 大 家 把代 入 看 一 看 会 有 什 么 发 现 用 什 么 方 法 求 该 函 数 的 最 小 值 精品文档 第第 2 页页 共共 8 8 页页2欢迎下载 3 已知两正数 x y 满足 x y 1 则 z x y 的最小值为 1 x 1 y 解一 因为对 a 0 恒有 a 2 从而 z x y 4 所以 z 的最小值是 4 1 a 1 x 1 y 解二 z xy 2 2 2 2 1 所以 z 的最小值是 2 x2y2 2xy xy 2 xy 2 xy xy2 2 1 2 错因分析 错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备 因此使用基本不等式一定要验证 等号成立的条件 只有等号成立时 所求出的最值才是正确的 正确解答 z x y xy xy xy 2 1 x 1 y 1 xy y x x y 1 xy x y 2 2xy xy 2 xy 令 t xy 则 0 t xy 2 由 f t t 在 0 上单调递减 故当 t 时 f t t x y 2 1 4 2 t 1 4 1 4 有最小值 所以当 x y 时 z 有最小值 2 t 33 4 1 2 25 4 误区警示 1 在利用基本不等式求最值 值域 时 过多地关注形式上的满足 极容易忽视符号和等号成立条件 的满足 这是造成解题失误的重要原因 如函数 y 1 2x x 0 有最大值 1 2而不是有最小值 3 x6 1 2 6 2 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否都能保证等号成立 并且要注意取等号条件的一 致性 否则就会出错 课堂纠错补练 课堂纠错补练 若 0 x 则 f x sinx 的最小值为 2 4 sinx 解析 令 sinx t 00 b 0 a b 1 求证 4 1 a 1 b 证明 1 a 0 b 0 a b 1 2 1 a 1 b a b a a b b b a a b 2 2 4 当且仅当 a b 时等号成立 b a a b 1 2 4 原不等式成立 1 a 1 b 练习 练习 已知 a b c 为正实数 且 a b c 1 求证 1 1 1 8 1 a 1 b 1 c 证明 a b c 均为正实数 且 a b c 1 1 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c abc 8 b c a c a b abc 2bc 2ac 2ab abc 当且仅当 a b c 时取等号 1 3 考点考点 2 2 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 1 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目标在于使等号成立 且每项为正值 必要时需 出现积为定值或和为定值 2 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且 也是检验转换是否有误的一种方法 例 4 1 设 0 x 2 求函数的最大值 2 2xxy 分析 由和或积为定值从而利用基本不等式求最值 然后确定取得最值的条件 解 1 0 x0 y x 4 2x 2x 2 x 2 x 2 x 22 当且仅当 x 2 x 即 x 1 时取等号 当 x 1 时 函数 y 的最大值是 x 4 2x 2 2 x 0 求 f x 3x 的最小值 12 x 3 已知 x 0 y 0 且 2x 5y 20 求 xy 的最大值 4 已知 a 求的取值范围 y 4 a 2 y 显然 a 2 当 a 2 时 a 2 0 a a 2 2 2 2 6 4 a 2 4 a 2 4 a 2 a 2 当且仅当 a 2 即 a 4 时取等号 4 a 2 精品文档 第第 4 页页 共共 8 8 页页4欢迎下载 当 a 2 时 a 20 y 0 且 x y 1 求 的最小值 3 x 4 y x 0 y 0 且 x y 1 x y 3 x 4 y 3 x 4 y 7 7 2 7 4 3y x 4x y 3y x 4x y3 当且仅当 即 2x y 时等号成立 3y x 4x y3 的最小值为 7 4 3 x 4 y3 练习 练习 求下列各题的最值 1 已知 x 0 y 0 lgx lgy 1 求 z 的最小值 2 x 5 y 解 1 由 x 0 y 0 lgx lgy 1 可得 xy 10 则 2 zmin 2 当且仅当 2y 5x 即 x 2 y 5 时等号成立 2 x 5 y 2y 5x 10 210 xy 10 2 x0 求 f x 3x 的最大值 12 x x 0 f x 3x 2 12 等号成立的条件是 3x 即 x 2 12 x 12 x 3x 12 x f x 的最小值是 12 3 x 3 求 f x x 的最大值 4 x 3 x 3 x 30 f x x x 3 3 4 x 3 4 x 3 3 x 3 2 3 1 4 3 x 4 3 x 3 x 当且仅当 3 x 即 x 1 时 等号成立 故 f x 的最大值为 1 4 3 x 4 求的最大值 14 0 0 babaab 精品文档 第第 5 页页 共共 8 8 页页5欢迎下载 考点考点 3 3 利用基本不等式求最值的解题技巧利用基本不等式求最值的解题技巧 1 代换 化复杂为简单 易于拼凑成定值形式 2 拆 拼 凑 目的只有一个 出现定值 例 3 1 已知 求的最小值 Rba abba 3ab 2 已知 求的最大值 10 12 2 xxxyy 3 已知 求的最大值 Rba 1 2 2 2 b a 2 1ba 4 求函数的最大值 xxy2512 5 设 a b c 0 求 2a2 10ac 25c2的最小值 1 ab 1 a a b A 2 B 4 C 2 D 5 5 分析 通过拆 拼 凑创造条件 利用基本不等式求最值 但要注意等号成立时的条件 解析 原式 a2 10ac 25c2 ab a a b a2 ab a a b 1 ab 1 a a b a 5c 2 ab a a b 1 ab 1 a a b 0 2 2 4 1 ab ab 1 a a b a a b 当且仅当Error Error 即 a b c 时 等号成立 答案 B 2 2 2 2 5 练习 练习 1 2011 年浙江 设 x y 为实数 若 4x2 y2 xy 1 则 2x y 的最大值是 解析 4x2 y2 xy 1 4x2 4xy y2 3xy 1 2x y 2 1 3xy 2x y 2 3 2 3 2 2x y 2 2x y 2 1 2x y 2 2x y 2 3 8 8 5 即 2x y 当且仅当 2x y 时取等号 2x y 最大值 210 5 210 5 2 510 2 已知 求的最大值 4 5 x 54 1 24 x xy 精品文档 第第 6 页页 共共 8 8 页页6欢迎下载 3 已知 求的最小值及相应的的值 0 yx1 xy yx yx 22 yx 考点考点 4 4 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用 应用基本不等式解决实际问题的步骤是 1 仔细阅读题目 透彻理解题意 2 分析实际问题中的数量关系 引入未知数 并用它表示其他的变量 把要求最值的变量设为函数 3 应用基本不等式求出函数的最值 4 还原实际问题 作出解答 例 4 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其他三面 围墙要新建 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙长度为 x 单位 m 修建此矩形场地围墙的总费用为 y 单 位 元 1 将 y 表示为 x 的函数 2 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 分析 1 首先明确总费用 y 旧墙维修费 建新墙费 其次 列出 y 与 x 的函数关系式 2 利用基 本不等式求最值 最后确定取得最值的条件 作出问题结论 解 1 如图 设矩形的另一边长为 a m 则 y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知 xa 360 得 a 360 x 所以 y 225x 360 x 2 3602 x 2 x 2 225x 2 10800 3602 x225 3602 y 225x 360 10440 当且仅当 225x 时 等号成立 3602 x 3602 x 即当 x 24 m 时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是 10440 元 方法归纳 1 利用基本不等式解决实际问题时 应先仔细阅读题目信息 理解题意 明确其中的数量关系 并引入 变量 依题意列出相应的函数关系式 然后用基本不等式求解 2 在求所列函数的最值时 若用基本不等式时 等号取不到 可利用函数单调性求解 练习 练习 1 有一座大桥既是交通拥挤地段 又是事故多发地段 为了保证安全 交通部门规定 大桥上的车距 d m 与车速 v km h 和车长 l m 的关系满足 d kv2l l k 为正常数 假定车身长都为 4 m 当车速为 1 2 60 km h 时 车距为 2 66 个车身长 1 写出车距 d 关于车速 v 的函数关系式 2 应规定怎样的车速 才能使大桥上每小时通过的车辆最多 精品文档 第第 7 页页 共共 8 8 页页7欢迎下载 解 1 当 v 60 km h 时 d 2 66l k 0 0006 2 66l 1 2l 602l 2 16 602 d 0 0024v2 2 2 设每小时通过的车辆为 Q 则 Q 即 Q 1000v d 4 1000v 0 0024v2 6 1000 0 0024v 6 v 0 0024v 2 0 24 Q 6 v 0 0024v 6 v 1000 0 24 12500 3 当且仅当 0 0024v 即 v 50 时 Q 取最大值 6 v 12500 3 答 当 v 50 km h 时 大桥上每小时通过的车辆最多 2 设计一幅宣传画 要求画面面积为 4840 画面的宽与高的比为 画面的上下各 2 cm 10 留 8的空白 左右各留 5空白 怎样确定画面的高于款的尺寸 使宣传画所用纸张面积最小 如cmcm 果要求 那么为何值时使宣传画所用纸张面积最小 4 3 3 2 归纳提升 1 创设应用基本不等式的条件 1 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目的是使 和式 或 积式 为定值 且每项为正 值 2 在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否 有误的一种方法 2 常用不等式 以下不等式在解题时使用更直接 1 a 2 a 0 且