初中因式分解的常用方法—特色专题详解

精品文档 1欢迎下载 初中因式分解的常用方法初中因式分解的常用方法 特色专题详解特色专题详解 一 提公因式法一 提公因式法 如多项式 cbamcmbmam 其中 m 叫做这个多项式各项的公因式 m 既可以是一个单项式 也可以是一个多项 式 二 运用公式法二 运用公式法 运用公式法 即用 2 2233 222 22 babababa bababa bababa 写出结果 三 分组分解法三 分组分解法 一 分组后能直接提公因式 一 分组后能直接提公因式 例 1 分解因式 bnbmanam 例 2 分解因式 bxbyayax 5102 精品文档 2欢迎下载 对应练习 分解因式 1 2 bcacaba 2 1 yxxy 二 分组后能直接运用公式 二 分组后能直接运用公式 例 3 分解因式 ayaxyx 22 例 4 分解因式 222 2cbaba 精品文档 3欢迎下载 对应练习 分解因式 3 4 yyxx39 22 yzzyx2 222 综合练习 1 2 3223 yxyyxx baaxbxbxax 22 3 4 181696 222 aayxyxabbaba49126 22 5 6 92 234 aaaybxbyaxa 2222 44 精品文档 4欢迎下载 7 8 22 2yyzxzxyx 1222 22 abbbaa 9 10 1 1 2 mmyy 2 abbcaca 11 12 abcbaccabcba2 222 abccba3 333 四 十字相乘法四 十字相乘法 一 二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 进行分解 2 qxpxpqxqpx 特点 1 二次项系数是 1 2 常数项是两个数的乘积 3 一次项系数是常数项的两因数的和 例 5 分解因式 65 2 xx 精品文档 5欢迎下载 例 6 分解因式 67 2 xx 对应练习 5 分解因式 1 2 3 2414 2 xx3615 2 aa 54 2 xx 对应练习 6 分解因式 1 2 3 2 2 xx152 2 yy 2410 2 xx 二 二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxax 2 条件 1 21a aa 1 a 1 c 2 21c cc 2 a 2 c 3 1221 cacab 1221 cacab 精品文档 6欢迎下载 分解结果 cbxax 2 2211 cxacxa 例 7 分解因式 10113 2 xx 对应练习 7 分解因式 1 2 675 2 xx273 2 xx 3 4 31710 2 xx10116 2 yy 三 二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8 分解因式 22 1288baba 对应练习 8 分解因式 1 2 3 22 23yxyx 22 86nmnm 22 6baba 四 二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9 例 10 22 672yxyx 23 22 xyyx 精品文档 7欢迎下载 对应练习 9 分解因式 1 2 22 4715yxyx 86 22 axxa 综合练习 10 1 2 178 36 xx 22 151112yxyx 3 4 10 3 2 yxyx344 2 baba 5 6 2222 65xyxyx 26344 22 nmnmnm 7 8 34244 22 yxyxyx 2222 10 23 5bababa 精品文档 8欢迎下载 9 10 103644 22 yyxxyx 2222 2 11 12yxyxyx 思考 分解因式 abcxcbaabcx 2222 五 主元法五 主元法 例 11 分解因式 29103 22 yxyxyx 对应练习 11 分解因式 1 2 564 22 yxyx672 22 yxyxyx 精品文档 9欢迎下载 3 4 6136 22 yxyxyx363556 22 bababa 六 双十字相乘法 六 双十字相乘法 定义 双十字相乘法用于对型多项式的分解因式 FEyDxCyBxyAx 22 条件 1 21a aA 21c cC 21f fF 2 Bcaca 1221 Efcfc 1221 Dfafa 1221 即 1 a 1 c 1 f 2 a 2 c 2 f Bcaca 1221 Efcfc 1221 Dfafa 1221 则 FEyDxCyBxyAx 22 222111 fcxafycxa 例 12 分解因式 1 29103 22 yxyxyx 2 6136 22 yxyxyx 精品文档 10欢迎下载 对应练习 12 分解因式 1 2 672 22 yxyxyx 222 27376zyzxzyxyx 七 换元法 七 换元法 例 13 分解因式 1 2005 12005 2005 22 xx 2 2 6 3 2 1 xxxxx 对应练习 13 分解因式 1 4 22222 yxxyyxyx 精品文档 11欢迎下载 2 3 90 384 23 22 xxxx 222222 3 4 5 1 aaa 例 14 分解因式 1 262 234 xxxx 观察 此多项式的特点 是关于的降幂排列 每一项的次数依次少 1 并且系数成x 轴对称 这种多项式属于 等距离多项式 对应练习 14 1 2 673676 234 xxxx 212 2234 xxxxx 精品文档 12欢迎下载 八 添项 拆项 配方法 八 添项 拆项 配方法 例 15 分解因式 1 43 23 xx 对应练习 15 分解因式 1 2 89 3 xx 4224 1 1 1 xxx 3 4 17 24 xx 224 12aaxxx 精品文档 13欢迎下载 5 6 444 yxyx 444222222 222cbacbcaba 九 待定系数法 九 待定系数法 例 16 分解因式6136 22 yxyxyx 例 17 1 当为何值时 多项式能分解因式 并分解此多m65 22 ymxyx 项式 2 如果有两个因式为和 求的值 8 23 bxaxx1 x2 xba 精品文档 14欢迎下载 对应练习 17 1 分解因式29103 22 yxyxyx 2 分解因式67523 22 yxyxyx 3 已知 能分解成两个一次因式之积 求常数并且分pyxyxyx 14632 22 p 解因式 精品文档 15欢迎下载 4 为何值时 能分解成两个一次因式的乘积 并分解此k2532 22 yxkyxyx 多项式 初中阶段因式分解的常用方法 例题再详解 初中阶段因式分解的常用方法 例题再详解 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式因式分解 因式分解的方法多种多样 现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下 一 提公因式法一 提公因式法 如多项式 cbamcmbmam 其中 m 叫做这个多项式各项的公因式 m 既可以是一个单项式 也可以是一个多项 式 二 运用公式法二 运用公式法 运用公式法 即用 2 2233 222 22 babababa bababa bababa 写出结果 三 分组分解法三 分组分解法 一 分组后能直接提公因式 一 分组后能直接提公因式 例 1 分解因式 bnbmanam 分析 从 整体 看 这个多项式的各项既没有公因式可提 也不能运用公式分解 但从 局部 看 这个多项式前两项都含有a 后两项都含有b 因此可以考虑将前两 项分为一组 后两项分为一组先分解 然后再考虑两组之间的联系 解 原式 bnbmanam 每组之间还有公因式 nmbnma banm 思考 此题还可以怎样分组 此类型分组的关键 分组后 每组内可以提公因式 且各组分解后 组与组之间又有 公因式可以提 例 2 分解因式 bxbyayax 5102 精品文档 16欢迎下载 解法一 第一 二项为一组 解法二 第一 四项为一组 第三 四项为一组 第二 三项为一组 解 原式 原式 5 102 bxbyayax 510 2 byaybxax 5 5 2yxbyxa 2 5 2 baybax 2 5 bayx 5 2 yxba 练习 分解因式 1 2 bcacaba 2 1 yxxy 二 分组后能直接运用公式 二 分组后能直接运用公式 例 3 分解因式 ayaxyx 22 分析 若将第一 三项分为一组 第二 四项分为一组 虽然可以提公因式 但提完 后就能继续分解 所以只能另外分组 解 原式 22 ayaxyx yxayxyx ayxyx 例 4 分解因式 222 2cbaba 解 原式 222 2 cbaba 22 cba cbacba 注意这两个例题的区别 练习 分解因式 3 4 yyxx39 22 yzzyx2 222 综合练习 1 2 3223 yxyyxx baaxbxbxax 22 精品文档 17欢迎下载 3 4 181696 222 aayxyxabbaba49126 22 5 6 92 234 aaaybxbyaxa 2222 44 7 8 22 2yyzxzxyx 1222 22 abbbaa 9 10 1 1 2 mmyy 2 abbcaca 11 12 abcbaccabcba2 222 abccba3 333 四 十字相乘法四 十字相乘法 一 二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 进行分解 2 qxpxpqxqpx 特点 1 二次项系数是 1 2 常数项是两个数的乘积 3 一次项系数是常数项的两因数的和 例 5 分解因式 65 2 xx 分析 将 6 分成两个数相乘 且这两个数的和要等于 5 由于 6 2 3 2 3 1 6 1 6 从中可以发现只有 2 3 的分解适 合 即 2 3 5 1 2 解 1 3 65 2 xx32 32 2 xx 1 2 1 3 5 3 2 xx 精品文档 18欢迎下载 用此方法进行分解的关键 将常数项分解成两个因数的积 且这两个因数的代数和要 等于一次项的系数 例 6 分解因式 67 2 xx 解 原式 1 1 6 1 6 1 2 xx 1 6 6 1 xx 1 6 7 练习 5 分解因式 1 2 3 2414 2 xx3615 2 aa54 2 xx 练习 6 分解因式 1 2 3 2 2 xx152 2 yy2410 2 xx 二 二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxax 2 条件 1 21a aa 1 a 1 c 2 21c cc 2 a 2 c 3 1221 cacab 1221 cacab 分解结果 cbxax 2 2211 cxacxa 例 7 分解因式 10113 2 xx 分析 1 2 3 5 6 5 11 解 10113 2 xx 53 2 xx 练习 7 分解因式 1 2 675 2 xx273 2 xx 3 4 31710 2 xx10116 2 yy 三 二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8 分解因式 22 1288baba 精品文档 19欢迎下载 分析 将看成常数 把原多项式看成关于的二次三项式 利用十字相乘法进行分ba 解 1 8b 1 16b 8b 16b 8b 解 22 1288baba 16 8 16 8 2 bbabba 16 8 baba 练习 8 分解因式 1 2 3 22 23yxyx 22 86nmnm 22 6baba 四 二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9 例 10 22 672yxyx 23 22 xyyx 1 2y 把看作一个整体 1 1 xy 2 3y 1 2 3y 4y 7y 1 2 3 解 原式 解 原式 32 2 yxyx 2 1 xyxy 练习 9 分解因式 1 2 22 4715yxyx 86 22 axxa 综合练习 10 1 2 178 36 xx 22 151112yxyx 3 4 10 3 2 yxyx344 2 baba 5 6 2222 65xyxyx 26344 22 nmnmnm 7 8 34244 22 yxyxyx 2222 10 23 5bababa 精品文档 20欢迎下载 9 10 103644 22 yyxxyx 2222 2 11 12yxyxyx 思考 分解因式 abcxcbaabcx 2222 五 主元法五 主元法 例 11 分解因式 5 229103 22 yxyxyx 解法一 以为主元 2 1 x 解 原式 5 4 9 2910 13 22 yyyxx 1 5y 2 12 25 13 2 yyyxx 1 2y 1 12 25 yxyx 5y 2 2y 1 3y 1 12 25 yxyx 解法二 以为主元 1 1y 解 原式 1 2 2 93 10 22 xxxyy 1 2 1 2 93 10 22 xxyxy 2 x 1 2 1 93 10 2 xxyxy 5 x 2 2 5 1 2 xyxy 5 x 1 2 x 2 3x 9 25 12 xyxy 练习 11 分解因式 1 2 564 22 yxyx672 22 yxyxyx 3 4 6136 22 yxyxyx363556 22 bababa 六 双十字相乘法 六 双十字相乘法 精品文档 21欢迎下载 定义 双十字相乘法用于对型多项式的分解因式 FEyDxCyBxyAx 22 条件 1 21a aA 21c cC 21f fF 2 Bcaca 1221 Efcfc 1221 Dfafa 1221 即 1 a 1 c 1 f 2 a 2 c 2 f Bcaca 1221 Efcfc 1221 Dfafa 1221 则 FEyDxCyBxyAx 22 222111 fcxafycxa 例 12 分解因式 1 29103 22 yxyxyx 2 6136 22 yxyxyx 解 1 29103 22 yxyxyx 应用双十字相乘法 xy5 2 xy21 xyxyxy352 yyy945 xxx 2 原式 12 25 yxyx 2 6136 22 yxyxyx 应用双十字相乘法 xy2 3 xy32 xyxyxy 23yyy1394 xxx 32 原式 23 32 yxyx 练习 12 分解因式 1 672 22 yxyxyx 2 222 27376zyzxzyxyx 精品文档 22欢迎下载 七 换元法 七 换元法 例 13 分解因式 1 2005 12005 2005 22 xx 2 2 6 3 2 1 xxxxx 解 1 设 2005 则原式 aaxaax 1 22 1 axax 2005 12005 xx 2 型如的多项式 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘 eabcd 原式 222 65 67 xxxxx 设 则Axx 65 2 xAxx267 2 原式 2 2 xAxA 22 2xAxA 2 xA 22 66 xx 练习 13 分解因式 1 4 22222 yxxyyxyx 2 3 90 384 23 22 xxxx 222222 3 4 5 1 aaa 例 14 分解因式 1 262 234 xxxx 观察 此多项式的特点 是关于的降幂排列 每一项的次数依次少 1 并且系数成x 轴对称 这种多项式属于 等距离多项式 方法 提中间项的字母和它的次数 保留系数 然后再用换元法 解 原式 11 62 2 22 xx xxx 6 1 1 2 2 22 x x x xx 设 则t x x 1 2 1 2 2 2 t x x 原式 6 22 22 ttx 102 22 ttx 精品文档 23欢迎下载 252 2 ttx 2 1 5 2 2 2 x x x xx 2 1 5 2 2 x xx x xx 12252 22 xxxx 2 12 1 2 xxx 2 144 234 xxxx 解 原式 2 22 14 14 xx xxx 1 1 4 1 2 22 x x x xx 设 则y x x 1 2 1 2 2 2 y x x 原式 34 22 yyx 31 2 yyx 3 1 1 1 2 x x x xx 131 22 xxxx 练习 14 1 2 673676 234 xxxx 212 2234 xxxxx 八 添项 拆项 配方法 八 添项 拆项 配方法 例 15 分解因式 1 43 23 xx 解法 1 拆项 解法 2 添项 原式 原式 331 23 xx4443 23 xxxx 1 1 3 1 1 2 xxxxx 44 43 2 xxxx 331 1 2 xxxx 1 4 4 1 xxxx 44 1 2 xxx 44 1 2 xxx 2 2 1 xx 2 2 1 xx 2 3 369 xxx 解 原式 1 1 1 369 xxx 1 1 1 1 1 333363 xxxxxx 111 1 3363 xxxx 32 1 1 362 xxxxx 练习 15 分解因式 1 2 89 3 xx 4224 1 1 1 xxx 精品文档 24欢迎下载 3 4 17 24 xx 224 12aaxxx 5 6 444 yxyx 444222222 222cbacbcaba 九 待定系数法 九 待定系数法 例 16 分解因式6136 22 yxyxyx 分析 原式的前 3 项可以分为 则原多项式必定可分为 22 6yxyx 2 3 yxyx 2 3 nyxmyx 解 设 6136 22 yxyxyx 2 3 nyxmyx 2 3 nyxmyx mnymnxnmyxyx 23 6 22 6136 22 yxyxyxmnymnxnmyxyx 23 6 22 对比左右两边相同项的系数可得 解得 6 1323 1 mn mn nm 3 2 n m 原式 32 23 yxyx 例 17 1 当为何值时 多项式能分解因式 并分解此多m65 22 ymxyx 项式 2 如果有两个因式为和 求的值 8 23 bxaxx1 x2 xba 1 分析 前两项可以分解为 故此多项式分解的形式必为 yxyx byxayx 解 设 65 22 ymxyx byxayx 精品文档 25欢迎下载 则 65 22 ymxyxabyabxbayx 22 比较对应的系数可得 解得 或 6 5 ab ab mba 1 3 2 m b a 1 3 2 m b a 当时 原多项式可以分解 1 m 当时 原式 1 m 3 2 yxyx 当时 原式 1 m 3 2 yxyx 2 分析 是一个三次式 所以它应该分成三个一次式相乘 因此8 23 bxaxx 第三个因式必为形如的一次二项式 cx 解 设 8 23 bxaxx 2 1 cxxx 则 8 23 bxaxxcxcxcx2 32 3 23 解得 82 32 3 c cb ca 4 14 7 c b a 21ba 练习 17 1 分解因式29103 22 yxyxyx 2 分解因式67523 22 yxyxyx 3 已知 能分解成两个一次因式之积 求常数并且分pyxyxyx 14632 22 p 解因式 4 为何值时 能分解成两个一次因式的乘积 并分解此k2532 22 yxkyxyx 多项式 精品文档 26欢迎下载 补充补充 一定要记住的公式大全 一定要记住的公式大全 平方差公式 a 2 b 2 a b a b 完全平方公式 a 2 2ab b 2 a b 2 注意 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式 其中有两项能写成两个数 或 式 的平方和的形式 另一项是这两个数 或式 的积的 2 倍 立方和公式 a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 立方差公式 a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 完全立方公式 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 a b 3 公式 a b c 3abc a b c a b c ab bc ca 十字相乘法初步公式 x 2 p q x pq x p x q 精品文档 27欢迎下载 可不记 十字相乘法通用公式 如果有 k ac n bd 且有 ad bc m 时 那么 kx 2 mx n ax b cx d 因式分解方法 重要 因式分解法的结果一定是多个因式相乘 因式分解方法 重要 因式分解法的结果一定是多个因式相乘 方法一 分组分解法步骤 类型一 分组后能直接提取公因式分组后能直接提取公因式 1 1 分组后能直接提取公因式分组后能直接提取公因式 2 提完公因式之后 每组之间应该还可以提公因式 此时 应注意观察 提完公因式之后 每组之间应该还可以提公因式 此时 应注意观察 类型二 分组后能直接运用上面的公式分组后能直接运用上面的公式 方法二 方法二 当用方法一不行时 这时可考虑用十字相乘法 当用方法一不行时 这时可考虑用十字相乘法 十字相乘法十字相乘法 一 二次项系数为 1 的二次三项式 类型一 直接利用公式 进行分解 2 qxpxpqxqpx 类型二 十字相乘法通用公式 如果有 k ac n bd 且