材料力学应力与应变之间的关系

材料力学应力与应变之间的关系材料力学应力与应变之间的关系 一 各向同性材料的广义胡克定律 7 4应力与应变之间的关系 xy yx y yz x z zx y x z xy yx yz zx 线弹性和小变形dxdydz xz x xy z zx xy x xz zy yx y yz dxdydz x z x ydxdydz xz xy zx xy xz zy yx yz x y z y xExx Ey Ez 1z y xE z 1z y x xE 1z x y yE 1y xz zE 广义胡克定律xy xyG 1 yz yzG 1 zx zxG 1 dxdydz xy xz yx yz xy zx xy xz zy zx yx yz 1 21 1 z y x xE 1 21 1 z x y yE 1 21 1 y xz zE 1y x xE 1xy yE yxzE 平面应力状态xy xyG 1 yx x x yy x 1 21 1 z yxxE 1 21 1 z xyyE 0 z y 1yxxE 说明1 x和和y必须是两 个互相垂直的方向 2 括号中的第一项必须是与 x同方位的正应 力 而第二项中的应力必须是与同方位的正应力 而第二项中的应 力必须是与 x垂直的方位上的正应力 垂直的方位上的正应力 3 上述公式同样适用于其它方位的应力状态 yx x x yy x y500mm500mmFbt例工字钢梁的截面尺寸如图所示 已知h 180mm b 94mm t 10 7mm d 6 5mm F 150kN E 210GPa 0 3 I z 16 59 106mm4 试求C点处的线应变 0 45 和 90 d解1 求C点所在截面上的内力S75kN0 2518 75kNm22F FFM 250mmh 4hztCd 取取点的应力状态500mm500mmF250mmh 4hzbttCd2 取取C点的应力状态 zIMy MPa86 50 661059 164 51075 18 注意 和 的方向 9410 7 9010 7 2 zS 500 mm500mmF250mmh 4hzbttCd 27 104545 7 1045 5 6 98997mm 3 S zzFSbI 631059 165 6989971075 MPa85 68 3 求线应变E 086 50 y 0 2310210 41042 2 242 xy x 245 1454545 E45 yx x 90 541026 71 042 23 0 y 0 0 x245xy x 245 y2 286 50 45 45 45 45 85 68 MPa28 94 86 50 45 8568 MPa 4243 45 431011 5 42 43 3 028 94 102101 非45 角时 22 45 85 68MPa42 43E1 45 45 x x y45 测 得 0 x 45 45 和 90 y E 12yxxE 12xyyE 2 145 y xxE 2 145y xxE TF F例一钢制圆杆受拉扭组合作用 如图所示 已知直径d 200mm E 2 00GPa 0 30 已测得圆轴表面上 已测得圆轴表面上a点处的线应变为 0 500 45 400 0 45 a试求F和T之值 解1 取a点的应力状态 注意 和 的方向 AF E 0 y 0 2 求F24dF PWT 316dT 24d EF T 26320 xx050010 xx4 d EFkN1 314 3 求T 245 45非45 角时 245 1 454545 E非45角时 E E2121 45 45 45 计算 的解法二已知的解法二已知 0 500 45 400 090 5003 0 150 2 145900 E21 6310 4002150500 3 0110200 34 6MPa解zIMy 24545 yMM45 aBA例图示纯弯梁 已知外 力为M 横截面对中性轴的惯惯性矩为 横截面对中性轴的惯惯性矩 为I z 材料弹性常数为E 试求线段AB的长度改变量 l AB dl 45 45 1454545 E E21 l dlEd21 ABlABl d ABllEd21 45 ABl d ABlM M45 aBAy ABlABlEl d21 zIMy 1 aMy aM1 22 l El AB21 azl lEIM0d4 1 2 zEIMa8 1 22 azlIMy0d azlIME0d21 2 二 各向同性材料的体积应变 1 2 3VV 321 21321 E要使一点的体积应变为 必零 必须使该点处的三个主应力 之和为零 3102 32121 E0 21 v 7 6空间应力状态下的应变能密度VVvdd 单位体积的应变能 一 应变能密度单位体积的应变能 一 应变能密度 1 2 3 21332211 v 2 2113322122 2321 E 1 2 3 31321 m 21321 E 二 形状改变比能 22 m m m 1 213121111 EmE 321 21321E 213222 122 E 0 2 11 m 33 m形状改变体积改变形状改变体积改变1 体 积改变比能 m m 31321 m1 体积改变m m