实变函数思考

第七章第一节第 1 页 第七章第七章 实数的完备性实数的完备性 1 1 关于实数集完备性的基本定理关于实数集完备性的基本定理 教学目的 教学目的 掌握实数完备性的基本定理 熟悉各定理证明思路及分析方法 重点难点 重点难点 重点为区间套定理的应用 难点为对有限覆盖定理的理解及使用 教学方法 教学方法 讲练结合 在第一 二章中 我们证明了关于实数集的确界原理和数列的单调有界定理 给出了 数列的柯西收敛准则 这三个命题以不同方式反映了实数集 R 的一种特性 通常称为实数的 完备性完备性或实数的连续性 可以举例说明 有理数集就不具有这种特性 本节习题 4 有关 实数集完备性的基本定理 除上述三个外 还有区间套定理 聚点定理和有限覆盖定理 在本节中将阐述这三个基本定理 一一 区间套定理与柯西收敛准则区间套定理与柯西收敛准则 定义定义 1 1 设闭区间列具有如下性质 nn ba nn ba 11 nn ba 2 1 n 0 lim nn n ab 则称为闭区间套闭区间套 或简称区间套 nn ba 这里性质 表明 构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个 即各闭区间的端点 满足如下不等式 1 1 221 bbbaaa nn 定理定理 7 17 1 区间套定理 若是一个区间套 则在实数系中存在唯一的一点 nn ba 使得 即 nn ba 2 1 n 2 n a n b 2 1 n 证证 由 1 式 为递增有界数列 依单调有界定理 有极限 且有 n a n a 3 2 1 nan 同理 递减有界数列也有极限 并按区间套的条件 有 n b 4 n n n n ablimlim 且 5 2 1 nbn 联合 3 5 即得 2 式 最后证明满足 2 的是唯一的 设数也满足 第七章第一节第 2 页 2 1 nba nn 则由 2 式有 2 1 nab nn 由区间套的条件 得 0 lim nn n ab 故有 由 4 式容易推得如下很有用的区间套性质 推论推论 若是区间套所确定的点 则对任给的 0 存 2 1 nba nn nn ba 在 N 0 使得当 N 时有n nn ba U 注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间 才能保证定理的结论成立 对于开区间 列 如 虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个 且 但不存 n 1 000 1 lim n n 在属于所有开区间的公共点 作为区间套定理的应用 我们来证明第二章中叙述而未证明的 数列的柯西收敛准则 定理 2 10 即 数列收敛的充要条件是 对任给的 存在 使得对有 n a0 0 NNnm nm aa 证证 必要性 设 由数列极限定义 对任给的 存在 当Aan n lim0 0 N 时有Nnm 2 Aam 2 Aan 因而 22 AaAaaa nmnm 充分性 按假设 对任给的 存在 使得对一切有0 0 NNn 即在区间内含有中几乎所有的项 这里及以下 为叙述简 Nn aa Nn aa n a 单起见 我们用 中几乎所有的项 表示 中除有限项外的所有项 n a n a 据此 令 则存在 在区间内含有中几乎所有的项 记这 2 1 1 N 2 1 2 1 11 NN aa n a 个区间为 11 第七章第一节第 3 页 再令 则存在 在区间内含有中几乎所有 2 2 1 12 NN 22 2 1 2 1 22 NN aa n a 的项 记 11 22 22 2 1 2 1 22 NN aa 它也含有中几乎所有的项 且满足 n a 2 1 222211 及 继续依次令照以上方法得一闭区间列 其中每个区间都含 2 1 2 1 3 n nn 有中几乎所有的项 且满足 n a 2 1 11 n nnnn 0 2 1 1 n n nn 即是区间套 由区间套定理 存在唯一的一个数 nn nn 2 1 n 现在证明数就是数列的极限 事实上 由定理 7 1 的推论 对任给的 存 n a0 在 使得当时有0 NNn U nn 因此在内除有限外的所有项 这就证得 U n n alim 二二 聚点定理与有限覆盖定理聚点定理与有限覆盖定理 定义定义 2 设 S 为数轴上的点集 为定点 它可以属于 S 也可以不属 S 的任何 邻域内都含有 S 中无穷多个点 则称为点集 S 的一个聚点聚点 例如 点集有两个聚点和 点集只有一个聚点 n S n 1 1 1 1 1 2 n S 1 又若 S 为开区间 则内每一点以及端点 都是 S 的聚点 而正整数0 ba ba ab 集没有聚点 任何有限数集也没有聚点 聚点概念的另两个等价定义如下 定义定义 2 对于点集 S 若点的任何邻域内都含有 S 中异于的点 即 则称为 S 的一个聚点 SU 0 定义定义 2 若存在各项互异的收敛数列 则其极限称为 S 的一个 Sxn n n xlim 聚点 关于以上三个定义等价性的证明 我们简述如下 定义 2定义 2 是显然的 定义 2 定义 2 也不难得到 现证定义 2 定义 2 第七章第一节第 4 页 设为 S 按定义 2 的聚点 则对任给的 存在 0 SUx 令 则存在 1 1 SUx 11 令 则存在 且显然 12 2 1 minx SUx 22 12 xx 令 则存在 且互异 1 1 min nn x n SUx nn 11 nn xxx 与 无限地重复以上步骤 得到 S 中各项互异的数列 且由 易见 n x n x nn 1 n n xlim 下面我们应用区间套定理来证明聚点定理 定理定理 7 2 魏尔斯特拉斯 Weierstrass 聚点定理 实轴上的任一有界无限点集 S 至少 有一个聚点 证证 因 S 为有界点集 故存在 使得 记0 M MMS MMba 11 现将等分为两个子区间 因 S 为无限点集 故两个子区间中至少有一个含有 S 11 b a 中无穷多个点 记此子区间为 则且 22 b a 2211 baba Mabab 1122 2 1 再将等分为两个子区间 则其中至少有一个子区间含有 S 中无穷多个点 取出 22 b a 这样的一个子区间 记为 则 且 33 b a 3322 baba 22 1 2233 M abab 将此等分子区间的手续无限地进行下去 得到一个区间列 它满足 nn ba 11 nnnn baba 2 1 n 0 2 1 n nn M ab n 即是区间套 且其中每一个闭区间都含有 S 中无穷多个点 nn ba 由区间套定理 存在唯一的一点 于是由定理 7 1 的推论 nn ba 2 1 n 对任给的 存在 当时有 从而内含有 S0 0 NMn Uba nn U 第七章第一节第 5 页 中无穷多个点 按定义 2 为 S 的一个聚点 推论推论 致密性定理 有界数列必含有收敛子列 证 设为有界数列 若中有无限多个相等的项 则由这些项组成的子列是一 n x n x 个常数列 而常数列总是收敛的 若不含有无限多个相等的项 则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集 故由 n x 聚点定理 点集至少有一个聚点 记为 则存在的一个收敛子列 以为其极 n x n x 限 作为致密性定理的应用 我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性 证 设数列满足柯西条件 先证明是有界的 为此 取则存在正整数 n a n a 1 N 当 m N 1 及 n N 时有 1 1 Nn aa 由此得 令 n a 111NnNNn aaaaa1 11 NN aa M max 1 121 NN aaaa 则对一切正整数 n 均有 Man 于是 由致密性定理 有界数列必有收敛子列设 A 对任给的 n a k n a k n k a lim 0 存在 K 0 当 m n k K 时 同时有 由柯西条件 2 mn aa lim 2 k nn AaAa kk 由 因而当取 m n 时 得到 k Kk 22 AaaaAa kk nnnn 这就证明了 Aan n lim 定义定义 3 设 S 为数轴上的点集 H 为开区间的集合 即 H 的每一个元素都是形如 的开区间 若 S 中任何一点都含在 H 中至少一个开区间内 则称 H 为 S 的一个开覆盖开覆盖 或称 H 覆盖 S 若 H 中开区间的个数是无限 有限 的 则称 H 为 S 的一个无限开覆盖无限开覆盖 有限有限 开覆盖开覆盖 在具体问题中 一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定 例如 若函数 f 在 a b 内连续 则给定 0 对每一点 x a b 都可确定正数 它依赖于与 x 使得 x 第七章第一节第 6 页 当 x 时有 这样就得到一个开区间集 x U x xfxf H baxxx xx 它是区间 a b 的一个无限开覆盖 定理定理 7 3 海涅一博雷尔 Heine Borel 有限覆盖定理有限覆盖定理 设 H 为闭区间的一个 ba 无限 开覆盖 则从 H 中可选出有限个开区间来覆盖 ba 证证 用反证法 假设定理的结论不成立 即不能用中有限个开区间来覆盖 H ba 将等分为两个子区间 则其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆 ba 盖 记这个子区间为 则 且 11 b a baba 11 abab 2 1 11 再将等分为两个子区间 同样 其中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区 11 b a 间来覆盖 记这个子区间为 则 且 22 b a 1122 baba abab 2 22 2 1 重复上述步骤并不断地进行下去 则得到一个闭区间列 它满足 nn ba 11 nnnn baba 2 1 n nabab n nn 0 2 1 即是区间套 且其中每一个闭区间都不能用 H 中有限个开区间来覆盖 nn ba 由区间套定理 存在唯一的一点 由于 H 是 的一个 nn ba 2 1 n ba 开覆盖 故存在开区间 使 由定理