洛伦兹变换的详细推导

精品文档精品文档精品文档 1 1 1 欢迎下载欢迎下载欢迎下载 第三节洛伦兹变换式 教学内容 教学内容 教学内容 1 1 1 洛伦兹变换式的推导 洛伦兹变换式的推导 洛伦兹变换式的推导 2 2 2 狭义相对论的时空观 同时性的相对性 长度的收缩和时间的延缓 狭义相对论的时空观 同时性的相对性 长度的收缩和时间的延缓 狭义相对论的时空观 同时性的相对性 长度的收缩和时间的延缓 重点难点 重点难点 重点难点 狭义相对论时空观的主要结论 狭义相对论时空观的主要结论 狭义相对论时空观的主要结论 基本要求 基本要求 基本要求 1 1 1 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导 2 2 2 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念 3 3 3 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异 三 洛伦兹坐标变换的推导 2 2 2 1 1 cv cvxt t zz yy cv vtx x 或或或 2 2 2 1 1 cv cxvt t zz yy cv t vx x 据狭义相对论的据狭义相对论的据狭义相对论的两个基本假设两个基本假设两个基本假设来推导洛仑兹变换式 来推导洛仑兹变换式 来推导洛仑兹变换式 1 1 1 时空坐标间的变换关系时空坐标间的变换关系时空坐标间的变换关系 作为一条公设 我们认为作为一条公设 我们认为作为一条公设 我们认为 时间和空间都是均匀的 因此时间和空间都是均匀的 因此时间和空间都是均匀的 因此 时空坐标间的变换必须是线性时空坐标间的变换必须是线性时空坐标间的变换必须是线性 的 的 的 对于任意事件对于任意事件对于任意事件 P P P 在在在 S S S 系和系和系和 S S S 系中的时空坐标系中的时空坐标系中的时空坐标 x x x y y y z z z t t t x x x y y y z z z t t t 因 因 因 S S S 相相相 对于对于对于 S S S 以平行于以平行于以平行于 x x x 轴的速度轴的速度轴的速度 v v v v 作匀速运动 显然有作匀速运动 显然有作匀速运动 显然有y y y y y y z zz zz z 在在在 S S S 系中观察系中观察系中观察 S S S 系的原点 系的原点 系的原点 x x x 0 0 0 在 在 在 S S S 系中观察该点 系中观察该点 系中观察该点 x vt x vt x vt 即 即 即x vt 0 x vt 0 x vt 0 因此 因此 因此 x xx xx x vt vt vt 在任意的一个空间点上 可以设 在任意的一个空间点上 可以设 在任意的一个空间点上 可以设 x kx kx k x x x vt vt vt k k k 是是是 比例常数 比例常数 比例常数 同样地可得到 同样地可得到 同样地可得到 x k x k x k x vtx vtx vt k k k x x x v v v t t t 根据相对性原理 惯性系根据相对性原理 惯性系根据相对性原理 惯性系 S S S 系和系和系和 S S S 系等价 上面两个等式的形式就应该相同 除正 系等价 上面两个等式的形式就应该相同 除正 系等价 上面两个等式的形式就应该相同 除正 负号 所以负号 所以负号 所以k kk kk k 精品文档精品文档精品文档 2 2 2 欢迎下载欢迎下载欢迎下载 2 2 2 由光速不变原理可求出常数由光速不变原理可求出常数由光速不变原理可求出常数 k k k 设光信号在设光信号在设光信号在 S S S 系和系和系和 S S S 系的原点重合的瞬时从重合点沿系的原点重合的瞬时从重合点沿系的原点重合的瞬时从重合点沿 x x x 轴前进 那么在任一瞬时轴前进 那么在任一瞬时轴前进 那么在任一瞬时 t t t 或 或 或 t t t 光信号到达点在 光信号到达点在 光信号到达点在 S S S 系和系和系和 S S S 系中的坐标分别是 系中的坐标分别是 系中的坐标分别是 x ct x ct x ct x ct x ct x ct 则 则 则 t tcxx 2 t vt cvtctkt vxvtxk 22 222 vct tk 由此得到由此得到由此得到 222 1 1 cvvc c k 这样 就得到这样 就得到这样 就得到 2 1cv vtx x 2 1cv t vx x 由上面二式 消去由上面二式 消去由上面二式 消去 x x x 得到得到得到 2 2 1cv cvxt t 若消去若消去若消去 x x x 得到得到得到 2 2 1cv cxvt t 综合以上结果 综合以上结果 综合以上结果 就得到就得到就得到 洛仑兹变换 洛仑兹变换 洛仑兹变换 或或或 洛仑兹反变换洛仑兹反变换洛仑兹反变换 2 2 2 1 1 cv cvxt t zz yy cv vtx x 2 2 2 1 1 cv cxvt t zz yy cv vtx x 可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果 可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果 可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果 3 3 3 讨论讨论讨论 1 1 1 可以证明 在洛仑兹变换下 麦克斯韦方程组是不变的 而牛顿力学定律则要改 可以证明 在洛仑兹变换下 麦克斯韦方程组是不变的 而牛顿力学定律则要改 可以证明 在洛仑兹变换下 麦克斯韦方程组是不变的 而牛顿力学定律则要改 变 故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象 而牛顿力学不适用描述高速现变 故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象 而牛顿力学不适用描述高速现变 故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象 而牛顿力学不适用描述高速现 象 故它有一定的适用范围 象 故它有一定的适用范围 象 故它有一定的适用范围 2 2 2 当 当 当 v c v c v c 1 1 1 时 洛仑兹变换就成为伽利略变换 亦即后者是前者在低速下的极时 洛仑兹变换就成为伽利略变换 亦即后者是前者在低速下的极时 洛仑兹变换就成为伽利略变换 亦即后者是前者在低速下的极 精品文档精品文档精品文档 3 3 3 欢迎下载欢迎下载欢迎下载 限情形 故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形限情形 故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形限情形 故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形 低速极限 低速极限 低速极限 四 相对论速度变换公式 洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系 根据洛仑兹变换可以得到狭洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系 根据洛仑兹变换可以得到狭洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系 根据洛仑兹变换可以得到狭 义相对论的速度变换公式 义相对论的速度变换公式 义相对论的速度变换公式 设物体在设物体在设物体在 S S S S S S 系中的的速度分别为系中的的速度分别为系中的的速度分别为 zyx uuu zyx uuu 根据洛仑兹 根据洛仑兹 根据洛仑兹 变换式可得 变换式可得 变换式可得 222 111cv dtvu cv dtvdtdx cv vdtdx xd x 2 2 2 2 1 1 1cv cvudt cv cvdxdt t d x 因此 因此 因此 2 2 2 1 1 1cv cvudt cv dtvu t d xd xx 即 即 即 2 1cvu vu u x x x 因因因y y y y y y z zz zz z 有 有 有dy dy dy dy dy dy d d d z dzz dzz dz则则则 2 2 1 1 cv cvudt dy t d yd x 即 即 即 2 2 1 1 cvu cvu u x y y 同理 同理 同理 2 2 1 1 cvu cvu u x z z 因此得相对论的速度变换公式 因此得相对论的速度变换公式 因此得相对论的速度变换公式 2 1cvu vu u x x x 2 2 1 1 cvu cvu u x y y 2 2 1 1 cvu cvu u x z z 其逆变换为 其逆变换为 其逆变换为 2 1cuv vu u x x x 2 2 1 1 cuv cvu u x y y 2 2 1 1 cuv cvu u x z z 讨论讨论讨论 1 1 1 当速度当速度当速度 u u u v v v 远小于光速远小于光速远小于光速 c c c 时 即在非相对论极限下 相对论的速度变换公式即时 即在非相对论极限下 相对论的速度变换公式即时 即在非相对论极限下 相对论的速度变换公式即 转化为伽利略速度变换式转化为伽利略速度变换式转化为伽利略速度变换式 vuu xx 2 2 2 利用速度变换公式 可证明光速在任何惯性系中都是 利用速度变换公式 可证明光速在任何惯性系中都是 利用速度变换公式 可证明光速在任何惯性系中都是 c c c 证明 设证明 设证明 设 S S S 系中观察者测得沿系中观察者测得沿系中观察者测得沿 x x x 方向传播的一光信号的光速为方向传播的一光信号的光速为方向传播的一光信号的光速为 c c c 在 在 在 S S S 系中的观察系中的观察系中的观察 精品文档精品文档精品文档 4 4 4 欢迎下载欢迎下载欢迎下载 者测得该光信号的速度为 者测得该光信号的速度为 者测得该光信号的速度为 c cvc vc ux 2 1 即光信号在即光信号在即光信号在 S S S 系和系和系和 S S S 系中都相系中都相系中都相 同 同 同 第四节 狭义相对论的时空观 一 一 同时的相对性 1 概念 狭义相对论的时空观认为 同时是相对的 即在一个惯性系中不同地点同 时发生的两个事件 在另一个惯性系中不一定是同时的 例如 在地球上不同地方同时出生的两个婴儿 在一个相对地球高速飞行 的飞船上来看 他们不一定是同时出生的 如图设 S 系为一列长高速列车 速度向右 在车厢正中放置一灯P 当 灯发出闪光时 S 系的观察者认为 闪光相对他以相同速率传播 因此同时到达 A B 两 端 S S S 系 地面上 的观察者认为 系 地面上 的观察者认为 系 地面上 的观察者认为 A A A 与光相向运动 与光相向运动 与光相向运动 v v v c c c反向 反向 反向 B B B 与光同向运动 与光同向运动 与光同向运动 所以光先到达所以光先到达所以光先到达 A A A 再到达再到达再到达 B B B 不同时到达 不同时到达 不同时到达 结论 同时性与参考系有关结论 同时性与参考系有关结论 同时性与参考系有关 这就是同时的相对性 这就是同时的相对性 这就是同时的相对性 假设两个事件假设两个事件假设两个事件 P P P 1 1 1 和和和 P P P2 2 2 在 在在 S S S 系和系和系和 S 系中测得其时空坐标为 系中测得其时空坐标为 系中测得其时空坐标为 22221111 22221111 tzyxtzyxS tzyxtzyxS 由洛伦兹变换得 由洛伦兹变换得 由洛伦兹变换得 2 2 22 2 2 2 11 1 11cv cxvt t cv cvxt t 在在在 S S S 系和系和系和 S 系中测得的时间间隔为系中测得的时间间隔为系中测得的时间间隔为 12 tt 和 和 和 t t t2 2 2 t t t 1 1 1 它们之间的关系为 它们之间的关系为 它们之间的关系为 精品文档精品文档精品文档 5 5 5 欢迎下载欢迎下载欢迎下载 2 2 1212 12 1cv cxxvtt tt 可见 两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔 一般来说是不相等的 可见 两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔 一般来说是不相等的 可见 两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔 一般来说是不相等的 2 讨论 1 1 1 在在在 S S S 系中同时发生 系中同时发生 系中同时发生 t t t2 2 2 t t t 1 1 1 但在不同地点发生 但在不同地点发生 但在不同地点发生 12 xx 则有 则有 则有 2 2 21 12 1cv cxxv tt 这就是同时的相对性 这就是同时的相对性 这就是同时的相对性 2 2 2 在在在 S S S 系中同时发生 系中同时发生 系中同时发生 t t t2 2 2 t t t 1 1 1 而且在相同地点发生 而且在相同地点发生 而且在相同地点发生 12 xx 则 则 则 有 有 有 12 2 2 1212 121 0 1 tt cv cvxxtt ttt 12 2 1212 12 0 1 xx cv ttvxx xx 即在即在即在 S S S 系中同时同地点发生的两个事件 在系中同时同地点发生的两个事件 在系中同时同地点发生的两个事件 在 S S S 系中也同时同地点发生 系中也同时同地点发生 系中也同时同地点发生 3 3 3 事件的因果关系不会颠倒 如人出生的先后事件的因果关系不会颠倒 如人出生的先后事件的因果关系不会颠倒 如人出生的先后 假设在假设在假设在 S S S 系中 系中 系中 t t t 时刻在时刻在时刻在 x x x 处的质点经过处的质点经过处的质点经过 t 时间后到达时间后到达时间后到达 xx 处 则由 处 则由 处 则由 2 2 1cv cvxt t 得到得到得到 t x u cv cvut cv cvxt t 1 1 1 2 2 2 2 因为因为因为v v v c c c u u u c c c 所以 所以 所以 t 与与与 t t t 同号 即事件的因果关系 相互顺序不会颠倒 同号 即事件的因果关系 相互顺序不会颠倒 同号 即事件的因果关系 相互顺序不会颠倒 4 4 4 上述情况是相对的 同理在上述情况是相对的 同理在上述情况是相对的 同理在 S S S 系中不同地点同时发生的两个事件 在系中不同地点同时发生的两个事件 在系中不同地点同时发生的两个事件 在 S S S 系看来同样也是不同时的 系看来同样也是不同时的 系看来同样也是不同时的 5 5 5 当 当 当 cv 时 时 时 tt 回到牛顿力学 回到牛顿力学 回到牛顿力学 精品文档精品文档精品文档 6 6 6 欢迎下载欢迎下载欢迎下载 二 长度收缩 洛伦兹收缩 假设一刚性棒假设一刚性棒假设一刚性棒 ABABAB 静止于静止于静止于 S S S 系中系中系中 12 xxl 在 在 在 S S S 系中同时系中同时系中同时 ttt 21 测量测量测量 得得得 12 xxl 由洛伦兹坐标变换式 由洛伦兹坐标变换式 由洛伦兹坐标变换式 2 22 2 2 11 1 11cv vtx x cv vtx x 得 得 得 2 12 2 1212 12 11cv xx cv ttvxx xx 即即即 2 1cvll 1 固有长度 观察者与被测物体相对静止时 长度的测量值最大 称为该物体的固有长 度 或原长 用l0表示 即 2 0 1cvll 2 洛伦兹收缩 长度缩短 观察者与被测物体有相对运动时 长度的测量值等于其原长的 2 1cv 倍 即物体沿运动方向缩短了 这就是洛伦兹收缩 长度缩短 讨论 1 1 1 长度缩短效应具有相对性 若在 长度缩短效应具有相对性 若在 长度缩短效应具有相对性 若在 S S S 系中有一静止物体 那么在系中有一静止物体 那么在系中有一静止物体 那么在 S 系中观察者将系中观察者将系中观察者将 同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短 同理有同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短 同理有同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短 同理有 2 1cvll 即看人家运动着的尺子变短了 即看人家运动着的尺子变短了 即看人家运动着的尺子变短了 2 2 2 当 当 当v cv cv c时 有时 有时 有 ll 三 时间膨胀 时间延缓 由洛伦兹变换得由洛伦兹变换得由洛伦兹变换得 2 2 1212 12 1cv cxxvtt tt 事件 事件 事件 P P P1 1 1 P P P2 2 2 在在在 S S S 系系系 精品文档精品文档精品文档 7 7 7 欢迎下载欢迎下载欢迎下载 中的时间间隔为中的时间间隔为中的时间间隔为 12 ttt 事件 事件 事件 P P P1 1 1 P P P2 2 2 在在在 S S S 系中的时间间隔为系中的时间间隔为系中的时间间隔为 12 ttt 如果在如果在如果在 S S S 系中两事件系中两事件系中两事件同地点同地点同地点发生 即发生 即发生 即 12 xx 则有 则有 则有 22 12 12 11cv t cv tt ttt 1 固有时间 原时 的概念 在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔 叫固有时间 原时 在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔 叫固有时间 原时 在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔 叫固有时间 原时 用 用 用 0 表示 且 表示 且 表示 且 2 0 1cv t 2 时间膨胀 在在在 S S S 系看来 系看来 系看来 0 t 称为时间膨胀 称为时间膨胀 称为时间膨胀 3 讨论 1 1 1 时间膨胀效应具有相对性 若在 时间膨胀效应具有相对性 若在 时间膨胀效应具有相对性 若在 S S S 系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为 t t t 称为原时 称为原时 称为原时 则同理有 则同理有 则同理有 2 1cv t t 就好象时钟变慢了 即看人家运动着的钟变慢了 就好象时钟变慢了 即看人家运动着的钟变慢了 就好象时钟变慢了 即看人家运动着的钟变慢了 2 2 2 当 当 当 v v v c c c 时 有时 有时 有 tt 3 3 3 实验已证实 实验已证实 实验已证实 子 子 子 介子等基本粒子的衰变 当它们相对实验室静止和高速运动时 其寿命完全不介子等基本粒子的衰变 当它们相对实验室静止和高速运动时 其寿命完全不介子等基本粒子的衰变 当它们相对实验室静止和高速运动时 其寿命完全不 同 同 同 例 1 在惯性系 S 中 有两个事件同时发生 在 x x 轴上相距 m 3 1001 处 从另一惯性系 S 中观察到这两个事件相距 m 3 100 2 问由 S 系测得此两事件的时间间隔为多少 解 由题意知 在解 由题意知 在解 由题意知 在 S S S 系中 系中 系中 12 tt 即 即 即 0 12 ttt mxx 3 12 100 1 而在 而在 而在 S S S 系看来 时间间隔为系看来 时间间隔为系看来 时间间隔为 12 ttt 空间间 空