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1 第七章位移法 2 位移法与力法一样 是计算超静定结构的一种方法 它比力法有更大的优越性 位移法也可用来解静定结构 也就是说位移法比力法具有更大的通用性 矩阵位移法 随计算机的发展而形成的 渐近法 力矩分配法 无剪力分配法 分层计算法 多层多跨刚架受竖向荷载作用时 近似法 反弯点法 多层多跨刚架受水平荷载作用时 D值法 广义反弯点法 位移法 3 7 1位移法基本概念 一 位移法的基本思路 将结构拆成杆件 再由杆件过渡到结构 即 结构 拆成 杆件 结构 搭接成 第一步 第二步 第一步 杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系 即 建立杆件的刚度方程 第二步 结构分析 找出结构的结点力与结点位移之间的关系 即 建立结构的位移法基本方程 4 位移法的实施过程 是把复杂结构的计算问题转变为简单杆件的分析与综合的问题 杆件分析是结构分析的基础 杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础 所以位移法又称为刚度法 二 基本未知量 力法 力法的基本未知量是多余未知力 位移法 位移法的基本未知量是结构的结点位移 角位移和线位移 位移法与力法一样 求解的第一步就要是确定结构的基本未知量 5 基本未知量的确定 基本未知量数目n 结点角位移 数 独立的结点线位移 数结点角位移数 结构的刚结点数 容易确定 附加转动约束 只阻止结点的转动 不阻止结点的线位移 6 独立的结点线位移数的确定方法 将所有的刚结点变成铰后 若有线位移则体系几何可变 通过增加链杆的方法使体系变成无多余约束的几何不变体系 静定结构 时 需要增加的链杆数就是独立的线位移数 n 2 D F 1 D E F点的水平侧移 F 3 确定线位移图 确定角位移图 7 n 3 C D E 2 D E点的水平侧移 D E 5 n 1 D 2 C F点的水平侧移 C F 3 8 EA为有限值 9 习题7 1确定用位移法计算时结构的基本未知量个数 10 2 选取内部结点的位移作为未知量就满足了变形协调条件 位移法方程是平衡方程 满足平衡条件 3 附加支杆和附加转动约束后的体系称为原超静定结构的基本结构 小结 1 位移法的基本未知量是结构内部结点 不包括支座结点 的转角或线位移 4 支座结点的可能位移不作为位移法基本未知量的原因是 1 减少未知量的数目 2 单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移 转角 线位移 的影响 如下图示 11 5 位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系 为顺利求解 必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题 12 三 位移法的解题步骤 解题途径 示例1 作图示两跨连续梁的弯矩图 1 确定基本未知量取结点B的转角 B作为基本未知量 这就保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协调 13 14 4 杆端弯矩表达式 两种情况叠加 由结点B平衡可得 5 建立位移法方程 6 求解基本未知量 15 7 求杆端弯矩作弯矩图 将求得的代入杆端弯矩表达式得到 16 主要介绍位移法的解题途径 1 确定基本未知量 A A 2 设法求出 A 方法 把结构拆成杆件 图b c 示例2 作图a示刚架的弯矩图 1 杆件分析 就是杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算问题 17 AB杆的计算条件是 B端固定 A端有已知位移 A 并承受已知荷载q的作用 得到的是杆件的刚度方程 此时 可以获得各杆端弯矩的表达式 AC杆的计算条件是 C端简支 A端有已知位移 A 并承受已知荷载FP的作用 18 2 整体分析 将杆件搭接成结构 杆件搭接时利用在A端各杆位移是相同的 作为变形协调条件 再利用结点A及结构AC杆的平衡条件 即可得到位移法的两个基本方程 基本方程是用结点位移表示的平衡方程 如何求出FQAB呢 19 3 求基本未知量 A 联立求解方程 a 和 b 即可获得结点位移 A 位移法求解的关键就是求得结点位移 结点位移一旦求出 余下的问题就是杆件的计算问题 20 3 作弯矩图 1 将求得的 A 代入杆端弯矩表达式 可求出杆端弯矩的值 2 根据杆端弯矩的值 利用与静定结构作弯矩图的相同方法可获得超静定结构的弯矩图 这里主要是介绍的位移法求解超静定结构的基本过程与方法 具体的计算后面给出 值得指出的是 在确定结构的基本未知量之前引入假设 对于受弯杆件 忽略轴向变形和剪切变形的影响 21 7 2等截面直杆的刚度方程 位移法计算的基础是 单跨超静定梁具有支座移动和外荷载作用时的杆端力的计算 位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种 单跨超静定梁 两端固定梁 一端固定 一端简支梁 一端固定 一端滑动梁 用到的数据是 形常数和载常数 1 已知杆端位移求杆端弯矩 形常数 2 已知荷载作用时求固端弯矩 载常数 22 一 符号规则 1 杆端弯矩 规定杆端弯矩顺时针方向为正 逆时针方向为负 杆端弯矩的双重身份 1 对杆件隔离体 杆端弯矩是外力偶 顺时针方向为正 逆时针方向为负 2 若把杆件装配成结构 杆端弯矩又成为内力 弯矩图仍画在受拉边 23 2 结点转角 结点转角以顺时针方向为正 逆时针方向为负 杆件两端相对侧移 的正负号与弦转角 的正负号一致 而 以顺时针方向为正 逆时针方向为负 3 杆件两端相对侧移 24 1 两端固定梁 二 等截面直杆的刚度方程 形常数 25 式中系数4i 2i 6i l称为刚度系数 即产生单位杆端位移所需施加的杆端力矩 由上图可得 可写成 上式就是两端固定梁的刚度方程 26 2 一端固定 一端滚轴支座的梁 其刚度方程为 27 3 一端固定 一端滑动支座的梁 其刚度方程为 28 4 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同 则相应的杆端力也相同 29 30 1 两端固定梁 三 固端弯矩 载常数 单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩 固端弯矩以顺时针方向为正 逆时针方向为负 31 2 一端固定 一端辊轴支座的梁 32 3 一端固定 一端滑动支座的梁 各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表 33 表7 1等截面杆件的固端弯矩和固端剪力 34 35 36 37 四 正确判别固端弯矩的正负号 38 7 3无侧移刚架和有侧移刚架的计算 一 无侧移刚架的位移法求解 建立位移法方程有两种方法 1 直接利用平衡条件建立位移法方程 2 利用位移法基本体系建立位移法方程 无侧移刚架 若刚架的各结点 不包括支座 只有角位移而没有线位移 这种刚架称为无侧移刚架 连续梁的计算属于无侧移刚架问题 39 一 连续梁的位移法计算 AB梁是两端固定梁 在跨中有集中荷载作用 且在B端有转角 B BC梁是B段固定 C端简支的梁 梁上有均布荷载作用 且在B端有转角 B 例7 3 1作图a所示两跨连续梁的弯矩图 EI 常数 解 1 确定基本未知量只有B点的转角 B2 计算各杆的固端弯矩 40 即 位移法基本方程为 3 写出各杆端弯矩的表达式 各杆线刚度 4 建立位移法基本方程 取结点B为隔离体如图b 41 5 求基本未知量 B 解基本方程 6 计算各杆端弯矩 将 B代入杆端弯矩的表达式 7 作弯矩图 负号表示弯矩为逆时针方向 根据各杆端弯矩的值 利用叠加原理作M图如图c 42 8 讨论若在B点作用有集中力偶 位移法基本方程如何建立 集中力偶的处理 对B点的集中力偶 求固端弯矩时不考虑 建立位移法基本方程时考虑 取B结点为隔离体如右图 b 所示 基本方程为 43 解 1 利用平衡条件建立位移法方程 例7 3 2用位移法求图示刚架的M图 各杆EI相同 二 无侧移刚架的位移法计算 44 2 列出杆端弯矩表达式 几种情况的叠加 45 三种情况叠加得出各杆端弯矩表达式如下 46 3 建立位移法方程并求解 由结点B和结点D的平衡条件可得 4 求解基本未知量 47 5 求各杆端弯矩作弯矩图 将求得的 B D代入杆端弯矩表达式得 48 2 利用位移法基本体系建立位移法方程现介绍位移法基本体系 位移法的基本体系与力法的基本体系是不同的 力法基本体系是通过撤除多于约束而获得的静定结构 而位移法的基本体系是在结构可能发生位移的地方附加支杆和附加转动约束而获得的超静定次数更高的体系 附加约束的目的就是将结构拆成杆件 使结构的整体计算问题 变成单个杆件的计算问题 计算被简化 49 原题如右图a 解题过程如下 1 确定基本未知量 选取基本体系 B D的转角为基本未知量 引入广义符号 有 选取基本体系 图b 在B D两点附加转动约束 附加约束力 为使原结构各杆成为单跨超静定梁 位移法的计算就是围绕基本体系进行的 50 2 列位移法方程基本体系转化成原结构的条件就是位移法方程 基本体系的作用 基本体系是用来计算原结构的工具或桥梁 它包括两个特点 基本体系可转化为原结构 可以代表原结构 基本体系的计算比较简单 提出的问题是 基本体系怎样才能转化为原结构 转化条件 位移法基本方程 51 基本体系与原结构的区别 通过增加人为约束 把基本未知量由被动位移变成受人工控制的主动位移 基本体系转化为原结构的条件是 基本体系在给定荷载以及结点位移 1和 2共同作用下 在附加约束中产生的总约束力F1和F2应等于零 即 F1和F2的计算利用 叠加原理 分别考虑外荷载和 1 2单独作用时 基本体系中的附加约束力 52 荷载单独作用 相应的约束力为F1P和F2P 图c 可以通过查表7 1获得各杆的弯矩图 载常数 53 单位位移 1 1单独作用 相应的约束力为k11和k21 图d 形常数 54 单位位移 2 1单独作用 相应的约束力为k12和k22 图d 形常数 55 利用 叠加原理 求F1 F2 56 位移法典型方程的物理意义 刚结点附加转动约束的反力矩之和等于零 所以方程右端恒等于零 位移法方程是平衡方程 由本题 可知 所以有 与前相同 3 求基本未知量 4 作弯矩图 弯矩图同前 57 三 多个基本未知量的位移法典型 基本 方程 当结构有n个未知量时 其位移法的基本方程为 其中各系数组成的矩阵成为结构的刚度矩阵 其中系数称为结构的刚度系数 kii称为主系数 大于零 kij称为副系数 有kij kji 且可大于 等于 小于零 58 例7 3 3 书中典型例题 作图a刚架的M图 各杆EI不同 注意此题的解题特点 解 利用平衡条件建立位移法方程 1 确定基本未知量 B C 2 求杆端弯矩 固端弯矩可以查表 59 各杆刚度取相对值 设EI0 1 则有各杆线刚度如下 用叠加法可列出各杆杆端弯矩如下 60 3 列位移法方程 结点B平衡 图b 4 求基本未知量解 1 2 两方程 得 结点C平衡 图c 61 5 求杆端弯矩 由杆端弯矩表达式得 6 作弯矩图 图d 注意 本题中采用相对刚度 所求位移并非真值 若求位移的真值 刚度也必须采用真值 62 例7 3 4如图所示的刚架 求作弯矩图 对于此题 值得注意的是 EF杆F端的荷载对E点的作用相当于一个结点力偶矩 63 由结点E平衡 即 ME 0 有 基本未知量为 E 令i EI 8 基本方程为 计算结果为 注意 作图时不要忘记MEF 64 有侧移刚架 刚架除有结点转角位移外 还有结点线位移 独立的结点线位移 注意 计算中忽略轴力对变形的影响 这样可以减少结点线位移的个数 使计算得到简化 二 有侧移刚架的位移法求解 65 由于忽略了杆件的轴向变形 每个图的同层横梁上结点的水平侧移相等 即独立的结点线位移只有一个 可以用一个线位移符号 表示 下面用例题说明位移法解有侧移刚架的基本步骤与过程 例7 3 5用位移法求图示刚架内力图 解 1 利用平衡条件建立位移法方程 1 确定未知量 66 2 列出杆端弯矩表达式 固端弯矩 各杆端弯矩表达式 各杆线刚度已标于图中 先看下页图 到68页 67 各杆端弯矩表达式的意义从图中可以看出 但是我们在求解时 这些图是不必画出的 此处作为对比 回前页 68 3 建立位移法方程并求解 由结点D平衡 DA柱 作隔离体如右图 求柱剪力 69 EB柱 CE梁 70 解方程组 得 5 计算杆端弯矩 4 求基本未知量 71 6 作内力图 72 2 利用位移法基本体系建立位移法方程 解 1 确定基本未知量 选取基本体系图a 基本未知量 2 列位移法方程 73 3 求刚度系数kij和FiP F1P 14kN m 取结点D 取DE杆分析 F2P 3kN 74 取结点D 取DE杆分析 k11 5i k21 0 75i 75 取结点D 取DE杆分析 k12 0 75i k22 0 75i 值得注意 由图求k12要比由图求k12简单 76 4 求基本未知量 k11 5i k12 k21 0 75i k22 0 75i F1P 14 F2P 3 附加转动约束的反力矩之和等于零 附加链杆上的反力之和等于零 5 求杆端弯矩作内力图 内力图见前 将系数和自由项代入位移法方程得出 77 例7 3 5作图a所示结构的弯矩图 此题中 基本未知量个数为2 即B点的转角 B和C F 点的侧移 C F 由结点B力矩平衡 MB 0 取横梁CF的水平分力投影方程 78 本题应注意以下几点 1 因CF杆的线刚度为无穷大 所以C点无转动 只有侧移 基本未知量为2 联解两方程可得 2 弯矩MCF的值由C点的力矩平衡求出 3 取CF杆为隔离体时 必须切断所有的杆件 79 并注意列方程时不要忘记作用在C点的水平集中荷载P 4 查表计算固端弯矩m时 注意所求结构的杆件与所查表中杆件的支承情况 注意固端弯矩的正负号 关于校核 在位移法中 一般以校核平衡条件为主 这是因为在选取位移法的基本未知量时已经考虑了变形连续条件 而且刚度系数的计算比较简单 不易出错 因面变形连续条件在位移法中不作为校核的重点 80 解带斜杆的刚架 关键是如何确定斜杆两端的相对侧移 确定斜杆两端的相对侧移需要画位移图 其思路是 根据已知两个结点线位移的大小和方向确定第三个结点的线位移 如下页图示装置 已知结点A B线位移的大小和方向 求结点C的线位移 三 斜杆刚架的计算 81 多边形为所求位移图 82 右图即为所求的位移图 作位移图具体步骤 2 过A 作AC垂线 过B 作CB垂线 两垂线交点为C 83 例7 3 6作图示刚架M图 解 1 未知量 2 画位移图 确定各杆相对侧移 84 4 建立位移法方程并求解 结点B 3 杆端弯矩表达式 85 取AB杆为隔离体 求剪力FQBA 考虑BC部分平衡 86 解方程组 得 5 作弯矩图 87 例7 3 7作图示结构M图 解 1 未知量 88 2 画位移图 确定各杆相对侧移 3 杆端弯矩表达式 4 建立位移法方程并求解 89 考虑ABC部分平衡 取杆BD为隔离体 求剪力FQBD 90 5 作弯矩图 注意 叠加法作弯矩图时 水平均布荷载作用下 BC杆的杆长为水平投影长度 91 注意 带滑动支座单跨斜梁固端弯矩及刚度系数的求解 92 e 93 7 4剪力分配法 1 横梁抗弯刚度EI 的刚架 EA总认为趋于无穷大 2 铰接排架中 横梁EA 的结构 用位移法求解时 若结构的结点位移未知量中只有线位移 而没有角位移 除少数情况外 均适用剪力分配法 下列两类结构可能满足上述条件 94 95 一 水平结点荷载作用的情况 例7 4 1作图示结构M图 解 1 未知量 2 杆端弯矩表达式 各杆线刚度 96 3 建立位移法方程并求解 求各柱剪力 k1 k2 k3称为柱的侧移刚度 在数值上等于该柱两端产生相对侧移 1时柱的剪力值 97 考虑ACE部分平衡 98 4 求各柱剪力并画弯矩图 i称为剪力分配系数 且有 1 可见 总剪力FP按剪力分配系数确定的比例分配给各柱 99 各柱端弯矩为 可见 此时 荷载是按照各柱的刚度比进行分配的 分配后的力乘以各杆长度 即得结构的弯矩图 下面给出剪力分配法解题步骤 100 剪力分配法解题步骤 为层总剪力 1 求各柱侧移刚度k 2 求剪力分配系数 3 求各柱剪力并作M图 101 例7 4 2作图示刚架M图 1 求各柱侧移刚度 解 令 102 2 求剪力分配系数 3 求各杆剪力并作弯矩图 将剪力置于弯矩零点即柱中点 作弯矩图如右图示 M图 m 103 例7 4 3作图示刚架M图 题1 求各柱侧移刚度k 剪力分配系数 和剪力 作M图 104 题2 求各柱侧移刚度k 剪力分配系数 和剪力 作M图 105 二 非水平结点荷载的处理 106 三 近似法 多跨多层刚架在水平结点荷载作用下 当刚架横梁线刚度ib与柱线刚度ic的比值大于或等于3 可忽略刚结点转角的影响 采用剪力分配法进行计算 此时 底层柱的反弯点 弯距为0的截面 取在2h 3处 其余各层之反弯点仍在柱中点 这是因为底层柱下端为固定端 转角为零 而底层柱上端结点实际上有转角 反弯点并不在柱中点 如下页图示 107 108 7 5对称结构的计算 结构对称是指结构的几何形状 支座条件 材料性质及各杆刚度EA EI GA均对称 利用结构对称性简化计算 基本思路是减少位移法的基本未知量 一 奇数跨刚架 分析与对称轴相交截面的位移条件 在根据对称性取半边结构时 该截面应加上与位移条件相应的支座 109 对称结构在对称荷载作用下 其内力和变形均对称 在取半边结构时 B截面加上滑动支座 但横梁线刚度应加倍 与对称轴相交截面B的位移条件为 1 对称荷载 110 111 2 反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下 其内力和变形均反对称 112 未知量 113 二 偶数跨刚架 偶数跨刚架不存在与对称轴相交的截面 1 对称荷载 114 2 反对称荷载 将中柱分成惯性矩各为I1 2的两个柱 两柱间跨度为dl 则原结构变为奇数跨 利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论就可以得到图示简化结果 115 例7 5 1作图示结构M图 三 举例 解 将荷载分解为对称和反对称两组 116 M图 FPh 对称荷载下无弯矩图 只需计算反对称荷载情况 117 例7 5 2作下图示结构M图 118 119 例7 5 3确定对称结构的基本未知量并选取半边结构 120 121 四 对称温度变化时的求解 1 奇数跨刚架 取半边结构求解 122 2 偶数跨刚架 例7 5 4作下图a 示结构M图 刚架各杆为矩形截面 截面高为0 6m 各杆EI相同 123 1 各杆两端相对侧移 杆AB缩短 杆CD伸长 杆BC缩短 则AB BC杆相对侧移为 正负号与弦转角正负规定有关 124 2 求固端弯矩 两部分 平均温度 温差 相对侧移产生的固端弯矩为 超静定结构温度低的一侧受拉 125 3 杆端弯矩表达式 4 建立位移法方程并求解 126 5 回代求杆端弯矩并画弯矩图 在温度变化作用下 超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比 127 7 6支座移动 温度变化及具有弹簧支座结构的计