杆系结构的有限元法ppt课件.ppt

第八章杆系结构的有限单元法 1 结构几何构造的基本知识 2 结构几何构造的基本分类 结构是用来承受和传递载荷的 如果不计材料的应变 在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发生刚体位移时 称之为几何不变结构或几何稳定结构 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构 几何可变结构不能承受和传递载荷 对结构进行几何构造分析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件 造成几何可变的几种原因 3 结构的计算简图 力学模型 实际结构总是很复杂的 完全按照结构的实际情况进行力学分析是不可能的 也是不必要的 因此在对实际结构进行力学计算之前 必须将其作合理的简化 使之成为既反映实际结构的受力状态与特点 又便于计算的几何图形 这种被抽象化了的简单的理想图形称之为结构的计算简图 有时也称为结构的力学模型 结构计算所常用的结点和支座的简化形式 1 结点 铰结点 刚结点 混合结点 2 支座 活动铰支座 固定铰支座 固定支座 定向支座 4 结构的分类与基本特征 按结构在空间的位置分结构可分为平面结构和空间结构两大类 按结构元件的几何特征分 杆系结构 梁 拱 桁架 刚架 桁构结构等 板壳结构 实体结构 长 宽 高三个尺寸都很大 具有同一量级 混合结构 按结构的自由度分 静定结构 自由度为零的几何不变结构 超静定结构 自由度小于零的几何不变结构 5 结构的分类与基本特征 静定结构的特征 a 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式求出 并且解答是唯一的 b 静定结构的内力及支座反力与材料的性质和截面特征 几何尺寸 形状 无关 c 静定结构上无外载荷作用时 其内力及支座反力全为零 d 若静定结构在载荷作用下 结构中的某一部分能不依靠于其它部分 独立地与载荷保持平衡时 则其它部分的内力为零 e 当将一平衡力系作用于静定结构的一个几何不变部分时 结构的其余部分都无内力产生 f 当静定结构中的一个内部几何不变部分上的载荷作等效变换时 其余部分的内力不变 g 当静定结构中的一个内部儿何不变部分作构造改变时 其余部分的内力不变 6 结构的分类与基本特征 超静定结构的特征 a 超静定结构仅仅满足静力平衡条件的解有无穷多个 但同时满足结构变形协调条件的解仅有一个 b 超静定结构的内力及支反力不仅与载荷有关 而且与林料的力学性能和截面尺寸有关 c 超静定结构在非载荷因素作用下 如温度变化 支座沉陷 制造误差等而产生的位移会受到多余约束的限制 结构内必将产生内力 d 超静定结构中的多余约束破坏后 结构仍然保持几何不变性 因而仍有一定的承载能力 不致整个结构遭受破坏 e 超静定结构由于具有多余的约束 因而比相应的静定结构具有较大的刚度和稳定性 在载荷作用下 内力分布也较均匀 且内力峰值也较静定结构为小 7 结构的对称性及其利用 对称结构在正对称载荷下 对称轴截面上只能产生正对称的位移 反对称的位移为零 对称结构在反对称载荷下 对称轴截面上只有反对称的位移 正对称的位移为零 奇数跨的刚架 正对称荷载作用下的变形及分析简化 8 结构的对称性及其利用 奇数跨的刚架 反对称荷载作用下的变形及分析简化 9 结构的对称性及其利用 偶数跨的刚架 正对称荷载作用下的变形及分析简化 10 结构的对称性及其利用 偶数跨的刚架 反对称荷载作用下的变形及分析简化 11 结构的自由度及其计算 自由度 指结构在所在空间运动时 可以独立改变的几何参数的数目 也就是确定该结构位置时所需的独立参数的数目 约束 指减少结构自由度的装置 即限制结构运动的装置 具体包括 a 支座链杆的约束 b 铰的约束 单铰 复铰 完全铰与不完全铰 桁架自由度计算公式 桁架中的结点数为j 杆件数为g 支座链杆数为z 则桁架的自由度W为 平面桁架 空间桁架 12 结构的自由度及其计算 平面混合结构的自由度计算 其计算过程比较复杂 主要原因在于必须先进行一些构件的拆分 拆分完毕之后计算方式与桁架一致 计算结果有三种可能 W 0表明结构缺少必要的约束 可运动 故结构必定是几何可变体系 b W 0表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数 c W 0表明结构具有多余约束 注意 结构的自由度W 0是组成几何不变体系的必要条件 但不是充分条件 为什么 13 几何不变结构的组成规律 1 二元体规则 由两根不在同一条直线上的链杆联结一个新结点所组成的结构称为二元体 二元体规则是指在一个几何不变结构上 由增加二元体而发展的结构 是一个几何不变结构 铰接三角形是最简单的几何不变结构 铰接三角形 14 几何不变结构的组成规律 瞬变结构 一个结构 当它受载荷作用时会产生微小的位移 但位移一旦发生后 即转变成一几何不变结构 但结构的内力可能为无限大值或不定值 这样的结构称为瞬变结构 显然 瞬变结构在工程结构设计中应尽量避免 最简单的瞬变结构 15 几何不变结构的组成规律 2 两刚片规则 两刚片用三根既不完全平行也不交于同一点的链杆相联 所得结构是几何不变结构 两刚片连接规则 瞬变结构 常变结构 16 几何不变结构的组成规律 3 三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联 所得结构是几何不变结构 基本三角形结构 三刚片规则示意图 17 几何不变结构的组成规律 结构几何构造分析示例 如果用自由度公式计算 结构示意图 j 6 g 8 z 4 自由度为零 应是几何不变结构 刚片 和 间用杆件DB FE相联 虚铰位置在此二平行杆件延长线的无穷远处 刚片 和 间用杆件DA及支座链杆 相联 虚铰位置在F点 刚片 和 用杆件BA 支座链杆 相联 虚铰位置在C点 三铰可看成位于同一条直线上 故此结构为几何瞬变结构 18 空间结构几何构造分析 规律1 空间中一点与一刚体用三根链杆相连 且三链杆不在同一平面内 则组成几何不变的结构 且无多余约束 空间点与基础连接 瞬变结构 19 空间结构几何构造分析 规律2 一个几何不变结构 或刚体 与基础用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联 所组成的结构是几何不变的结构 且无多余约束 几何不变结构可变结构 瞬变结构常变结构 20 空间结构几何构造分析 规律3 一个几何不变结构 或刚体 与另一个几何不变结构 或刚体 用六根即不平行也不相交于同一条直线的链杆相联 所组成的结构是几何不变的结构 且无多余约束 空间桁架结构 空间网状结构 21 杆系结构的有限单元法 22 实际工程中的杆系结构 工程上许多由金属构件所组成的结构 如塔式桁构支承架 起重机起重臂架 钢结构桥梁 钢结构建筑等可以归结为杆系结构 杆系结构可按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构 也可按各杆之间是铰接还是刚接分为桁架结构和刚架结构 23 桁架和刚架的区别 桁架结构 平面桁架空间桁架杆件与杆件间为铰接铰接点只传递力而不传递转矩每根杆件均为二力杆杆件不产生弯曲变形和弯曲应力有限元计算采用杆元 杆单元 bar 24 桁架和刚架的区别 刚架结构 平面刚架空间刚架杆件与杆件间可理解为焊接连接点可传递力也可传递转矩刚架有限元分析采用梁元 beam 可当作刚架的常见结构 高压线塔 客车车身骨架 管式摩托车车架 自行车车架 长江大桥 25 杆系结构的离散 由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成 故离散化比较简单 一般将杆件或者杆件的一段 一根杆又分为几个单元 作为一个单元 杆件与杆件相连接的交点称为结点 离散要点为 a 杆件的转折点 汇交点 自由端 集中载荷作用点 支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点 这些结点都是根据结构本身特点来确定的 b 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元 c 变截面杆件可分段处理成多个单元 取各段中点处的截面近似作为该单元的截面 各单元仍按等截面杆进行计算 26 杆系结构的离散 d 对曲杆组成的结构 可用多段折线代替 每端折线为一个单元 如若提高计算精度 也可以在杆件中间增加结点 e 在有限元法计算中 载荷作用到结点上 当结构有非结点载荷作用时 应该按照静力等效的原则将其变换为作用在结点上的等效结点载荷 杆系结构的离散及荷载等效 27 杆系结构有限元中的坐标系 为了建立结构的平衡条件 对结构进行整体分析 尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系 即结构坐标系或称之为整体坐标系 总体坐标系 在进行有限元法计算中 由于涉及到对所有单元进行类似运算 所以这些计算以单元自己的i j为基准建立的局部坐标系是会带来很大方便的 整体坐标系与局部坐标系 28 杆系结构单元位移与载荷向量 结点位移列向量为 二维情况下单元的位移和载荷 单元e结点位移列向量为 单元e结点力列向量为 当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正 反之为负 转角位移和力矩 按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正 对于任意方向的力学向量 应分解为沿坐标轴方向的分量 正负号规定 29 杆系结构单元的位移函数 有限单元法分析中 虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型 采用的单元的位移模式不同 但是构建的位移函数的数学模型的性能 能否真实反映真实结构的位移分布规律等 直接影响计算结果的真实性 计算精度及解的收敛性 为了保证解的收敛性 选用的位移函数应当满足下列要求 a 单元位移函数的项数 至少应等于单元的自由度数 它的阶数至少包含常数项和一次项 至于高次项要选取多少项 则应视单元的类型而定 b 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中 c 单元的位移函数应保证在单元内连续 以及相邻单元之间的位移协调性 30 杆系结构单元的位移函数 桁架结构杆单元的位移函数 由于每根杆件均为二力杆 事实上刚才的 由单元结点位移 确定待定系数项 上式不仅是桁架结构中杆单元的位移函数 对于杆系结构中单元的轴向位移状态 都是采用这个位移函数进行表示的 0 0 0 0 31 杆系结构单元的位移函数 刚架结构梁单元的位移函数 轴向位移状态的表达和前面一样 现在只考虑节点另外的四个位移分量 根据材料力学 沿梁长各截面的转角为 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数的多项式 32 杆系结构单元的位移函数 刚架结构梁单元的位移函数 将其代回v x 的表达式进行整理后 于是 33 平面刚架梁单元的应力应变 在弹性范围内 并且不考虑剪力的影响时 平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成 即轴向应变与弯曲应变之和 其轴向应变与平面桁架轴向应变相同 轴向应变为 弯曲应变为 y为梁单元任意截面上任意点至中性轴 x轴 的距离 弯曲应变计算示意图 得出平面刚架单元应变 34 平面刚架梁单元的应力应变 将刚才已经建立的位移函数代入 则应变为 进一步的 应力为 其中 B 称为平面刚架梁单元的应变转换矩阵 35 平面刚架梁单元的有限元方程 采用虚功原理进行推导 假设梁单元的i j结点发生虚位移为 那么单元内会发生相应的虚应变为 外力在虚位移上的功与内力在虚应变上的功相等 上式为局部坐标下的平面刚架梁单元的有限元方程 36 平面刚架梁单元的刚度矩阵 根据习惯 那么单元刚度为 进行积分运算后得到 A 杆的横截面面积 I 杆的横截面对主轴的惯性矩 37 桁架杆单元的刚度矩阵 如果是桁架结构 那么矩阵形式将比较简单 平面桁架杆单元 每个单元自由度未知量只有两个节点位移 空间桁架杆单元 每个单元自由度未知量也只有两个节点位移 但是由于空间性 所以每个节点位移会表现为3个分量 38 空间刚架梁单元的刚度矩阵 当刚架结构扩展到了空间状态 则每个结点有6个位移分量 其单元结点位移列向量 空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12 12的 39 空间刚架梁单元的刚度矩阵 40 杆系结构单元刚度矩阵的性质 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关 仅与单元的横截面积A 惯性矩I 单元长度l 单元的弹性模量E有关 b 单元刚度矩阵是一个对称阵 在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等 即 根据是反力互等定理 c 单元刚度矩阵是一个奇异阵 d 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示 具有确定的物理意义 41 单元刚度矩阵的物理意义 物理意义 Kij代表在i结点发生单位位移时 j结点需要施加的力 42 整体坐标下的单元刚度矩阵 在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量可分别表示成 向量转换 于是 43 整体坐标下的单元刚度矩阵 那么就有 一般简写为 同样的道理 T 平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵 44 整体坐标下的单元刚度矩阵 将坐标转换矩阵代入原有限元控制方程 则 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵仍然为对称阵 奇异阵 45 整体刚度矩阵的集成 以下图所示的刚架结构为例 刚架实例 其结点载荷列向量分别为 结构载荷列向量 结点位移列向量 46 整体刚度矩阵的集成 以下图所示的刚架结构为例 刚架实例 其结点载荷列向量分别为 结构载荷列向量 结点位移列向量 47 整体刚度矩阵的集成 其整体的平衡方程为 简写为 整体刚度矩阵 48 整体刚度矩阵的性质 1 仅与各单元的几何特性 材料特性 即A I l E等因素有关 2 为对称方阵 3 为奇异矩阵 其逆矩阵不存在 因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件 4 为稀疏矩阵 49 约束的处理 建立结构平衡方程式时 并未考虑支承条件 约束 也就是说 将原始结构处理成一个自由悬空的 存在刚体位移的几何可变结构 整体刚度矩阵是奇异矩阵 因此 无法求解 约束处理常用方法有划0置1法和乘大数法 a 固定支座 b 支座发生位移 对于如图 a 所示 结构约束 支座 位移全部为零 此时做约束处理时 采用填0置1法比较适宜 对于如图 b 所示 某约束 支座 位移为给定的强迫值 此时做约束处理时 采用乘大数法比较适宜 50 杆系结构的有限单元法计算实例 51 计算实例 设两杆的杆长和截面尺寸相同 52 计算实例 第一步 结构离散化将结构划分为4个结点 3个单元 53 计算实例 第二步 求结点载荷 先按局部坐标系中固定端内