高考数学真题导数专题及答案

精品文档 1欢迎下载 20172017 年高考真题导数专题年高考真题导数专题 一 解答题 共一 解答题 共 1212 小题 小题 1 已知函数 f x ae2x a 2 ex x 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 有两个零点 求 a 的取值范围 2 已知函数 f x ax2 ax xlnx 且 f x 0 1 求 a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点 x0 且 e 2 f x0 2 2 3 已知函数 f x x 1 alnx 1 若 f x 0 求 a 的值 2 设 m 为整数 且对于任意正整数 n 1 1 1 m 求 m 的最小值 4 已知函数 f x x3 ax2 bx 1 a 0 b R 有极值 且导函数 f x 的 极值点是 f x 的零点 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值 1 求 b 关于 a 的函数关系式 并写出定义域 2 证明 b2 3a 3 若 f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于 求 a 的取值范 围 5 设函数 f x 1 x2 ex 1 讨论 f x 的单调性 2 当 x 0 时 f x ax 1 求 a 的取值范围 6 已知函数 f x x e x x 1 求 f x 的导函数 2 求 f x 在区间 上的取值范围 7 已知函数 f x x2 2cosx g x ex cosx sinx 2x 2 其中 精品文档 2欢迎下载 e 2 17828 是自然对数的底数 求曲线 y f x 在点 f 处的切线方程 令 h x g x a f x a R 讨论 h x 的单调性并判断有无 极值 有极值时求出极值 8 已知函数 f x excosx x 1 求曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数 f x 在区间 0 上的最大值和最小值 9 设 a Z 已知定义在 R 上的函数 f x 2x4 3x3 3x2 6x a 在区间 1 2 内有一个零点 x0 g x 为 f x 的导函数 求 g x 的单调区间 设 m 1 x0 x0 2 函数 h x g x m x0 f m 求证 h m h x0 0 求证 存在大于 0 的常数 A 使得对于任意的正整数 p q 且 1 x0 x0 2 满足 x0 10 已知函数 f x x3 ax2 a R 1 当 a 2 时 求曲线 y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 2 设函数 g x f x x a cosx sinx 讨论 g x 的单调性并判断有 无极值 有极值时求出极值 11 设 a b R a 1 已知函数 f x x3 6x2 3a a 4 x b g x exf x 求 f x 的单调区间 已知函数 y g x 和 y ex的图象在公共点 x0 y0 处有相同的切线 i 求证 f x 在 x x0处的导数等于 0 ii 若关于 x 的不等式 g x ex在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 求 b 的取 值范围 精品文档 3欢迎下载 12 已知函数 f x ex ex a a2x 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 0 求 a 的取值范围 精品文档 4欢迎下载 20172017 年高考真题导数专题年高考真题导数专题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 1212 小题 小题 1 2017 新课标 已知函数 f x ae2x a 2 ex x 1 讨论 f x 的单调性 2 若 f x 有两个零点 求 a 的取值范围 解答 解 1 由 f x ae2x a 2 ex x 求导 f x 2ae2x a 2 ex 1 当 a 0 时 f x 2ex 1 0 当 x R f x 单调递减 当 a 0 时 f x 2ex 1 aex 1 2a ex ex 令 f x 0 解得 x ln 当 f x 0 解得 x ln 当 f x 0 解得 x ln x ln 时 f x 单调递减 x ln 单调递增 当 a 0 时 f x 2a ex ex 0 恒成立 当 x R f x 单调递减 综上可知 当 a 0 时 f x 在 R 单调减函数 当 a 0 时 f x 在 ln 是减函数 在 ln 是增函数 2 若 a 0 时 由 1 可知 f x 最多有一个零点 当 a 0 时 f x ae2x a 2 ex x 当 x 时 e2x 0 ex 0 精品文档 5欢迎下载 当 x 时 f x 当 x e2x 且远远大于 ex和 x 当 x f x 函数有两个零点 f x 的最小值小于 0 即可 由 f x 在 ln 是减函数 在 ln 是增函数 f x min f ln a a 2 ln 0 1 ln 0 即 ln 1 0 设 t 则 g t lnt t 1 t 0 求导 g t 1 由 g 1 0 t 1 解得 0 a 1 a 的取值范围 0 1 方法二 1 由 f x ae2x a 2 ex x 求导 f x 2ae2x a 2 ex 1 当 a 0 时 f x 2ex 1 0 当 x R f x 单调递减 当 a 0 时 f x 2ex 1 aex 1 2a ex ex 令 f x 0 解得 x lna 当 f x 0 解得 x lna 当 f x 0 解得 x lna x lna 时 f x 单调递减 x lna 单调递增 当 a 0 时 f x 2a ex ex 0 恒成立 当 x R f x 单调递减 综上可知 当 a 0 时 f x 在 R 单调减函数 当 a 0 时 f x 在 lna 是减函数 在 lna 是增函数 2 若 a 0 时 由 1 可知 f x 最多有一个零点 精品文档 6欢迎下载 当 a 0 时 由 1 可知 当 x lna 时 f x 取得最小值 f x min f lna 1 ln 当 a 1 时 f lna 0 故 f x 只有一个零点 当 a 1 时 由 1 ln 0 即 f lna 0 故 f x 没有零点 当 a 0 1 时 1 ln 0 f lna 0 由 f 2 ae 4 a 2 e 2 2 2e 2 2 0 故 f x 在 lna 有一个零点 假设存在正整数 n0 满足 n0 ln 1 则 f n0 a a 2 n0 n0 n0 0 由 ln 1 lna 因此在 lna 有一个零点 a 的取值范围 0 1 2 2017 新课标 已知函数 f x ax2 ax xlnx 且 f x 0 1 求 a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点 x0 且 e 2 f x0 2 2 解答 1 解 因为 f x ax2 ax xlnx x ax a lnx x 0 则 f x 0 等价于 h x ax a lnx 0 求导可知 h x a 则当 a 0 时 h x 0 即 y h x 在 0 上单调递减 所以当 x0 1 时 h x0 h 1 0 矛盾 故 a 0 因为当 0 x 时 h x 0 当 x 时 h x 0 所以 h x min h 精品文档 7欢迎下载 又因为 h 1 a a ln1 0 所以 1 解得 a 1 2 证明 由 1 可知 f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 令 f x 0 可得 2x 2 lnx 0 记 t x 2x 2 lnx 则 t x 2 令 t x 0 解得 x 所以 t x 在区间 0 上单调递减 在 上单调递增 所以 t x min t ln2 1 0 从而 t x 0 有解 即 f x 0 存在两根 x0 x2 且不妨设 f x 在 0 x0 上为正 在 x0 x2 上为负 在 x2 上 为正 所以 f x 必存在唯一极大值点 x0 且 2x0 2 lnx0 0 所以 f x0 x0 x0lnx0 x0 2x0 2 x0 由 x0 可知 f x0 x0 max 由 f 0 可知 x0 所以 f x 在 0 x0 上单调递增 在 x0 上单调递减 所以 f x0 f 综上所述 f x 存在唯一的极大值点 x0 且 e 2 f x0 2 2 3 2017 新课标 已知函数 f x x 1 alnx 1 若 f x 0 求 a 的值 2 设 m 为整数 且对于任意正整数 n 1 1 1 m 求 m 的最小值 解答 解 1 因为函数 f x x 1 alnx x 0 精品文档 8欢迎下载 所以 f x 1 且 f 1 0 所以当 a 0 时 f x 0 恒成立 此时 y f x 在 0 上单调递增 这与 f x 0 矛盾 当 a 0 时令 f x 0 解得 x a 所以 y f x 在 0 a 上单调递减 在 a 上单调递增 即 f x min f a 又因为 f x min f a 0 所以 a 1 2 由 1 可知当 a 1 时 f x x 1 lnx 0 即 lnx x 1 所以 ln x 1 x 当且仅当 x 0 时取等号 所以 ln 1 k N 一方面 ln 1 ln 1 ln 1 1 1 即 1 1 1 e 另一方面 1 1 1 1 1 1 2 从而当 n 3 时 1 1 1 2 e 因为 m 为整数 且对于任意正整数 n 1 1 1 m 成立 所以 m 的最小值为 3 4 2017 江苏 已知函数 f x x3 ax2 bx 1 a 0 b R 有极值 且导函 数 f x 的极值点是 f x 的零点 极值点是指函数取极值时对应的自变量 的值 1 求 b 关于 a 的函数关系式 并写出定义域 2 证明 b2 3a 3 若 f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于 求 a 的取值范 围 精品文档 9欢迎下载 解答 1 解 因为 f x x3 ax2 bx 1 所以 g x f x 3x2 2ax b g x 6x 2a 令 g x 0 解得 x 由于当 x 时 g x 0 g x f x 单调递增 当 x 时 g x 0 g x f x 单调递减 所以 f x 的极小值点为 x 由于导函数 f x 的极值点是原函数 f x 的零点 所以 f 0 即 1 0 所以 b a 0 因为 f x x3 ax2 bx 1 a 0 b R 有极值 所以 f x 3x2 2ax b 0 的实根 所以 4a2 12b 0 即 a2 0 解得 a 3 所以 b a 3 2 证明 由 1 可知 h a b2 3a 4a3 27 a3 27 由于 a 3 所以 h a 0 即 b2 3a 3 解 由 1 可知 f x 的极小值为 f b 设 x1 x2是 y f x 的两个极值点 则 x1 x2 x1x2 所以 f x1 f x2 a b x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 3x1x2 a x1 x2 2 2x1x2 b x1 x2 2 2 又因为 f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于 所以 b 2 因为 a 3 所以 2a3 63a 54 0 精品文档 10欢迎下载 所以 2a a2 36 9 a 6 0 所以 a 6 2a2 12a 9 0 由于 a 3 时 2a2 12a 9 0 所以 a 6 0 解得 a 6 所以 a 的取值范围是 3 6 5 2017 新课标 设函数 f x 1 x2 ex 1 讨论 f x 的单调性 2 当 x 0 时 f x ax 1 求 a 的取值范围 解答 解 1 因为 f x 1 x2 ex x R 所以 f x 1 2x x2 ex 令 f x 0 可知 x 1 当 x 1 或 x 1 时 f x 0 当 1 x 1 时 f x 0 所以 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 2 由题可知 f x 1 x 1 x ex 下面对 a 的范围进行讨论 当 a 1 时 设函数 h x 1 x ex 则 h x xex 0 x 0 因此 h x 在 0 上单调递减 又因为 h 0 1 所以 h x 1 所以 f x 1 x h x x 1 ax 1 当 0 a 1 时 设函数 g x ex x 1 则 g x ex 1 0 x 0 所以 g x 在 0 上单调递增 又 g 0 1 0 1 0 所以 ex x 1 精品文档 11欢迎下载 因为当 0 x 1 时 f x 1 x 1 x 2 所以 1 x 1 x 2 ax 1 x 1 a x x2 取 x0 0 1 则 1 x0 1 x0 2 ax0 1 0 所以 f x0 ax0 1 矛盾 当 a 0 时 取 x0 0 1 则 f x0 1 x0 1 x0 2 1 ax0 1 矛盾 综上所述 a 的取值范围是 1 6 2017 浙江 已知函数 f x x e x x 1 求 f x 的导函数 2 求 f x 在区间 上的取值范围 解答 解 1 函数 f x x e x x 导数 f x 1 2 e x x e x 1 x e x 1 x 1 e x 2 由 f x 的导数 f x 1 x 1 e x 可得 f x 0 时 x 1 或 当 x 1 时 f x 0 f x 递减 当 1 x 时 f x 0 f x 递增 当 x 时 f x 0 f x 递减 且 x x2 2x 1 x 1 2 0 则 f x 0 由 f e f 1 0 f e 精品文档 12欢迎下载 即有 f x 的最大值为e 最小值为 f 1 0 则 f x 在区间 上的取值范围是 0 e 7 2017 山东 已知函数 f x x2 2cosx g x ex cosx sinx 2x 2 其 中 e 2 17828 是自然对数的底数 求曲线 y f x 在点 f 处的切线方程 令 h x g x a f x a R 讨论 h x 的单调性并判断有无 极值 有极值时求出极值 解答 解 I f 2 2 f x 2x 2sinx f 2 曲线 y f x 在点 f 处的切线方程为 y 2 2 2 x 化为 2 x y 2 2 0 II h x g x a f x ex cosx sinx 2x 2 a x2 2cosx h x ex cosx sinx 2x 2 ex sinx cosx 2 a 2x 2sinx 2 x sinx ex a 2 x sinx ex elna 令 u x x sinx 则 u x 1 cosx 0 函数 u x 在 R 上单调递增 u 0 0 x 0 时 u x 0 x 0 时 u x 0 1 a 0 时 ex a 0 x 0 时 h x 0 函数 h x 在 0 单 调递增 x 0 时 h x 0 函数 h x 在 0 单调递减 x 0 时 函数 h x 取得极小值 h 0 1 2a 2 a 0 时 令 h x 2 x sinx ex elna 0 解得 x1 lna x2 0 0 a 1 时 x lna 时 ex elna 0 h x 0 函数 h x 单调 精品文档 13欢迎下载 递增 x lna 0 时 ex elna 0 h x 0 函数 h x 单调递减 x 0 时 ex elna 0 h x 0 函数 h x 单调递增 当 x 0 时 函数 h x 取得极小值 h 0 2a 1 当 x lna 时 函数 h x 取得极大值 h lna a ln2a 2lna sin lna cos lna 2 当 a 1 时 lna 0 x R 时 h x 0 函数 h x 在 R 上单调递增 1 a 时 lna 0 x 0 时 ex elna 0 h x 0 函数 h x 单 调递增 x 0 lna 时 ex elna 0 h x 0 函数 h x 单调递减 x lna 时 ex elna 0 h x 0 函数 h x 单调递增 当 x 0 时 函数 h x 取得极大值 h 0 2a 1 当 x lna 时 函数 h x 取得极小值 h lna a ln2a 2lna sin lna cos lna 2 综上所述 a 0 时 函数 h x 在 0 单调递增 x 0 时 函数 h x 在 0 单调递减 x 0 时 函数 h x 取得极小值 h 0 1 2a 0 a 1 时 函数 h x 在 x lna 是单调递增 函数 h x 在 x lna 0 上单调递减 当 x 0 时 函数 h x 取得极小值 h 0 2a 1 当 x lna 时 函数 h x 取得极大值 h lna a ln2a 2lna sin lna cos lna 2 当 a 1 时 lna 0 函数 h x 在 R 上单调递增 a 1 时 函数 h x 在 0 lna 上单调递增 函数 h x 在 0 lna 上单调递减 当 x 0 时 函数 h x 取得极大值 h 0 精品文档 14欢迎下载 2a 1 当 x lna 时 函数 h x 取得极小值 h lna a ln2a 2lna sin lna cos lna 2 8 2017 北京 已知函数 f x excosx x 1 求曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 求函数 f x 在区间 0 上的最大值和最小值 解答 解 1 函数 f x excosx x 的导数为 f x ex cosx sinx 1 可得曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线斜率为 k e0 cos0 sin0 1 0 切点为 0 e0cos0 0 即为 0 1 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y 1 2 函数 f x excosx x 的导数为 f x ex cosx sinx 1 令 g x ex cosx sinx 1 则 g x 的导数为 g x ex cosx sinx sinx cosx 2ex sinx 当 x 0 可得 g x 2ex sinx 0 即有 g x 在 0 递减 可得 g x g 0 0 则 f x 在 0 递减 即有函数 f x 在区间 0 上的最大值为 f 0 e0cos0 0 1 最小值为 f ecos 9 2017 天津 设 a Z 已知定义在 R 上的函数 f x 2x4 3x3 3x2 6x a 在区 间 1 2 内有一个零点 x0 g x 为 f x 的导函数 求 g x 的单调区间 精品文档 15欢迎下载 设 m 1 x0 x0 2 函数 h x g x m x0 f m 求证 h m h x0 0 求证 存在大于 0 的常数 A 使得对于任意的正整数 p q 且 1 x0 x0 2 满足 x0 解答 解 由 f x 2x4 3x3 3x2 6x a 可得 g x f x 8x3 9x2 6x 6 进而可得 g x 24x2 18x 6 令 g x 0 解得 x 1 或 x 当 x 变化时 g x g x 的变化情况如下表 x 1 1 g x g x 所以 g x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 1 证明 由 h x g x m x0 f m 得 h m g m m x0 f m h x0 g x0 m x0 f m 令函数 H1 x g x x x0 f x 则 H 1 x g x x x0 由 知 当 x 1 2 时 g x 0 故当 x 1 x0 时 H 1 x 0 H1 x 单调递减 当 x x0 2 时 H 1 x 0 H1 x 单调递增 因此 当 x 1 x0 x0 2 时 H1 x H1 x0 f x0 0 可得 H1 m 0 即 h m 0 令函数 H2 x g x0 x x0 f x 则 H 2 x g x0 g x 由 精品文档 16欢迎下载 知 g x 在 1 2 上单调递增 故当 x 1 x0 时 H 2 x 0 H2 x 单调递增 当 x x0 2 时 H 2 x 0 H2 x 单调递减 因此 当 x 1 x0 x0 2 时 H2 x H2 x0 0 可得得 H2 m 0 即 h x0 0 所以 h m h x0 0 对于任意的正整数 p q 且 令 m 函数 h x g x m x0 f m 由 知 当 m 1 x0 时 h x 在区间 m x0 内有零点 当 m x0 2 时 h x 在区间 x0 m 内有零点 所以 h x 在 1 2 内至少有一个零点 不妨设为 x1 则 h x1 g x1 x0 f 0 由 知 g x 在 1 2 上单调递增 故 0 g 1 g x1 g 2 于是 x0 因为当 x 1 2 时 g x 0 故 f x 在 1 2 上单调递增 所以 f x 在区间 1 2 上除 x0外没有其他的零点 而 x0 故 f 0 又因为 p q a 均为整数 所以 2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4 是正整数 从而 2p4 3p3q 3p2q2 6pq3 aq4 1 所以 x0 所以 只要取 A g 2 就有 x0 10 2017 山东 已知函数 f x x3 ax2 a R 1 当 a 2 时 求曲线 y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 2 设函数 g x f x x a cosx sinx 讨论 g x 的单调性并判断有 无极值 有极值时求出极值 精品文档 17欢迎下载 解答 解 1 当 a 2 时 f x x3 x2 f x x2 2x k f 3 9 6 3 f 3 27 9 0 曲线 y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 y 3 x 3 即 3x y 9 0 2 函数 g x f x x a cosx sinx x3 ax2 x a cosx sinx g x x a x sinx 令 g x 0 解得 x a 或 x 0 若 a 0 时 当 x 0 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 0 上单调 递增 当 x a 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 a 上单调递增 当 0 x a 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 0 a 上单调递减 当 x a 时 函数有极小值 极小值为 g a a3 sina 当 x 0 时 有极大值 极大值为 g 0 a 若 a 0 时 当 x 0 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 0 上单调 递增 当 x a 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 a 上单调递增 当 a x 0 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 a 0 上单调递减 当 x a 时 函数有极大值 极大值为 g a a3 sina 当 x 0 时 有极小值 极小值为 g 0 a 当 a 0 时 g x x x sinx 当 x 0 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 0 上单调递增 当 x 0 时 g x 0 恒成立 故 g x 在 0 上单调递增 g x 在 R 上单调递增 无极值 精品文档 18欢迎下载 11 2017 天津 设 a b R a 1 已知函数 f x x3 6x2 3a a 4 x b g x exf x 求 f x 的单调区间 已知函数 y g x 和 y ex的图象在公共点 x0 y0 处有相同的切线 i 求证 f x 在 x x0处的导数等于 0 ii 若关于 x 的不等式 g x ex在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 求 b 的取 值范围 解答 解 由 f x x3 6x2 3a a 4 x b 可得 f x 3x2 12x 3a a 4 3 x a x 4 a 令 f x 0 解得 x a 或 x 4 a 由 a 1 得 a 4 a 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x a a 4 a 4 a f x f x f x 的单调递增区间为 a 4 a 单调