矩阵的等价,相似 合同的关系及应用

精品文档 11欢迎下载 目目 录录 摘 要 I 1 引言 1 2 矩阵间的三种关系 1 2 1 矩阵的等价关系 1 2 2 矩阵的合同关系 2 2 3 矩阵的相似关系 2 3 矩阵的等价 合同和相似之间的联系与区别 3 3 1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别 4 3 2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 5 3 2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 5 4 矩阵的等价 合同和相似的应用 6 4 1 矩阵等价的应用 7 4 2 矩阵相似的应用 9 4 3 矩阵合同的应用 9 4 4 三种关系在概率统计中的应用 Comment A1 精品文档 22欢迎下载 10 5 结论 12 结束语 12 参考文献 13 摘摘 要要 本文主要了解矩阵的三种的关系的性质 联系 区别及应用 总结它们之间的结论和定理并应 用到各个相应的领域 并且详细说明了三者的相同点和不同点 关键字 关键字 矩阵的等价关系及应用 矩阵的相似关系及应用 矩阵的合同关系及应用 1 引言 高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系 它们分别为矩阵的等价 矩阵的相似和矩阵的合同等 关系 那么为了更好的掌握它们 我们不仅要了解它们的定义 性质还要了解它们间的异同点 总 结它们的规律 并且要了解它们在各个领域的应用 我们需要更好的知道在什么条件下等价 合同 相似是可以相互转化的 加什么条件才可以相互转化 如果不能相互转化 那么你能找到相应的特 例吗 另外 三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗 是如何应用的 2 2 矩阵的三种关系矩阵的三种关系 2 12 1 矩阵的等价关系矩阵的等价关系 精品文档 33欢迎下载 定义定义 2 1 12 1 1 两个矩阵等价的充要条件为 存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵sn A Bspn 使得QBPAQ 矩阵与等价必须具备的两个条件 AB 1 矩阵与必为同型矩阵 不要求是方阵 AB 2 存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵 使 spnQBPAQ 2 1 22 1 2 矩阵等价的性质 矩阵等价的性质 1 反身性 即 AA 2 对称性 若 则 AB BA 3 传递性 若 则 AB BC AC 4 A 等价于 B 的充要条件是秩 A 秩 B 5 设 A 为 m n 矩阵 秩 A r 则 A 等价于 即存在 m 级可逆矩阵 P n 级可逆矩阵 00 0 r E Q 使 00 0 r E PAQ 6 Schur 定理 任何 n 级复方阵 A 必相似于上三角形矩阵 即 A 相似于其中 n 0 1 为矩阵 A 的特征值 n 1 定理定理 2 2 12 2 1 若为矩阵 并且 则一定存在可逆矩阵 阶 和 Amn r Ar PmQn 阶 使 其中为阶单位矩阵 0 00 r m n I PAQB r Ir 推论推论 2 2 12 2 1 设是两矩阵 则当且仅当 AB mn AB r Ar B 2 22 2 矩阵的合同关系矩阵的合同关系 定义定义 2 2 12 2 1 设均为数域上的阶方阵 若存在数域上的阶可逆矩阵 使得 A Bpnpnp 则称矩阵为合同矩阵 若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵 由矩阵的合同关系 T P APB pnp 得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件 AB 1 矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵 AB 2 存在数域上的阶矩阵 pnp T P APB 2 2 22 2 2 矩阵合同的性质 矩阵合同的性质 1 反身性 任意矩阵都与自身合同 A 2 对称性 如果与合同 那么也与合同 BAAB 3 传递性 如果与合同 又与合同 那么与合同 BACBCA 4 合同的两矩阵有相同的二次型标准型 精品文档 44欢迎下载 5 在数域上 任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵 P 6 矩阵合同与数域有关 因此矩阵的合同关系也是等价关系 而且由定义可以直接推得 合同矩阵的秩等 定理定理 2 2 12 2 1 数域 F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同 定理定理 2 2 12 2 1 复数域上秩为的二次型 可以用适当的满秩线性变换化为标准形 r 222 12r fyyy 2 3 2 3 矩阵的相似关系矩阵的相似关系 定义定义 2 3 12 3 1 设均为数域上阶方阵 若存在数域上阶可逆矩阵使 则称 A BpnpnpBAPP 1 矩阵与为相似矩阵 若级可逆矩阵为正交阵 则称与为正交相似矩阵 ABnpAB 由矩阵的相似关系 不难得到矩阵与相似 必须同时具备两个条件AB 1 矩阵与不仅为同型矩阵 而且是方阵AB 2 在数域上阶可逆矩阵 使得pnPBAPP 1 2 3 22 3 2 相似矩阵的性质 1 反身性 T AE AE 2 对称性 由即得 T BC AC 11 T ACBC 3 传递性 和即得 111 T AC AC 2212 T ACAC 21212 T A C CA C C 4 其中是任意常数 111 11221122 Pk Ak A Pk P APk P A P 12 k k 5 111 1212 PA A PP AP P A P 6 若与相似 则与相似 为正整数 AB m A m Bm 7 相似矩阵有相同的秩 而且 如果为满秩矩阵 那么 1 BP AP 11111 BP APP A P 即满秩矩阵如果相似 那么它们的逆矩阵也相似 8 相似的矩阵有相同的行列式 即 如果 则有 1 BP AP 11 BP APPA PA 9 相似的矩阵或者都可逆 或者都不可逆 并且当它们可逆时 它们的逆矩阵相似 设 若可逆 则从而可逆 且与相似 1 BP AP B 11111 BP APPA P A 1 B 1 A 若不可逆 则不可逆 即也不可逆 B 1 P AP A 下面这个性质是一个重要的结论 因此我们把它写成以下定理 定理定理 2 3 12 3 1 相似矩阵的特征值相同 推论推论 2 3 12 3 1 相似矩阵有相同的迹 3 矩阵的等价 合同和相似之间的联系与区别 3 13 1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别矩阵的相似与等价之间的关系与区别 精品文档 55欢迎下载 定理定理 3 1 13 1 1相似矩阵必为等价矩阵 但等价矩阵未必为相似矩阵 证明 设阶方阵相似 由定义 3 知存在阶可逆矩阵 使得 此时若记n A Bn 1 P 1 11 P APB 则有 因此由定义 1 得到阶方阵等价 1 1 PP 1 QP PAQB n A B 但对于矩阵 等价 与并不相似 即等价矩阵未必相似 100 010 A 121 010 B AB 但是当等价的矩阵满足一定条件时 可以是相似的 如下面定理 定理定理 3 1 23 1 2 对于阶方阵 若存在阶可逆矩阵 使 与等价 且n A Bn P QPAQB AB 为阶单位矩阵 则与相似 PQE EnAB 证明 设对于阶方阵与 若存在阶可逆矩阵 使 即与等价 又知nABn P QPAQB AB 若记 那么 也即 则矩阵也相似 PQE 1 1 PP 1 QP 1 11 P APB A B 3 23 2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别矩阵的合同与等价之间的关系与区别 定理定理 3 2 13 2 1 合同矩阵必为等价矩阵 等价矩阵未必为合同矩阵 证明 设阶方阵合同 由定义 2 得 存在阶可逆矩阵 使得 若记n A Bn 1 P 11 T P APB 则有因此由定义 1 得到阶方阵等价 1 T PP 1 QP PAQB n A B 但对于矩阵 等价 与并不合同 即等价矩阵未必合同 10 01 A 12 01 B AB 什么时候等价矩阵是合同的 只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵 3 33 3 矩阵的合同与相似之间的关系与区别矩阵的合同与相似之间的关系与区别 合同矩阵未必是相似矩阵合同矩阵未必是相似矩阵 例 单位矩阵 E 与 2E 两个矩阵的正负惯性指数相同故合同 但作为实对称矩阵的特征值不同 故不相似 相似矩阵未必合同相似矩阵未必合同 例如 A 与 B 相似 则存在可逆矩阵 P 使 B P BP 如果 P 的逆矩阵与 P 的转置矩阵不相等 则相似 矩阵不是合同矩阵 定理定理 3 3 13 3 1 正交相似矩阵必为合同矩阵 正交合同矩阵必为相似矩阵 证明 若存在一个正交矩阵 即使得即 同时有 P T P PE 1 P APB AB 1T BP APP AP 所以与合同 AB 同理可知 若存在一个正交矩阵 使得即与合同 则有P T P APB AB 1 T BP APP APAB 精品文档 66欢迎下载 定理定理 3 3 23 3 2 如果与都是阶实对称矩阵 且有相同的特征根 则与既相似又合同 ABnAB 证明 设与的特征根均为 由于与阶实对称矩阵 一定存在一个阶正交矩AB n 21 Ann 阵 Q 使得同时 一定能找到一个正交矩阵使得 n AQQ 2 1 1 P 从而有 n BPP 2 1 1 BPPAQQ 11 将上式两边左乘和右乘 得P 1 P 1 1 1 1 111 QPAQPQPAQPPQB 由于 T Q QE T P PE 1 P PE 有 所以 是正交矩阵 由定 1111111 TTT T QPQPPQ QPPEPPPE 1 PQ 理知与相似 AB 定理定理 3 3 33 3 3 若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵 则与相似且合同 nABABBA 证明 不妨设是正交矩阵 则可逆 取 U A 有 则AA 111 UABUA ABAA ABABA 与相似 又知是正交阵 由合同矩阵的定义知与既相似又合同 ABBAAABBA 定理定理 3 3 43 3 4 若与相似且又合同 与相似也合同 则有与 既相似又合ABCD C A 0 0 D B 0 0 同 证明 因为与 与相似 则存在可逆矩阵 使 令ABCD 1 P 2 P 11 1122 P APB P CPD 则且 故与相 1 2 0 0 P P P 1 11 1 2 0 0 P P P 1 00 00 AB PP CD C A 0 0 D B 0 0 似 又因为与合同 与合同 故存在可逆矩阵 ABCD 12 Q Q 122 TT Q AQB Q CQD 令 1 2 0 0 Q Q Q 而 1 2 0 0 T T T Q Q Q 11 11 22 22 000000 000000 TT T TT QQAAQQ A QQ QQCCQQ C 精品文档 77欢迎下载 11 22 00 00 T T BQ AQ DQ CQ 故与合同 C A 0 0 D B 0 0 4 矩阵的等价 合同和相似在实际问题中的应用 4 14 1 矩阵等价的应用矩阵等价的应用 例例 4 4 14 4 1 试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组的一种解法 0 m n AX 解解 设A的秩等于r 存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q 使 于是线性方程组 0 00 r E PAQ 可化为0AX 11 0 0 00 r E PQ X 记 则原方程组等价于 1 21 n y y YQ X y 1 2 0 0 00 r n y yE y 即 令 容易验证都是 12 0 r yyy 121 rrn Qq qq qq 12 rrn qqq 的解 从而它们构成的一基础解系 0AX 0AX 下面是具体的操作过程 首先构造矩阵 n m nn A B E 然后对矩阵B作如下的初等变换 对A 即B的前m行 作初等的行变换 对B作初等的列变换 则经过有限次上述的初等变换后 B可变为 精品文档 88欢迎下载 0 00 r n E A B E Q 此时Q的后个列向量构成的一基础解系 nr 0AX 试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组的一种解法 m n AXb 解解 下面仅给出具体的操作过程 至于其原理可按例 19 的方式得到 首先构造矩阵 1 0 n m nn Ab B E 然后对矩阵B作如下形式的初等变换 对B的前m行作行的初等变换 A b 对B的前n列作列的初等变换 n A E 则经过有限次上述变换后 B可变为 0 00 0 0 r n E Abb B E Q 记 此时可得如下的结论 有解当且仅当 1 1 r r m b b b b b 121 rrn Qq qq qq AXb 当时 是的一个 12 0 rrm bbb 12 0 rrm bbb 1 122rr bqb qb q AXb 特解 是所对应的齐次线性方程组的一基础解系 12 rrn qqq AXb 0AX 试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法 解解 设A是个n阶可逆阵 A的秩等于n 存在可逆阵P和Q 使 进PAQE 11 AP Q 而 这给出了求逆矩阵的一种方法 1 AQP 首先构造矩阵 22 0 nn AE B E 然后对B进行如下形式的初等变换 精品文档 99欢迎下载 对B的前n行进行初等的行变换 A E 对B的前n列进行初等的列变换 A E 则经过有限次上述变换后 B可变为 00 AEEP B EQ 由此求得 1 AQP 4 24 2 矩阵相似的应用矩阵相似的应用 例例 4 2 14 2 1 判断矩阵 是否相似 126 103 114 A 320 210 111 C 解 对 的特征矩阵 分别作初等变换可得 ACEA EC EA 126 13 114 2 100 010 00 1 EC 320 210 111 2 100 010 00 1 所以 有相同的初等因子 所以 相似 AC1 2 1 AC 4 34 3 矩阵合同的应用矩阵合同的应用 例例 4 3 14 3 1 设 不难验证 即矩阵 A B 1 2 1 2 1 1 A 4 3 0 01 B 10 2 1 1 CBACCT 合同 但 A 的特征值为和 B 的特征值为 1 和 相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系 2 1 2 3 4 3 即相似或合同的两矩阵分别有相同的秩 另外 在一定条件下 两者是等价的 若矩阵 A B 正交相 似时 则它们既是相似的又是合同的 本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的 例例 4 3 24 3 2 已知 试判断 A B C 中哪些矩 阵 400 040 004 A 400 140 014 A 200 022 022 A 相似 哪些矩阵合同 解 矩阵 A 的秩和矩阵 B C 的秩不等 故 A 不可能与 B C 相似或合同 只有讨论 B C 了 A 的秩 为 3 而 B C 的秩为 2 故 A 和 B C 既不相似又不合同 又 B 的迹是 8 而 C 的迹是 6 不相等 故 B 和 C 不相似 最后 C 是对称矩阵 而 B 不是 所以 B 和 C 也不合同 精品文档 1010欢迎下载 所以 矩阵 A B C 相互之间既不相似又不合同 4 4 三种关系在概率统计中的应用 例例 4 4 14 4 1 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明 已经使用本公司的产品客 户中有 60 表示仍回继续购买该公司产品 在尚未使用该产品的被调查者中 25 的客户表示将购买 该产品 目前该产品在市场的占有率 60 能否预测 n 年后该产品市场占有状况 解 设第 i 年购买该公司产品的客户为 不购买该公司产品的客户为 则有 i x i y 写成矩阵的形式 其中 令 iii yxx25 06 0 1 i i i i y x y x 75 0 4 0 25 0 6 0 1 1 4 0 6 0 0 0 y x 则有 由 i i i y x U 75 04 0 25 06 0 P 01 PUU 0 2 2 UPU 0 UPU n n 得 P 的特征值 1 0 35 分别解0 i 1 2 得到相 35 0 1 PE 1 2 xPE 应的特征向量为 令 则 于是 T 8 5 1 T 1 1 2 18 15 T 58 11 13 1 1 T 则 当 35 0 0 01 1PT T 1 35 0 0 01 TTP 4 0 6 0 58 11 35 0 0 01 18 15 13 1 n n U n 5 时 计算 5 U 641 0 385 0 这说明该产品市场占有率将由 0 6 下降到 0 385 因此该公司应根据这份预测报告分析原因 采取 措施 才能保持并提高是市产场占有率 例例 4 4 24 4 2 某公司对职工进行分批脱产培训 现有在岗职工 8000 人 脱产培训 2000 人 计划每年从 在岗职工中抽调 30 的人参加脱产培训 而在培训人员中让 60 的人结业回到工作岗位上 设年后n 在岗职工于脱产培训人数分别为 记为向量 若职工总人数不变 nn xy n n x y 求与的关系式 并写成矩阵形式 1 1 n n x y n n x y 1 1 n n x y n n x A y 求 且当充分大时 求在岗职工人数与脱产培训人数之比 n n x y n 解 1 11 0 70 6 0 30 4 nnnnnn xxyyxy 得 1 1 1 n n x y 0 70 6 0 30 4 n n x y n n x A y 精品文档 1111欢迎下载 2 由 1 式可得 其中 n n x y n n n x A y 00 8000 2000 xy 为计算 先求 n n x y n A 由 EA 0 70 6 0 1 1 0 30 4 对于 0 1 解 0 1 x 0 得基础解系 1 EA 1 1 T 对于解 得基础解系 令 P 则 2 1 0EA x 2 1 T 12 11 1 12 1 113 P 1 0 10 01 P AP 11 0 10100 0101 n n n APPPP 1212100 1 1111301 n 则 0 00 0 00 2 10 2 1 10 1 3 1 10 12 10 nn nn nn n xxxy A yyxy 所以当充分大时 n 0000 21 2 1 33 nn xyxyxy 例例 4 4 34 4 3 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明 已经使用本公司的产品客 户中有 60 表示仍回继续购买该公司产品 在尚未使用该产品的被调查者中 25 的客户表示将购买 该产品 目前该产品在市场的占有率为 60 能否预测年后该产品市场占有状况 n 解 设第 年购买该公司产品的客户为 不购买该公司产品的客户为 则有i i x i y 写成矩阵的形式 1 0 60 25 iii xxy 其中 令 1 1 0 60 25 0 40 75 ii ii xx yy 0 0 0 6 0 4 x y i i x y i 0 60 25 U P 0 40 75 则有由 10200 n UU UUP U 2 n PP U 得的特征值分别解得到相E P 1 0 35 P 12 10 35 iE P x 0 i 1 2 应的特征向量为 则 2 5 8 1 1 T T 1 51 81 T 令 1 11 1 8513 T 于是 则 1 10 00 35 T PT 1 10 00 35 n PTT 精品文档 1212欢迎下载 当时 计算 5110110 6 1 8100 35850 413 n n U 5n 5 U 0 385 0 641 这说明该产品市场占有率将由 0 6 下降到 0 385 因此该公司应根据这