高数解析几何复习试题及答案

东华 李 1 解析几何部分复习题及答案 1 设kjbjia 2 则 ba 11 2 已知a为非零向量 3 2 的夹角为与ba b 求 x axba lim x 0 2 2 2 22 2 0000 1 2 2 2 lim lim limlim xxxx bxx ab abxaabxa abxxa ba x x abxax abxax abxa 2 0 4 2 lim1 2 x xx a x a 3 求与三点 123 1 1 2 3 3 1 3 1 3 MMM 决定的平面垂直的单位向量 17 3 2 2 17 4 设ba 为非零向量 且向量a 在向量b 上的投影等于向量b 在向量a 上的投影 问向量 ba 有什么关系 a ba b ab ba 或0a b 5 设3 22 ba 向量a 与向量b 的夹角为 4 baADbaAB 3 25 试 求以ADAB 为边的平行四边形的对角线的长度 222 6 6 6 225 15ACABADabababAC 222 45 593 593BDABADabBD 6 在 yoz 面中求向量p 使它垂直于向量 12 3 4 a 且与a有相同的模 设 0 py z 0p a pa 5 23 9 0 55 p 7 已知非零向量ba 不共线 令bamc 其中 m 为实数 证明当c 最小时ac 2 cmabmab 222 2 mama bb 东华 李 2 当 2 2 a b m a 时c 最小 此时c a 22 0maa ba ba b 8 已知两点 1 2 4 1 M和 2 0 3 2 M 计算向量 21M M的模 方向余弦和方向角 12 121 2coscoscos 222 M M 23 343 9 直线 2 4 1 3 1 2 zyx 与平面062 zyx的交角为 6 10 平面43 zyx与平面1 zyx的夹角为 33 arccos 11 11 平面通过 12 0 0 0 0 MaaMa a a O 求该平面与平面 xoy 的交角 0 a 2222 11 22 0 2 1 1 2 OMaaOMa a aOMOMaaaa 12 1 1 2 0 0 1 nn 夹角为 2 rccos 6 a 12 讨论直线 3 6 5 5 2 zyx L和平面125915 zyx 的位置关系 夹角为 0 且直线不在平面内 故直线与平面平行 13 过 1 2 1 及 7 2 5 且与平面01 yx垂直的平面方程为 设 12 1 2 1 5 2 7 MM 1 12 4 1 1 2 1 1 2 M Mn 所求平面法向量即垂直 1 1 2 又垂直于 1 1 1 2 n 1 1 1 2 2 1 1 1 n 故可取所求平面法向量为 2 1 1 1 n 平面方程为0 xyz 14 求经过直线2 32 1 z yx 且与平面22 zyx垂直的平面方程 240 xyz 15 求过点 2 1 0 与直线 21 1 1 1zyx 相交且垂直的直线方程 12 312 xyz 16 过 0 0 0而且与直线 02 12 zyx zyx 平行的直线方程为 东华 李 3 135 xyz 17 求过点 2 3 1 P且与两直线 04 0 1 zyx yx L和 02 013 2 zy yx L相交的直 线方程 设通过 L1和 P 的平面方程为4 0 xyzxy 将 2 3 1 P代入方程得 4 95200 5 xyz 设通过 L2和 P 的平面方程为31 2 0 xyyz 将 2 3 1 P代入方程得 52590 xyz 所求直线为两个平面的交线 2 95200 2590 xyz L xyz 18 在直线方程 p z n y m x 6 5 2 4 中 pnm 各取何值时 直线与坐标平面yozxoy 都平 行 2 0 6mnp 19 求 球 面1122 222 zxzyx的 与 平 面1 zyx平 行 且 与 直 线 2 3 11 zyx 垂直的直径所在的直线方程 222 1 1 13xyz 球心为 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 s 直线的方程为 11 132 xyz 20 求点 0 2 1 0 P在平面012 zyx上的投影点的坐标 522 333 21 求点 1 0 0P在直线 3 3 21 1 zyx 上投影点的坐标 13 1 22 22 2 1 1 P到平面122 zyx的距离为 4 3 23 求点 1 0 1 0 P到直线 13 3 zyx yx L的距离 东华 李 4 求出一个线上点 1 4 0P 直线的方向向量为 1 1 2s 093 3 P Ps d s 24 三角形ABC 的三个顶点分别为 2 1 2 1 1 3 0 0 1 CBA 求 1 过 A B C 三点的平面的法向量 2 求三角形 ABC 的面积 3 求点 C 到边 AB 的高 1 1 5 3nABAC 2 135 22 SABAC 3 高 210 6 25 求直线 110 1 zyx L 绕z轴旋转生成的旋转曲面方程 设曲面上任意一点为 M x y z 过 M 做平面垂直于 z 轴交直线于点 11 Mx y z M 在 直线上所以 11 1 xyz 两个点到 z 轴距离相等 22222 11 1xyxyz 故所求曲 面方程为 222 1xyz 26 设圆柱面 S 的轴线是 2 2 2 1 1 zyx L 点 0 1 1 0 p在圆柱面 S 上 求圆柱面 S 的方程 设圆柱面上任一点为 P x y z L 上一点 0 1 2 s 1 2 2 M 0 2 1 1 MPx y zMPxyz P0 P 到 L 距离相等所以 0 MPsMPs 22 0 MPsMPs 222 222 22 21 32yzxzxy 27 讨论平面022 mzyx与球面022628 222 zyxzyx间各种相 互位置关系 222 4 1 3 4xyz 球心为 4 1 3 2R 4264 33 mm d 4 1 2 210 3 m m 时相交 4 2 2 2 3 m m 或 m 10 时相切 c 4 3 2 2 3 m m 或 10 时相离 28 若球面过点 3 3 1 1 M和 0 2 5 2 M且球心在直线 332 12 zyx zyx 上 求它的方程 东华 李 5 直 线 化 为 对 称 式 方 程 65 715 xyz 球 心 在 直 线 上 故 可 设 球 心 坐 标 为 76 55 Ottt O 到 M1 M2距离相等推出 t 1 进而 R 5 222 1 1 25xyz 29 求直线 1 1 zyx zyx 在平面0 zyx上的投影直线 作平面束1 1 0 xyzxyz 1 1 1 10 xyz 1 1 1 1 1 1 0 1 10yz 投影直线为 10 0 yz xyz 30 把直线 012 0322 zyx zyx 投影到三个坐标面上 分别求出三条投影直线的方程 xoy 面上投影直线 利用方程组的两个方程消去 z 与 z 0 联立得 4350 0 xy z yoz 面上投影直线 5410 0 yz x xoz 面上投影直线 5370 0 xz y 31 求两个球面的交线 111 1 22 2 222 zyx zyx 在 xOy 面上的投影曲线方程 22 220 0 xyy z 32 求过点 4 0 1 且平行于平面01043 zyx 又与直线 2 31 z yx 相交的 直线的方程 14 161928 xyz 或 1043220 3410 xyz xyz 33 证明曲线 zyx zyx 24 016122 22 是两相交直线 并求其对称式方程 消 z 得 22 2 4 3 240280 xyxyxy 东华 李 6 212160212160 240280 xyzxyz xyxy 42 2116 xyz 21 218 xyz 两直线共面不平行 所以相交 34 写出曲线 0 1 222 yx zyx 的参数方程 yx 带入 222 1xyz 得 22 21xz 2 cos 2 2 cos 2 sin xt yt zt 35 已知空间曲线 012 0 2 22 zyx zyx 写出该曲线的参数方程 并求以该曲线为准线 母线垂直于yoz平面的柱面方程 消去 x 得 222 15 22 yz 155 coscos2 424 15 sin 22 5 sin 2 xtt yt zt 36 直线 2 1 1