趣味数学专题讲座

精品文档 1欢迎下载 专题讲座专题讲座 初中数学数与代数初中数学数与代数 数与代数在这一部分内容主要涉及到数与代数在这一部分内容主要涉及到 6 6 个话题 前三个是个话题 前三个是 和内容有关系的 第一个话题是数与式 第二个话题方程与不和内容有关系的 第一个话题是数与式 第二个话题方程与不 等式 第三个话题是函数 另外三个话题 是基于知识之上侧等式 第三个话题是函数 另外三个话题 是基于知识之上侧 重培养学生的一些方面的能力 一是运算能力 一是符号意识 重培养学生的一些方面的能力 一是运算能力 一是符号意识 再一个是模型思想 再一个是模型思想 话题一话题一 数与式数与式 一 重点一 重点 关于数与式的主要内容 包括有理数 实数 代数式和二次关于数与式的主要内容 包括有理数 实数 代数式和二次 根式 代数式主要是整式和分式 这一部分内容的重点应当是根式 代数式主要是整式和分式 这一部分内容的重点应当是 强调理解数的意义 建立数感 理解代数式的表述功能 建立强调理解数的意义 建立数感 理解代数式的表述功能 建立 符号感 同时理解运算的意义 强调运算的必要性 符号感 同时理解运算的意义 强调运算的必要性 二 内容的变化二 内容的变化 一 降低了对于实数运算的要求 比如 一 降低了对于实数运算的要求 比如 会用平方运算求会用平方运算求 某些非负数的平方根与算术平方根 用立方运算求某些数的立某些非负数的平方根与算术平方根 用立方运算求某些数的立 方根方根 转化为转化为 会用平方运算求百以内整数的平方根 会用立方会用平方运算求百以内整数的平方根 会用立方 运算求百以内整数 对应的负整数 的立方根运算求百以内整数 对应的负整数 的立方根 二 取消了对 二 取消了对 有效数字有效数字 的要求 但重视学生的估算能力 的要求 但重视学生的估算能力 精品文档 2欢迎下载 要求学生理解近似数 例如要求学生理解近似数 例如 能用有理数估计一个无理数的大能用有理数估计一个无理数的大 致范围致范围 了解近似数 在解决实际问题中 能用计算器进行了解近似数 在解决实际问题中 能用计算器进行 近似计算 并按问题的要求对结果取近似值近似计算 并按问题的要求对结果取近似值 三 与实验稿比较 加强了对二次根式的要求 比如对二 三 与实验稿比较 加强了对二次根式的要求 比如对二 次根式的化简 分母有理化 但二次根式的运算仅仅限于根号次根式的化简 分母有理化 但二次根式的运算仅仅限于根号 下是数的情况 下是数的情况 四 在具体情境中理解字母表示数的意义 例如要求 四 在具体情境中理解字母表示数的意义 例如要求 借借 助现实情境了解代数式 进一步理解用字母表示数的意义 助现实情境了解代数式 进一步理解用字母表示数的意义 五 注重代数式的实际应用和实际意义 例如要求 五 注重代数式的实际应用和实际意义 例如要求 能分能分 析简单问题中的数量关系 并用代数式表示 析简单问题中的数量关系 并用代数式表示 以及以及 会求代数式会求代数式 的值 能根据特定的问题查阅资料 找到所需要的公式 并会的值 能根据特定的问题查阅资料 找到所需要的公式 并会 代入具体的值进行计算 代入具体的值进行计算 六 对于代数式的意义 除了关注数学意义外 还关注现 六 对于代数式的意义 除了关注数学意义外 还关注现 实的意义 实的意义 七 强调几何直观的作用 七 强调几何直观的作用 八 知道 八 知道 a a 的含义 这里 的含义 这里 a a表示有理数 表示有理数 三 价值及作用三 价值及作用 数与式这部分内容 在代数当中甚至在整个数学领域当中 数与式这部分内容 在代数当中甚至在整个数学领域当中 都是非常重要的 具体的来讲 有下面的几点 都是非常重要的 具体的来讲 有下面的几点 精品文档 3欢迎下载 第一点 通过数与式的学习 使学生体会到数学与现实生活第一点 通过数与式的学习 使学生体会到数学与现实生活 的密切联系 感受到数学的价值 能够培养学生对数学学习的的密切联系 感受到数学的价值 能够培养学生对数学学习的 兴趣 增强学生的应用意识 兴趣 增强学生的应用意识 关于数学和生活的联系 以及培养学生具有应用意识 可以关于数学和生活的联系 以及培养学生具有应用意识 可以 举如下的例子 在我们学习数轴的时候 学生通过观察温度计 举如下的例子 在我们学习数轴的时候 学生通过观察温度计 天平的标尺以及常见的两个相反方向行走的例子 能够从这些天平的标尺以及常见的两个相反方向行走的例子 能够从这些 现象当中得到数轴 抽象出数轴的这样一个概念 接下来我们现象当中得到数轴 抽象出数轴的这样一个概念 接下来我们 就可以利用数轴联系数学内部的一些知识 即应用于数学内部 就可以利用数轴联系数学内部的一些知识 即应用于数学内部 同时数轴作为一种工具 它又能很好地帮助学生理解其他生活同时数轴作为一种工具 它又能很好地帮助学生理解其他生活 中的问题 比如时区问题 化学中的一些常见的问题等等 中的问题 比如时区问题 化学中的一些常见的问题等等 这就是我们说的核心的概念 几何直观 从温度计抽象出数这就是我们说的核心的概念 几何直观 从温度计抽象出数 轴来 同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念 学习有轴来 同时数轴又帮助学生理解有理数及实数的概念 学习有 理数之后数轴还不能被充满 但是学了实数之后这个数轴就被理数之后数轴还不能被充满 但是学了实数之后这个数轴就被 充满了 这样直观的一个工具 对于学生来理解实数是非常有充满了 这样直观的一个工具 对于学生来理解实数是非常有 帮助的 帮助的 第二点 我们来谈谈关于数的概念和运算 代数式的建立 第二点 我们来谈谈关于数的概念和运算 代数式的建立 以及推导与探究性的活动 有利于学生形成数感 符号感的问以及推导与探究性的活动 有利于学生形成数感 符号感的问 题 学习数的概念和数的运算 除了学生会运算之外 数感和题 学习数的概念和数的运算 除了学生会运算之外 数感和 符号感也都是在这个过程当中逐渐发展起来的 而且通过学习符号感也都是在这个过程当中逐渐发展起来的 而且通过学习 数的概念和数的运算 不仅能够提高学生的运算能力 同时也数的概念和数的运算 不仅能够提高学生的运算能力 同时也 能够发展学生的推理能力 对于提高学生的思维水平都是非常能够发展学生的推理能力 对于提高学生的思维水平都是非常 精品文档 4欢迎下载 重要的载体 如 对于一般化的处理方法 因为字母表示数 重要的载体 如 对于一般化的处理方法 因为字母表示数 实际上就是把数的概念和运算进行了一般化的处理 这样就把实际上就是把数的概念和运算进行了一般化的处理 这样就把 学生的思维水平提高到抽象化的水平 同时也会逐渐通过式的学生的思维水平提高到抽象化的水平 同时也会逐渐通过式的 建立以及对式的进一步学习 逐步形成模型的思想 建立以及对式的进一步学习 逐步形成模型的思想 我们在学习幂的运算这一部分内容时 教师们通常是让学生我们在学习幂的运算这一部分内容时 教师们通常是让学生 在原有的一些知识基础之上 猜想观察猜想出幂的运算规律 在原有的一些知识基础之上 猜想观察猜想出幂的运算规律 从数的计算开始 从数的计算开始 10103 3 10102 2 1010 5 5 10 10 3 23 2 a a 4 4 a a 3 3 a a 7 7 a a4 3 4 3 a a m m a a n n a a m m n n 逐步地提升到用字母来表示 再将逐步地提升到用字母来表示 再将 这个公式应用于数学问题 这样的话 学生经历了从特殊到一这个公式应用于数学问题 这样的话 学生经历了从特殊到一 般 再从一般到特殊这样一个过程 体会了这样一个数学思想 般 再从一般到特殊这样一个过程 体会了这样一个数学思想 但这个过程我想其实充分体现了符号对数学学习的意义 但这个过程我想其实充分体现了符号对数学学习的意义 我们观察幂的运算公式 会发现幂之间所做的运算 如果幂我们观察幂的运算公式 会发现幂之间所做的运算 如果幂 之间做的是乘除运算 到了指数上它就会变为加减运算 运算之间做的是乘除运算 到了指数上它就会变为加减运算 运算 等级降了一级 幂做乘方的运算 在指数上就变为了乘法的运等级降了一级 幂做乘方的运算 在指数上就变为了乘法的运 算 其实也是降了一级 而学生无论通过观察 还是在教师的算 其实也是降了一级 而学生无论通过观察 还是在教师的 适当引导下 他都能够认识这样的规律 产生这样的意识 这适当引导下 他都能够认识这样的规律 产生这样的意识 这 正是学生积累了一定的符号感 符号感的获得一方面基于对算正是学生积累了一定的符号感 符号感的获得一方面基于对算 理的理解 也是基于学生不断的归纳和类比和各种方法的运用 理的理解 也是基于学生不断的归纳和类比和各种方法的运用 就可以逐步获得这样一种意识 就可以逐步获得这样一种意识 精品文档 5欢迎下载 这个例子挺好 里面就体现了符号表示的一般化作用 因为这个例子挺好 里面就体现了符号表示的一般化作用 因为 在前面通过具体的数字产生了一种猜想 有可能这个同底的幂在前面通过具体的数字产生了一种猜想 有可能这个同底的幂 做乘法是指数相加 然后再根据指数幂的意义进行计算 就得做乘法是指数相加 然后再根据指数幂的意义进行计算 就得 到一个一般化结论 所以这个过程中除了有符号感 也有合情到一个一般化结论 所以这个过程中除了有符号感 也有合情 推理的成分 因此我们认为 这部分内容不仅能够发展学生的推理的成分 因此我们认为 这部分内容不仅能够发展学生的 运算能力 而且也发展了学生的符号感还有推理能力 运算能力 而且也发展了学生的符号感还有推理能力 第三点价值 体现在数学里面 我们经常看到一些对立统一第三点价值 体现在数学里面 我们经常看到一些对立统一 思想 例如在一些概念 一些量中我们会发现 正数与负数 思想 例如在一些概念 一些量中我们会发现 正数与负数 精确与近似 还有已知与未知之间的转换等等这些概念中都蕴精确与近似 还有已知与未知之间的转换等等这些概念中都蕴 含着统一思想 这些内容的学习确实有助于学生提高他们用唯含着统一思想 这些内容的学习确实有助于学生提高他们用唯 物主义的思想和科学的观点来认识客观事件的能力 而且也体物主义的思想和科学的观点来认识客观事件的能力 而且也体 现模型思想 比如正数与负数 在生活中我们表示东与西就用现模型思想 比如正数与负数 在生活中我们表示东与西就用 正数与负数 所以正数负数它不单纯就是我们所学的计算等等 正数与负数 所以正数负数它不单纯就是我们所学的计算等等 最后它已经成为表示具有相反意义的量的一个数学模型 最后它已经成为表示具有相反意义的量的一个数学模型 话题二话题二 方程与不等式方程与不等式 一 重点一 重点 方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容 一个就方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容 一个就 是关于方程的 比方说一元一次方程 二元一次方程组 一元是关于方程的 比方说一元一次方程 二元一次方程组 一元 二次方程 可化为一元一次方程的分式方程 不等式主要是一二次方程 可化为一元一次方程的分式方程 不等式主要是一 元一次不等式 和一元一次不等式组 元一次不等式 和一元一次不等式组 精品文档 6欢迎下载 方程和不等式这个话题里面 这部分内容一个我们强调方程方程和不等式这个话题里面 这部分内容一个我们强调方程 和不等式的模型思想 也就是说如何从现实生活中去把问题进和不等式的模型思想 也就是说如何从现实生活中去把问题进 行抽象 用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来 然后进行抽象 用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来 然后进 行讲学 最后运用到现实问题 所以这一部分内容就是一个重行讲学 最后运用到现实问题 所以这一部分内容就是一个重 点 还是突出它的模型思想 当然另外一个部分 也是我们在点 还是突出它的模型思想 当然另外一个部分 也是我们在 这部分内容所突出的一个重点 那就是如何解这个方程和不等这部分内容所突出的一个重点 那就是如何解这个方程和不等 式 式 二 内容的变化二 内容的变化 在方程部分变化的内容为 在方程部分变化的内容为 一 与实验稿相比 有些内容适当增加 如一元二次方程 一 与实验稿相比 有些内容适当增加 如一元二次方程 的根与系数的关系 但不要求应用这个关系解决其他问题 了的根与系数的关系 但不要求应用这个关系解决其他问题 了 解就可以了 不要深挖洞 解就可以了 不要深挖洞 二 三元一次方程组作为选学内容 二 三元一次方程组作为选学内容 三 一些具体要求 如一元二次方程只要求解数字系数的 三 一些具体要求 如一元二次方程只要求解数字系数的 一元二次方程 分式方程只要求解可化为一元一次方程的分式一元二次方程 分式方程只要求解可化为一元一次方程的分式 方程 并且方程中的分式不超过两个 方程 并且方程中的分式不超过两个 四 删除了部分内容 如由一个二元一次方程和一个二元 四 删除了部分内容 如由一个二元一次方程和一个二元 二次方程组成的方程组的解法 由一个二元二次方程和一个可二次方程组成的方程组的解法 由一个二元二次方程和一个可 以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法 这是以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法 这是 与大纲相比发生的变化 与大纲相比发生的变化 精品文档 7欢迎下载 在不等式部分变化的内容为 在不等式部分变化的内容为 一 强调结合具体问题 在具体情境中探索不等式的意义 一 强调结合具体问题 在具体情境中探索不等式的意义 而且强调了过程目标而且强调了过程目标 探索探索 强调对于不等式组解的几何意义 强调对于不等式组解的几何意义 的理解 的理解 二 删除了一元一次不等式组的应用 二 删除了一元一次不等式组的应用 三 解不等式中对相关的内容作出了限定 如能解数字系 三 解不等式中对相关的内容作出了限定 如能解数字系 数的一元一次不等式 数的一元一次不等式 三 价值及作用三 价值及作用 这里想突出方程与不等式的三个主要的作用 第一个是模型这里想突出方程与不等式的三个主要的作用 第一个是模型 思想 这点非常重要 另外涉及到的一点就是化归的思想方法 思想 这点非常重要 另外涉及到的一点就是化归的思想方法 我们解方程组等等一系列过程都涉及到化归 第三点 这部分我们解方程组等等一系列过程都涉及到化归 第三点 这部分 内容对后续学习是一个非常重要的内容 因此我们说它在整个内容对后续学习是一个非常重要的内容 因此我们说它在整个 数与代数里面有着非常重要的作用和价值 数与代数里面有着非常重要的作用和价值 首先 方程与不等式的学习 有助于学生形成建模思想 首先 方程与不等式的学习 有助于学生形成建模思想 方程的模型思想主要是指根据具体问题中的数量关系 经过方程的模型思想主要是指根据具体问题中的数量关系 经过 必要的抽象 提炼出未知数与已知数之间具有的等量关系 列必要的抽象 提炼出未知数与已知数之间具有的等量关系 列 出方程 组 出方程 组 在列出方程后 再运用方程 组 求解的各种方 在列出方程后 再运用方程 组 求解的各种方 法 求出方程 组 的解 进而解决问题 从而体会方程 组 法 求出方程 组 的解 进而解决问题 从而体会方程 组 是刻画现实世界的一个有效的数学模型 是贯穿方程与方程组是刻画现实世界的一个有效的数学模型 是贯穿方程与方程组 的一条主线 的一条主线 精品文档 8欢迎下载 相等相等 与与 不等不等 是数学中两种基本的数量关系 二者相辅相是数学中两种基本的数量关系 二者相辅相 成 形成对数量关系的完整认识 是进一步学习数学不可缺少成 形成对数量关系的完整认识 是进一步学习数学不可缺少 的基础知识和有效工具 也是分析和解决一些实际问题的重要的基础知识和有效工具 也是分析和解决一些实际问题的重要 方法 方法 说到模型思想 我们在教学当中曾经用到这样一个案例 一说到模型思想 我们在教学当中曾经用到这样一个案例 一 位同学小明 如果给出了他的走路速度和跑步速度 走路平均位同学小明 如果给出了他的走路速度和跑步速度 走路平均 速度为速度为 6km h6km h 跑步平均速度为 跑步平均速度为 10km h10km h 又给出了从家到学 又给出了从家到学 校的距离为校的距离为 2km2km 有了这样的条件 可以提出什么样的一些问 有了这样的条件 可以提出什么样的一些问 题呢 在和同学们讨论之后 学生反应非常热烈 这里我们拿题呢 在和同学们讨论之后 学生反应非常热烈 这里我们拿 出一个例子跟老师们分享 有的学生提出了这样一个补充条件 出一个例子跟老师们分享 有的学生提出了这样一个补充条件 说他走在路上 走着走着突然发现自己有东西落在家里了 于说他走在路上 走着走着突然发现自己有东西落在家里了 于 是就赶紧跑回去 跑回家去取东西 接下来又跑到学校 跑到是就赶紧跑回去 跑回家去取东西 接下来又跑到学校 跑到 学校发现所用的时间和走到学校的时间是一样 也就是说到校学校发现所用的时间和走到学校的时间是一样 也就是说到校 的时间是没有变化 那问小明是在什么地方或者走了多久发现的时间是没有变化 那问小明是在什么地方或者走了多久发现 自己落了东西 自己落了东西 学生在提出这样一个问题之后 要想确定出这个问题的模型 学生在提出这样一个问题之后 要想确定出这个问题的模型 首先就要考虑 小明走到学校到底要花多长时间 通过计算得首先就要考虑 小明走到学校到底要花多长时间 通过计算得 出用出用 2020 分钟 接下来在这次上学的过程中 到底发生了一些分钟 接下来在这次上学的过程中 到底发生了一些 什么样的事情 先走了一段路 接下来往回折返跑回去 相当什么样的事情 先走了一段路 接下来往回折返跑回去 相当 于从家又跑到了学校 这个过程当中学生们通过分析通过画图于从家又跑到了学校 这个过程当中学生们通过分析通过画图 通过各种各样的方法 发现他跑的这一段路程实际上走路的路通过各种各样的方法 发现他跑的这一段路程实际上走路的路 精品文档 9欢迎下载 程多出来的就是家到学校的距离 即程多出来的就是家到学校的距离 即 2 2 公里 如果设未知数 公里 如果设未知数 我们就可以利用等量关系列出方程 我们就可以利用等量关系列出方程 设设 t t 分钟之后返回 用分钟之后返回 用 2 2 公里这个路程作为等量关系可以公里这个路程作为等量关系可以 列出这样的方程 列出这样的方程 进而解决问题 进而解决问题 当然学生还可以改变条件 或提出各种各样的补充条件 在当然学生还可以改变条件 或提出各种各样的补充条件 在 这样一个问题的基础上 寻找这样一个问题的基础上 寻找 等量等量 不等不等 这样不同的关系 这样不同的关系 建立各种各样的模型 用方程或不等式等多种方法来表述问题 建立各种各样的模型 用方程或不等式等多种方法来表述问题 解决问题 这个案例我想供老师们参考 希望能给大家一些启解决问题 这个案例我想供老师们参考 希望能给大家一些启 发和思考 发和思考 关于列方程解决实际运用问题 有很多老师反应比较难 找关于列方程解决实际运用问题 有很多老师反应比较难 找 等量关系方面学生就比较有困难 找出等量关系了方程却列不等量关系方面学生就比较有困难 找出等量关系了方程却列不 出来 像刚才的问题 有没有什么好的建议 即怎么使学生能出来 像刚才的问题 有没有什么好的建议 即怎么使学生能 够在分析实际问题的过程中抓住主要的关系 怎么能够读懂题够在分析实际问题的过程中抓住主要的关系 怎么能够读懂题 目 怎么能够提高他们分析问题和解决问题的能力 目 怎么能够提高他们分析问题和解决问题的能力 这确实是老师们比较头疼的一个问题 学生在面对数学和生这确实是老师们比较头疼的一个问题 学生在面对数学和生 活联系的时候 往往很难直接找到它们之间的联系建立模型 活联系的时候 往往很难直接找到它们之间的联系建立模型 实际上学生在生活当中 本身就应用着数学 经常面对数学 实际上学生在生活当中 本身就应用着数学 经常面对数学 而教师们在设计问题或者说设计教学的时候 有的时候会忽略而教师们在设计问题或者说设计教学的时候 有的时候会忽略 学生和实际数学之间的联系 如果说利用刚才这样的案例 给学生和实际数学之间的联系 如果说利用刚才这样的案例 给 学生一个比较开放性的平台 即给出的条件是不充足的 你再学生一个比较开放性的平台 即给出的条件是不充足的 你再 补充其他条件 这样 问题也许会比较简单 也许会比较复杂 补充其他条件 这样 问题也许会比较简单 也许会比较复杂 精品文档 10欢迎下载 也许有解也许没有解 不同的阶梯性补充 可能对水平存在差也许有解也许没有解 不同的阶梯性补充 可能对水平存在差 异的同学来说 确实是有很好的帮助 异的同学来说 确实是有很好的帮助 有经验的教师也会发现 在解决方程与不等式建立模型或者有经验的教师也会发现 在解决方程与不等式建立模型或者 说是列方程解决问题的时候 往往是在教师的引导下把问题简说是列方程解决问题的时候 往往是在教师的引导下把问题简 化 指出主干让学生去抓住问题当中最基础的这样一个关系 化 指出主干让学生去抓住问题当中最基础的这样一个关系 这样会使问题变得简单 如果说一上来问题就比较复杂的话 这样会使问题变得简单 如果说一上来问题就比较复杂的话 往往会挫伤学生的积极性 并且再处理起来 也确实无从下手 往往会挫伤学生的积极性 并且再处理起来 也确实无从下手 第二方面 当学生学方程和不等式的时候 对形成化归的思第二方面 当学生学方程和不等式的时候 对形成化归的思 想非常有帮助 我们知道 化归就是把你原来不会的问题转化想非常有帮助 我们知道 化归就是把你原来不会的问题转化 成你能够解决的问题 把复杂的问题变成一个简单的问题 我成你能够解决的问题 把复杂的问题变成一个简单的问题 我 们在求解方程的过程当中 我们经常用到合并同类项 移项去们在求解方程的过程当中 我们经常用到合并同类项 移项去 括号去分母等等 这样一些方法来解决一元一次方程 以及可括号去分母等等 这样一些方法来解决一元一次方程 以及可 化为一元一次方程的分式方程 这是老师都比较熟悉的这样一化为一元一次方程的分式方程 这是老师都比较熟悉的这样一 个解方程的步骤 再一个当学二元一次方程组求解的时候 就个解方程的步骤 再一个当学二元一次方程组求解的时候 就 可以通过消元 即把两元变成一元 转化成已经学过的内容 可以通过消元 即把两元变成一元 转化成已经学过的内容 当我们再学到一元二次方程的时候 我们也是想办法降次 降当我们再学到一元二次方程的时候 我们也是想办法降次 降 次我们可能用到配方法 因式分解法 其实这些都体现了我们次我们可能用到配方法 因式分解法 其实这些都体现了我们 所说的化归思想 所说的化归思想 第三方面 方程不等式同样也是后面学习高等数学一个非常第三方面 方程不等式同样也是后面学习高等数学一个非常 重要的基石 例如我们谈到根与系数的关系这部分内容 当然重要的基石 例如我们谈到根与系数的关系这部分内容 当然 精品文档 11欢迎下载 在一元二次方程中 只要学生能够体会这种关系 而不需要他在一元二次方程中 只要学生能够体会这种关系 而不需要他 去扩展解决其他问题 实际上根与系数的关系 作为一个普遍去扩展解决其他问题 实际上根与系数的关系 作为一个普遍 的规律在高次方程 一元的规律在高次方程 一元 n n 次方程的情况还是有适用性的 所次方程的情况还是有适用性的 所 以 学生通过这样一个探索会发现一般性的规律 一次方程 以 学生通过这样一个探索会发现一般性的规律 一次方程 二次方程 高次方程等等这些方程 甚至是将来高等数学以及二次方程 高次方程等等这些方程 甚至是将来高等数学以及 经济学当中 根与系数关系都体现了一个很好的应用 都体现经济学当中 根与系数关系都体现了一个很好的应用 都体现 了方程的模型思想 不同的只是解法不同 初中阶段学习的方了方程的模型思想 不同的只是解法不同 初中阶段学习的方 程和不等式其实对后续的学习是有非常大的帮助 程和不等式其实对后续的学习是有非常大的帮助 话题三话题三 函数函数 一 重点一 重点 初中阶段函数部分的内容 主要包括一次函数 二次函数 初中阶段函数部分的内容 主要包括一次函数 二次函数 反比例函数 反比例函数 在这个阶段学习函数 重点就是要借助现实背景 在这个阶段学习函数 重点就是要借助现实背景 在现实情景中理解函数的概念 而且在研究函数的性质过程当在现实情景中理解函数的概念 而且在研究函数的性质过程当 中 重点应该是要利用图象的方法直观地发现函数 例如一次中 重点应该是要利用图象的方法直观地发现函数 例如一次 函数有什么特点 二次函数有什么特点 反比例函数呢 此外函数有什么特点 二次函数有什么特点 反比例函数呢 此外 还有一个非常重要的方面 就是体会函数各种表示之间的联系 还有一个非常重要的方面 就是体会函数各种表示之间的联系 例如函数的表示法 我们有表格表示 就是具体的看有一个例如函数的表示法 我们有表格表示 就是具体的看有一个 x x 怎么和怎么和 y y 对应 另外就是有解析式表示 还有图象表示 以前对应 另外就是有解析式表示 还有图象表示 以前 在传统的教学当中 可能这个解析式的表示我们用的比较多 在传统的教学当中 可能这个解析式的表示我们用的比较多 表格 图象表示用的比较少 不管在标准的实验稿当中还是修表格 图象表示用的比较少 不管在标准的实验稿当中还是修 订稿中 我们都要关注函数的图象表示 借助函数的图象来研订稿中 我们都要关注函数的图象表示 借助函数的图象来研 精品文档 12欢迎下载 究函数的性质 这是一种非常直观的办法 同时在这个修订版究函数的性质 这是一种非常直观的办法 同时在这个修订版 的标准当中 也强调了对自变量取值范围的讨论 应该结合具的标准当中 也强调了对自变量取值范围的讨论 应该结合具 体的实际问题 在实际问题中讨论自变量取值范围 而不是说体的实际问题 在实际问题中讨论自变量取值范围 而不是说 泛泛地 一般性地讨论自变量的定义域 值域 泛泛地 一般性地讨论自变量的定义域 值域 二 内容的变化二 内容的变化 一 强调一次函数的现实意义 如要求 一 强调一次函数的现实意义 如要求 结合具体情境体结合具体情境体 会一次函数的意义 能根据已知条件确定一次函数的表达式 会一次函数的意义 能根据已知条件确定一次函数的表达式 二 强调一次函数与二元一次方程的关系 但不要求用图 二 强调一次函数与二元一次方程的关系 但不要求用图 象法求二元一次方程组的近似解 象法求二元一次方程组的近似解 三 强调对于一次函数图象变化的探索 例如 三 强调对于一次函数图象变化的探索 例如 根据一次根据一次 函数的图象和表达式函数的图象和表达式 y y kxkx b b k k 0 0 探索并理解探索并理解 k k 0 0 和和 k k 0 0 时 图象的变化情况 时 图象的变化情况 四 强调用反比例函数解决实际问题 如要求在具体情境 四 强调用反比例函数解决实际问题 如要求在具体情境 中理解反比例函数的意义 中理解反比例函数的意义 五 突出反比例函数的图象功能 能画出反比例函数的图 五 突出反比例函数的图象功能 能画出反比例函数的图 象 根据图象和表达式象 根据图象和表达式 k k 0 0 探索并理解探索并理解 k k 0 0 和和 k k 0 0 时 图象的变化情况 时 图象的变化情况 六 强调用函数解决实际问题 如要求在实际问题中分析 六 强调用函数解决实际问题 如要求在实际问题中分析 体会二次函数的意义 并运用于实际 在实际问题中考虑自变体会二次函数的意义 并运用于实际 在实际问题中考虑自变 量的取值范围 量的取值范围 精品文档 13欢迎下载 三 价值及作用三 价值及作用 函数是非常有价值的内容 首先变量之间的关系在现实世界函数是非常有价值的内容 首先变量之间的关系在现实世界 当中就是普遍存在的 如何研究变量之间的关系 从数学上解当中就是普遍存在的 如何研究变量之间的关系 从数学上解 决这个问题 它的工具就是函数 所以对于学生来讲 利用函决这个问题 它的工具就是函数 所以对于学生来讲 利用函 数的方法解决现实问题 实际上是从常量的数学走到变量的数数的方法解决现实问题 实际上是从常量的数学走到变量的数 学 像在方程中 学 像在方程中 x x 表示未知数 它实际上不是变量 其实它表示未知数 它实际上不是变量 其实它 是一个常量 在函数当中就不一样 它可能是自变量 也可能是一个常量 在函数当中就不一样 它可能是自变量 也可能 是因变量 所以从这个角度来讲 从学生的思维角度来讲 它是因变量 所以从这个角度来讲 从学生的思维角度来讲 它 是一种飞跃 而且通过变量的学习 学生可以逐渐地形成辩证是一种飞跃 而且通过变量的学习 学生可以逐渐地形成辩证 唯物主义的思想 唯物主义的思想 通过变量之间关系的学习有助于培养学生的理性思维 因为通过变量之间关系的学习有助于培养学生的理性思维 因为 学习函数 就要表示变量之间的关系 它有一个很重要的作用 学习函数 就要表示变量之间的关系 它有一个很重要的作用 就是利用函数的关系进行预测 或利用函数的关系进行计算 就是利用函数的关系进行预测 或利用函数的关系进行计算 未知的点可以通过函数关系把它计算出来 我们预测人口 如未知的点可以通过函数关系把它计算出来 我们预测人口 如 中国二十年以后的人口数量问题 可以根据对以前人口的统计 中国二十年以后的人口数量问题 可以根据对以前人口的统计 对数量进行分析 根据它的变化规律来进行预测 进行计算也对数量进行分析 根据它的变化规律来进行预测 进行计算也 是函数非常重要的一个应用 我们根据函数的变化规律 看其是函数非常重要的一个应用 我们根据函数的变化规律 看其 中某一些位置的点的函数值是多少等等 另外由于在函数学习中某一些位置的点的函数值是多少等等 另外由于在函数学习 的过程当中 我们非常重视函数的图象表示 所以对培养学生的过程当中 我们非常重视函数的图象表示 所以对培养学生 的几何直观函数也是非常重要的载体 通过直观分析函数的性的几何直观函数也是非常重要的载体 通过直观分析函数的性 质 学生可以对函数的增减性 或者是周期性等等都能够有很质 学生可以对函数的增减性 或者是周期性等等都能够有很 精品文档 14欢迎下载 好的认识 好的认识 从常量到变量数学的过渡阶段 学生从小学阶段就已经开始 从常量到变量数学的过渡阶段 学生从小学阶段就已经开始 到了初中阶段 学生又接触到一些新的知识 他们逐渐在丰富到了初中阶段 学生又接触到一些新的知识 他们逐渐在丰富 的自己的认识 如我们在教学中也曾经向学生出示这样的一些的自己的认识 如我们在教学中也曾经向学生出示这样的一些 图象 向学生提出问题 这些图象都可以刻画什么 图象 向学生提出问题 这些图象都可以刻画什么 不同的学生有着不同的一些想法 你能不能够在现实生活中不同的学生有着不同的一些想法 你能不能够在现实生活中 找到这样的函数的一个实际背景或实例 例如第一个图象 学找到这样的函数的一个实际背景或实例 例如第一个图象 学 生可能会说是匀速行驶的汽车的时间和路程之间的关系 也有生可能会说是匀速行驶的汽车的时间和路程之间的关系 也有 学生会举例子说 如果苹果一斤是学生会举例子说 如果苹果一斤是 2 2 元钱 这个图表示的是苹元钱 这个图表示的是苹 果斤数和总价的关系 这些例子都是比较朴素的 不妨再来看果斤数和总价的关系 这些例子都是比较朴素的 不妨再来看 看第八个图 有的学生会说 这个是向水桶中注水 最后达到看第八个图 有的学生会说 这个是向水桶中注水 最后达到 了上限还要再注 时间与水面高度的关系 还有同学举例子说 了上限还要再注 时间与水面高度的关系 还有同学举例子说 将将 2020 度的水加热 加热到沸腾 有的学生是说从甲地出发到度的水加热 加热到沸腾 有的学生是说从甲地出发到 了某地之后 这个车坏了怎么修也修不好 还有的说是弹簧的了某地之后 这个车坏了怎么修也修不好 还有的说是弹簧的 承重有一个限度 但它超过这个限度之后 长度就已经超过了承重有一个限度 但它超过这个限度之后 长度就已经超过了 弹簧的承受能力 长度就不变了 当然这些所举的例子都还需弹簧的承受能力 长度就不变了 当然这些所举的例子都还需 精品文档 15欢迎下载 要再斟酌 有的学生会说是小明的体温 开始逐渐上升 最后要再斟酌 有的学生会说是小明的体温 开始逐渐上升 最后 持续高烧 这也是一种可能的情境 有非常多的学生都提出自持续高烧 这也是一种可能的情境 有非常多的学生都提出自 己的想法 用来解释以上图象 即是说他们能够从现实生活中己的想法 用来解释以上图象 即是说他们能够从现实生活中 挖掘出丰富的现实情景 去解释各种各样的函数关系 我想在挖掘出丰富的现实情景 去解释各种各样的函数关系 我想在 这样一个过程中学生们就能真正体会到函数图象的价值 这是这样一个过程中学生们就能真正体会到函数图象的价值 这是 在用解析式表达 学习函数性质 应用函数解决问题等等之外在用解析式表达 学习函数性质 应用函数解决问题等等之外 的收获 可能我们首先应该让学生感受到的就是 函数离我们的收获 可能我们首先应该让学生感受到的就是 函数离我们 这么近 其实它就是这么普通 这样 函数的连续性 函数的这么近 其实它就是这么普通 这样 函数的连续性 函数的 取值范围等在学生的理解中也就更简化 更容易被他们所接受 取值范围等在学生的理解中也就更简化 更容易被他们所接受 函数还有一个作用 体现在解方程中 即方程可用函数的方函数还有一个作用 体现在解方程中 即方程可用函数的方 法去解 如果一个方程 我们不能用已学的的方法去解 例如法去解 如果一个方程 我们不能用已学的的方法去解 例如 三次方程 我们的学生还没有学 就不会解 但是我们可以画三次方程 我们的学生还没有学 就不会解 但是我们可以画 一下它的图象 然后就可以以此来大致的估计一下它的解的范一下它的图象 然后就可以以此来大致的估计一下它的解的范 围 对它的解形成一些初步的认识 实际上在初中 方程 不围 对它的解形成一些初步的认识 实际上在初中 方程 不 等式还都可以看成函数的一种特殊情况 等式还都可以看成函数的一种特殊情况 另外函数这一研究变量关系的方法 实际上对于其他的学科 另外函数这一研究变量关系的方法 实际上对于其他的学科 如物理 化学 经济及一些文科都有非常重要的作用 都是非如物理 化学 经济及一些文科都有非常重要的作用 都是非 常有力的工具 因此学好函数这部分内容 搞好函数这部分的常有力的工具 因此学好函数这部分内容 搞好函数这部分的 教学 在初中代数中是非常重要的 教学 在初中代数中是非常重要的 话题四话题四 运算能力运算能力 精品文档 16欢迎下载 一 意义及作用一 意义及作用 运算能力是一项基本的数学能力 初中数学中大多数问题的运算能力是一项基本的数学能力 初中数学中大多数问题的 解决 都离不开运算 但是 教学中常常出现学生在计算时机解决 都离不开运算 但是 教学中常常出现学生在计算时机 械地搬用运算公式 盲目推算 缺乏合理选择简捷运算途径的械地搬用运算公式 盲目推算 缺乏合理选择简捷运算途径的 意识等 因此 意识等 因此 课程标准修改稿课程标准修改稿 将将 运算能力运算能力 作为一项重要作为一项重要 的内容 同时提出运算能力培养的价值 即的内容 同时提出运算能力培养的价值 即 有助于学生理解运有助于学生理解运 算的算理 能够寻求合理简洁的运算途径解决问题 算的算理 能够寻求合理简洁的运算途径解决问题 由此可见 由此可见 运算能力在学生的数学学习 尤其是数与代数的学习中具有重运算能力在学生的数学学习 尤其是数与代数的学习中具有重 要的价值和意义 要的价值和意义 二 在标准中的含义二 在标准中的含义 课程标准修订稿课程标准修订稿 将将 运算能力运算能力 界定为界定为 能够根据法则和能够根据法则和 运算律正确地进行运算的能力 运算律正确地进行运算的能力 正确正确 是对运算结果的要求 是对运算结果的要求 这是进行一切运算最终的也是最根本的要求 这是进行一切运算最终的也是最根本的要求 根据法则和运算根据法则和运算 律律 也就是运算的依据和运算的前提 这要求学生要理解运算时也就是运算的依据和运算的前提 这要求学生要理解运算时 所用的法则和运算律 不仅如此 还要求会正确 恰当地应用所用的法则和运算律 不仅如此 还要求会正确 恰当地应用 这些运算律 运算法则 这些运算律 运算法则 此外 此外 课程标准修订稿课程标准修订稿 还指出了还指出了 培养运算能力还有助培养运算能力还有助 于学生理解运算的算理 能够寻求合理简洁的运算途径解决问于学生理解运算的算理 能够寻求合理简洁的运算途径解决问 题 题 因此 运算能力不仅包含对运算意义 法则 公式 运算因此 运算能力不仅包含对运算意义 法则 公式 运算 程序的正确理解 还包含对简捷的运算途径的合理选择 这要程序的正确理解 还包含对简捷的运算途径的合理选择 这要 求学生能够根据问题的不同条件和不同目标 灵活地运用公式 求学生能够根据问题的不同条件和不同目标 灵活地运用公式 精品文档 17欢迎下载 法则和有关的运算律 能够掌握同一个问题的多种运算方法 法则和有关的运算律 能够掌握同一个问题的多种运算方法 并善于通过观察 分析 比较 作出合理的选择 也就是说 并善于通过观察 分析 比较 作出合理的选择 也就是说 运算能力中包含着对思维能力的要求 因而 在运算过程中 运算能力中包含着对思维能力的要求 因而 在运算过程中 学生的思维能力会受到检验 并得到锻炼 学生的思维能力会受到检验 并得到锻炼 三 与内容的联系三 与内容的联系 与运算能力相关的内容 一个是有理数的运算 还有实数的与运算能力相关的内容 一个是有理数的运算 还有实数的 运算 但由于解决实际问题取近似值 落脚点还是有理数运算 运算 但由于解决实际问题取近似值 落脚点还是有理数运算 带根号的无理数的运算实际上是恒等变形 关于式的运算 实带根号的无理数的运算实际上是恒等变形 关于式的运算 实 际上就是恒等变形 运算在解决问题中是必须的 运算能力的际上就是恒等变形 运算在解决问题中是必须的 运算能力的 培养是重要的 还有方程或不等式的求解 都有式的运算 都培养是重要的 还有方程或不等式的求解 都有式的运算 都 要求其结果具有正确性 采用简便算法 及选择最佳途径 要求其结果具有正确性 采用简便算法 及选择最佳途径 四 如何培养四 如何培养 关于运算能力的培养有四点 即关于态度 知识 能力 以关于运算能力的培养有四点 即关于态度 知识 能力 以 及应用 及应用 第一在学生的态度上 首先要让学生重视数学运算 让他们第一在学生的态度上 首先要让学生重视数学运算 让他们 意识到数学运算是非常重要的 需要在态度上面有一个非常正意识到数学运算是非常重要的 需要在态度上面有一个非常正 确的认识 不要认为这个运算可有可无 或者把丢一个数或者确的认识 不要认为这个运算可有可无 或者把丢一个数或者 错一个数 看成一个非常不重要的事情 所以第一点就是强调错一个数 看成一个非常不重要的事情 所以第一点就是强调 态度 必须重视运算 态度 必须重视运算 第二个运算不是凭空建立起来 它是基于一定的知识背景的 第二个运算不是凭空建立起来 它是基于一定的知识背景的 精品文档 18欢迎下载 这种知识是什么 首先必须要让学生要掌握好运算过程中的一这种知识是什么 首先必须要让学生要掌握好运算过程中的一 些概念 性质 以及用到什么样的公式 用到什么样的法则 些概念 性质 以及用到什么样的公式 用到什么样的法则 因此我们认为 在学习这些知识的时候 应该给学生强化 让因此我们认为 在学习这些知识的时候 应该给学生强化 让 他意识到这是一个最根本的东西 他意识到这是一个最根本的东西 其实在学生运算过程中运算能力与推理能力直接关系 为什其实在学生运算过程中运算能力与推理能力直接关系 为什 么这么说呢 因为学生在运算的时候需要一步一步地去进行 么这么说呢 因为学生在运算的时候需要一步一步地去进行 前一步是后一步的前提 运算不是凭空建立起来 必须有充分前一步是后一步的前提 运算不是凭空建立起来 必须有充分 的理由才能够做后面的运算 才能够实现前后的这种连贯 因的理由才能够做后面的运算 才能够实现前后的这种连贯 因 此在这个过程中一定要让学生理解运算的性质和公式 以提高此在这个过程中一定要让学生理解运算的性质和公式 以提高 他们进行推理的能力 他们进行推理的能力 比如我们在学习乘法公式的时候 学生经常爱犯的错误中 比如我们在学习乘法公式的时候 学生经常爱犯的错误中 比较典型的就是将这两个公式混淆了 认为比较典型的就是将这两个公式混淆了 认为 a b a b 2 2 a a2 2 b b2 2 这是一个常见的错误 不利于今后的学习和使用以上知识点 这是一个常见的错误 不利于今后的学习和使用以上知识点 这个错误产生原因我们可以分析 可能是一些知识的负向迁移 这个错误产生原因我们可以分析 可能是一些知识的负向迁移 我们到底如何避免这样的错误 老师们不妨在教学中不断的回我们到底如何避免这样的错误 老师们不妨在教学中不断的回 到最初 不断地追本溯源让学生重新认识公式是如何得来的 到最初 不断地追本溯源让学生重新认识公式是如何得来的 公式得来其实有两个方面 一个是代数推导 一个是几何直公式得来其实有两个方面 一个是代数推导 一个是几何直 观推导 它的代数推导就是我们之前的所学的知识 多项式乘观推导 它的代数推导就是我们之前的所学的知识 多项式乘 多项式 这个乘法的运算中 共得出四项 再合并同类项得到多项式 这个乘法的运算中 共得出四项 再合并同类项得到 了三项 在这个方法之外 其实几何也非常重要 而且是完全了三项 在这个方法之外 其实几何也非常重要 而且是完全 不同的一个途径呢 不同的一个途径呢 精品文档 19欢迎下载 对于这个图 我们还是很熟悉的 在几何图形中 对于这个图 我们还是很熟悉的 在几何图形中 a b a b 2 2 可以理解为边长为可以理解为边长为 a ba b 的正方形的面积 而它是在两个小正方的正方形的面积 而它是在两个小正方 形形 a a2 2 和和 b b2 2的基础之上 还要算上两个矩形的面积 这样我们的基础之上 还要算上两个矩形的面积 这样我们 就完全否定了刚才的错误 学生在有了数 形两个方面对这个就完全否定了刚才的错误 学生在有了数 形两个方面对这个 公式的认识之后 对这个公式的正确掌握会得以提高 在此给公式的认识之后 对这个公式的正确掌握会得以提高 在此给 大家一个建议 此处很好地体现了几何直观的作用 利用几何大家一个建议 此处很好地体现了几何直观的作用 利用几何 直观纠正学生这个错误很有效 直观纠正学生这个错误很有效 这个问题也是大家一直谈论的 我们算的目的是什么 其实这个问题也是大家一直谈论的 我们算的目的是什么 其实 我们在培养学生运算能力的时候 可能有的时候又