自动控制原理(胥布工)第二版9章习题及详解

1 第 9 章习题及详解 9 1 试分别写出图 9 41 中所列典型非线性特性的数学描述式 xf 0 x M M xf 0 x M M k k dd xf 0 x M M a b c xf 0 x k xf 0 x M M dd d e 图 9 41 习题 9 1 图 解 解 a b 0 0 xM xM xf dxkdM dxkx dxkdM xf c d xM x xM xf 0 xxk x xxk xf 0 e dxM xdxdM xdxdM dxM xf 0 0 或者 e 当 当 0 x dxM dxM xf 0 x dxM dxM xf 9 2 试用解析法求下列系统相轨迹方程的解 1 12 2 x x 2 2 0sin xx x 解 解 1 相变量方程为 2 21xx xx 0 0 0 3 2 0 2 1 3 2 2 1 2 12 3322 00 3 0 2 00 2 00 2 0 xxxxxx dxxdxddxdxxxdxdxxxdx tttttttt 相轨迹方程的解为 0 6 0 4 0 3643 3232 xxxxxx 2 相变量方程为 xxx xx sin 0 0 2 1 0 cos cos 0 2 1 2 1 cos 2 1 sin 2222 0 2 00 2 00 xxxxxx xdxdxdxdxxxxdx ttttt 相轨迹方程的解为 0 0 cos2 0 cos2 2222 xxxxxx 9 3 考虑系统 其中 试用解析法求该系统的相平面图 0 2 xx 1 解 解 引入相变量和改写为相变量方程x x xx xx 2 利用相轨迹微分方程解的公式 9 6 在区间上求定积分得 0 t 0 0 2 0 2 1 2 2 1 22 2 22 0 2 2 0 2 0 2 0 xxxxxdxdxdxxdx tttt 整理得 2222 0 0 xxxx 即 1 0 0 0 0 2 22 2 2 22 2 xx x xx x 这是一个以原点为中心的椭圆相轨迹 所描述的运动是周期运动 相轨迹为一簇同心 0 0 椭圆 椭圆的大小与初始状态有关 因 椭圆的长半轴和短半轴的长度分别为 0 x1 和 22 0 0 xx 22 0 0 xx 3 e e 9 4 试用解析法求非线性系统的相平面图 02 x x 解 解 由题知相变量方程为 xx xx 2 0 0 0 2 1 2 1 2 2222 0 2 0 2 00 xxxxxdxdxdxxdx tttt 相轨迹方程的解为 1 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 22 2 22 2 2222 xx x xx x xxxx 可分下面三种情况 当 相轨迹方程解为0 0 2 0 22 x x 1 2 0 2 0 0 2 0 2 22 2 2 22 2 xx x xx x 此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线 渐近线为 顶点位置与初始状态 x xx2 相关 0 x x x 0 当 相轨迹方程为0 0 2 0 22 x x 1 0 0 2 2 0 0 2 2 22 2 2 22 2 xx x xx x 此时相平面图为一组顶点在轴上的双曲线 渐近线为 顶点位置与初始状态xxx2 相关 0 x 4 x x 0 当 相平面图为两条直线 即和0 0 2 0 22 x x xx2 xx2 x x 0 整个相平面图如下 x x 0 9 5 试用等倾斜线法绘出下列系统的相平面图 1 02 xxx 2 02 xxx 解 解 1 等倾斜线满足方程 x k x x xx k 1 22 等倾斜线法绘出的系统相平面图为 5 e e 2 当时 有 故等倾斜线满足方程0 x 02 xxx x k x x xx k 2 12 注意到是关于的偶函数 相轨迹为轴对称 所以可以在相平面的上半部xxxxf 2 x x 绘出对应线性系统的相轨迹 然后在相平面的下半部对称绘出相应的相轨迹即可 等倾斜线 法绘出的系统相平面图为 e e 9 6 试判断下列系统是否有奇点 确定奇点类型并画出奇点附近的相轨迹 1 04 2 xxx 2 0 1 2 xxxx 解 解 1 相变量方程为 4 1 2 xxx xx 故 即为该系统的奇点 在0 0 0 0 00 4 1 2 fxxxxxxfx 0 0 处对进行泰勒级数展开有 0 0 xx f xxxxx x xxf x x xxf fxxf x x x x x x 4 1 2 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 即 其特征方程为 故特征根为 所以奇点为中心点 0 4 1 x x 014 2 s 2 1 2 1 jp 奇点附近的相轨迹为 x x 2 相变量方程为 1 2 xxxx xx 故 即为该系统的奇点 0 0 0 0 00 1 2 fxxxxxxxfx 区区 0 0 在处对进行泰勒级数展开有 0 0 xx f xxx x xxf x x xxf fxxf x x x x 0 0 0 0 0 0 系统在奇点附近线性化后得 其特征方程为 故特征根为0 xxx 01 2 ss 2 3 2 1 2 41 2 1 2 1 jp 所以奇点为不稳定焦点 奇点附近的相轨迹为 x x 9 7 描述某运动的微分方程为 试根据奇点的性质绘出系统的相平面图 0sin2 x x 解 解 由于必有 而意味着对于所有0sin2 xxxfx 0sin x0sin x 有 因此 意味着在轴上点均为该系统的奇 2 1 0 i ix 00 xxif x 0 i 点 下面对于 分别考虑轴上奇点和两种情况 2 1 0 lx 0 2 l 0 12 l 情况情况 1 1 对于所有 考虑奇点 用变换将方程在轴 2 1 0 l 0 2 l lxz2 x 上奇点坐标平移到原点 即 0 2 l 2sin 2 lzzzfz 在处附近展开泰勒级数 0 0 7 zz z zzf z z zzf f z z z z 2 0 0 0 0 0 0 故在处附近有 其特征方程的根为 0 0 02 z z 2 2 1 jp 因此 对于所有 系统的奇点均为中心点 2 1 0 l 0 2 l 情况情况 2 2 对于所有 考虑奇点 用变换将方 2 1 0 l 0 12 l 12 lxz 程在轴上奇点坐标平移到原点 即x 0 12 l 12 sin 2 lzzzfz 在处附近展开泰勒级数 0 0 zz z zzf z z zzf f z z z z 2 0 0 0 0 0 0 故在处附近有 其特征方程的根为 0 0 02 z z 2 2 1 p 因此 对于所有 系统的奇点均是鞍点 MATLAB 仿真后绘制的 2 1 0 l 0 12 l 相平面图为 e e 0 2 2 9 8 考虑具有继电器非线性的控制系统如图 9 42 所示 试用分段线性化法求系统在输 入信号 作用下的相轨迹 13 ttr 1 1 Tss reu M M y 图 9 42 习题 9 8 图 解 解 系统非线性特性的数学描述为 区 区 II 0 I 0 eM eM u 可分成两个区段 相平面上的转换线为 设斜坡输入为 当时 有0 e 1 tRtr 0t 8 由线性环节的微分方程为和 可得0 rr uyyT yre 0 ueeT 区 当时 相轨迹微分方程为 定性分析可知 I0 eMu e Me Tde ed 1 1 时 相轨迹斜率为零 是一条直线 2 时 相轨迹垂直通过 轴 Me 0 e e 3 上半平面 意味着相轨迹斜率为负 4 下半平面 时相轨迹斜率0 e 0 e Me 为正 时相轨迹斜率为负 5 相轨迹斜率与 无关 所有相轨迹都是某一相轨迹Me e 水平移动的结果 因此各相轨迹的形状是一样的 6 令 等倾斜线方程为平行于k de ed 轴的水平直线 显然 系统在区无奇点 e 1 kT M e I 区 当时 相轨迹微分方程为 由II0 eMu e Me Tde ed 1 可知 区相轨迹与区相轨迹关于原点对称 系统在区无奇点 e Me e Me IIIII 区的相平面图可按与区原点对称办法绘出 等倾线方程为平行于 轴的水平线IIIe 1 kT M e 系统在输入信号 作用下的相轨迹为 13 ttr e e 0 3 I II 9 9 考虑具有饱和非线性的控制系统如图 9 43 所示 试用分段线性化法求系统在输入 信号 作用下的相轨迹 13 ttr 4 4 y 2 1 ss reu 11 图 9 43 习题 9 9 图 解 解 由图可知饱和非线性特性的数学描述为 1 区III 1 4 区II 1 4 区I 1 4 e ee e u 9 可分三个线性化区段 相平面上的转换线为 而线性环节的微分方程为1 e 2 uyy 2 不失一般地 设阶跃输入为 其中为常数 当时 有 从而 1 tRtr 0 R 0t3 tr 由式 2 和 此时可得0 rr yre 3 022 rruee I 区 因 由式 3 得4 u 4 042 ee 相变量方程为 5 42 ee ee 相轨迹微分方程为 6 e e de ed 42 定性分析可知 1 时 相轨迹斜率为零 是一条直线 2 时 相轨2 e 0 e 迹垂直通过 轴 3 上半平面 式 6 意味着相轨迹斜率为负 4 下半平面e0 e 时相轨迹斜率为正 时相轨迹斜率为负 5 相轨迹斜率与 无关 0 e e 22 e e 所有相轨迹都是某一相轨迹水平移动的结果 因此各相轨迹的形状是一样的 6 等倾斜 线方程为平行于 轴的水平直线e 7 2 4 k e 显然 系统在 I 区无奇点 II 区 由线性关系和式 3 得eu4 8 042 eee 相变量方程为 9 42 eee ee 系统在 II 区是标准的线性系统相图 并且满足原点对称条件 奇点 eefeef 在处 等倾斜线方程为过原点的直线 0 0 e e 10 e k e 2 4 系统的特征方程为 11 042 2 ss 其特征根为 12 jp31 2 1642 2 1 和为一对具有负实部的共轭根 II 区存在奇点 相轨迹以振荡方式趋近于稳 1 p 2 p 0 0 定焦点 0 0 III 区 有 则4 u 13 042 ee 相变量方程为 10 14 42 ee ee 相轨迹微分方程为 15 e e de ed 42 由于 对比式 6 可知 III 区相轨迹与 I 区相轨迹关于原点对称 系统 e e e e 42 4 2 在 III 区无奇点 III 区相平面图可按与 I 区原点对称办法绘出 等倾线方程为平行于 轴e 的水平线 16 2 4 k e 系统在输入信号 作用下的相轨迹为 13 ttr e e 1 0 3 I II 9 10 具有死区特性的非线性系统如图 9 44 所示 其中 若 试用1 k 1 tRtr 分段线性化法求系统的相平面图 1 2 ss reu 1 1 ky 图 9 44 习题 9 10 图 解 解 已知死区非线性特性的数学描述为 1 区III 11 e 区II 1 1 区I 1 0 e ee e u 可分三个线性化区段 相平面上的转换线为 而线性环节的微分方程为1 e 2 uyy2 当时 有 从而 由式 2 和 此时可得 0tRtr 0 rr yre 3 02 rruee 开关线和将平面分成三个区 1 e1 e I 区 因 由式 3 得0 u 4 0 ee 相变量方程为 11 5 ee ee 相轨迹微分方程为 6 1 e e de ed 因此 I 区的相轨迹是斜率为 1 的直线 II 区 由线性关系和式 3 得1 eu 8 0 1 2 eee 相变量方程为 9 1 2 eee ee 相轨迹微分方程为 e ee de ed 1 2 等倾斜线方程为 10 1 2 1 2 1 1 2 k e kk e e II 区存在奇点 系统的特征方程为 0 1 11 02 2 ss 而特征根为 12 jp 2 7 2 1 2 811 2 1 和为一对具有负实部的共轭根 相轨迹以振荡方式趋近于稳定焦点 1 p 2 p 0 1 III 区 有 则1 eu 13 0 1 2 eee 相变量方程为 14 1 2 eee ee 相轨迹微分方程为 15 e ee de ed 1 2 等倾斜线方程为 16 1 1 2 k e e III 区存在奇点 系统的特征方程为 0 1 17 02 2 ss 其特征根为 18 jp 2 7 2 1 2 811 2 1 和为一对具有负实部的共轭根 相轨迹以振荡方式趋近于稳定焦点 因此系 1 p 2 p 0 1 统相平面图如图所示 12 e e 11 IIIIII 9 11 考虑带滞环的非线性控制系统如图 9 45 所示 输入为单位斜坡函数 试绘制系 统的相平面图 1 1 1 re 1 u 2 1 s y 图 9 45 习题 9 11 图 解 解 带滞环的非线性特性为 1 区 区 区 区 II I II I 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ee ee ee ee u 根据和将相平面分成两个区段 相平面上半平面 转换线为 而下半1 u1 u0 e 1 e 平面 转换线为 转换线为一条折线 线性环节的微分方程为 因为 0 e 1 euy 所以 ttr ytyre ye 1ye 0 0 e1 0 e I 区 因得相变量方程为1 u 2 1e ee 相轨迹微分方程为 3 ede ed 1 即 解析法得deede 4 1 2 2Cee 其中 为常数 因此 I 区的相平面图是一簇对称 e 轴 开口向左的抛物线 1 C II 区 由得相变量方程为1 u 5 1e ee 相轨迹微分方程为 13 6 ede ed 1 即 解得deede 7 2 2 2Cee 其中 为常数 II 区的相平面图是一簇对称 e 轴 开口向右的抛物线 系统的相平面图 2 C 如图所示 e e I II 9 12 已知非线性控制系统如图 9 46 所示 其中 设输出为零初始条件 输入1 T 为 试求 1 绘出相平面图 2 判断该系统是否稳定 最大稳态误差是 1 tRtr 多少 3 绘制及的时间响应的大致波形 te ty 1 1 1 1 re 1 1 Tss 4 u y 图 9 46 习题 9 12 图 解 解 1 由系统结构图知系统描述函数的微分方程为 其中uyyyyT 1 III区 14 1 II区 14 1 I区 14 0 e e e u 可分三个线性化区段 相平面上的转换线为 而线性环节的微分方程为41 e 2 uyy 当时 有 由式 2 和 此时可得 0t0 rr yre 3 0 rruee 开关线和将平面分成三个区 25 0 e25 0 e I 区 因 由式 3 得0 u 4 0 ee 相变量方程为 5 ee ee 14 相轨迹微分方程为 6 1 e e de ed 因此 I 区的相轨迹是斜率为 1 的直线 II 区 由线性关系和式 3 得1 u 8 01 ee 相变量方程为 9 1 ee ee 相轨迹微分方程为 10 e e de ed 1 等倾斜线方程为 11 1 1 k e III 区 有 则1 u 12 01 ee 相变量方程为 13 1 ee ee 相轨迹微分方程为 14 e e de ed 1 等倾斜线方程为 15 1 1 k e 相平面图在每个区域均为线性系统的标准相图 整体相平面图如图所示 e e 4 1 4 1 I II III 2 由相轨迹可知 无论初始状态如何 该系统均稳定 系统输出最大稳态误差是 4 1 3 若输出为零初始条件而输入 II 区相轨迹方程 计算可1 R75 0 1ln ee 15 得其进入 I 区时 准确值为 0 7844 故必然穿过 I 区而进入 III 区 并最终返5 0 e 回至 II 区 故对应误差先有 1 降至 0 25 则回升至稳态误差满足 025 0 ss e 时间响应的大致波形为 te 时间响应的大致波形为 ty 9 13 图 9 47 为一带有库仑摩擦的二阶系统 试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位 阶跃响应的影响 e u s5 0 1 s 1 2 2 r 4 y 图 9 47 习题 9 13 图 解 解 假设开始时系统处于静止状态 即 由系统结构图有0 0 y00 y 其中为库仑摩擦非线性环节输出uey 45 0 u 16 0 2 0 2 y y u 则 0 245 0 0 245 0 yey yey 因为 yre 1 ttr 所以 ye 1ye ye 1 0 e0 0 e 整理得 0 048 0 048 eee eee 当时 相轨迹微分方程为 0 e 48 e de ed e 令得等倾斜线方程为 1 k de ed 11 48 k e k e 当时 相轨迹微分方程为 0 e 48 e de ed e 令得等倾斜线方程为 2 k de ed 22 48 k e k e 未引入库仑摩擦非线性环节时 系统的微分方程为 等倾线方程为 08 e e e k e 1 8 所以引入库仑摩擦非线性环节后 系统对单位阶跃响应收敛速度加快 超调量减小 从而改 善了系统动态性能 系统的相平面图如下 e e 由相平面图可知 引入库仑摩擦非线性环节后 系统响应不再为无阻尼振荡 而是经y 17 有限次振荡 初始状态远离原点时 或者单调 初始状态为远离原点时 收 e e e e 0 1 敛并最终静止于输入值附近 最大稳态误差为 因此 摩擦环节的作用为加速阶跃R21 响应收敛 减小超调量 从而改善系统动态性能 01e e 9 14 为了获得满意的系统过渡过程 可在系统中添加如图 9 48 所示的变增益特性 若 试确定和的取值范围 1 ttr 1 k 2 k 1 Tss K reu 0 e 0 e 1 k 2 k y 图 9 48 习题 9 14 图 解 解 系统微分方程为 KuyyT 由变增益特性的数学表达式 00102 01 00102 eeekeek eeek eeekeek tu 并且有 由此得到 当时 系统微分方程为yre 0 rr 0 ete 0212 ekkKeKkeeT 0 1 0 2 1 2 e k k eKkeeT 即此处处于大偏差阶段 应重点保证响应速度 此时 闭环系统的特征方程为 0 2 2 KksTs 可知和 应使 即使处于欠阻尼状态 TKk n2 2 T n 12 141 2 TKk TK k 4 1 2 此时特征根为 奇点 为稳定焦点 T TKkj s 2 141 2 2 1 0 1 0 2 1 e k k 0 1 0 2 1 e k k 同理 当时 系统的微分方程为 0 ete 18 0 1 eKkeeT 考虑到此时系统处于小偏差阶段 重点是保证响应平稳 因此选择使系统处于过阻尼状态 1 k 即 得 此时系统的特征方程的根为141 1 TKk TK k 4 1 1 0 1 2 KksTs 奇点类型为稳定节点 因此选择和的取值使得其满足0 2 411 1 2 1 T TKk s 0 0 1 k 2 k 系统相平面图如下 21 4 1 k TK k e e 9 15 图 9 49 所示为一个带非线性反馈的二阶系统 试用 MATLAB 绘制系统的相平面图 并分析系统的运动 e 3 2 1 s r y s 1 1 1 1 y u x 图 9 49 习题 9 15 图 解 解 直线和将相平面划分为三个线性区域 1 e 1 e yre 0 rr ye ye 饱和非线性特性和数学描述为 11 11 1 11 11 1 e e ee y y yy u 将代入上式得线性环节的微分方程为 xy3 uex uey33 即 033 eu e I 区 当时 1 y 1 033 eeee 相变量方程为 19 33 eee ee 相轨迹微分方程为 e ee de ed 33 区域 I 有一个奇点为稳定焦点 0 0 II 区 当 即 可得1 y 1 e 1 033 eee 相变量方程为 33 ee ee 相轨迹微分方程为 e e de ed 33 等倾斜线方程为 k e e 33 区域 II 相应的相轨迹方程为 1 3 1 1 22 A e A e 上式也为椭圆方程 中心点在处 0 1 III 区 当 即时 得1 y 1 e 1 033 eee 相变量方程为 33 ee ee 相轨迹微分方程为 e e de ed 33 等倾斜线方程为 k e e 33 区域 III 相应的相轨迹方程为 1 3 1 1 22 A e A e 式中 A 由初始条件决定 上式是椭圆方程 中心点在处 0 1 20 e e 由相轨迹可知 无论初始状态如何 该系统均稳定 9 16 根据本章表 9 1 中已知的非线性特性描述函数 求图 9 50 所示非线性特性的描 述函数 x y k a a M M2 ab0 x y a b k M d x 1 xy c 图 9 50 习题 9 16 图 解 解 图 9 50 a 中非线性环节相当于死区非线性和死区继电非线性环节的并联 图 1 由描述函数定义 并联等效非线性特性的描述函数为各非线性特性描述函数的代数和 因此 M a x y a k x y 图 1 21 aX X a X ka X ak k X a X a X ak X a X ka XNXNXN 1 2 arcsin 2 1arcsin 2 2 1 4 2 22 21 图 9 50 b 中的非线性环节相当于两个死区继电非线性环节的并联 图 2 M a x y M bx y 图 2 bX X b X a X M aXb X a X M XNXNXN 11 4 1 4 22 2 21 图 9 50 c 中由于非线性特性对称 故只需要考虑的情况 当时 0 x0 1 x 当 否则 令 则有 故 1 xkxdx 1 My 0 ydx 1 xkd 即当时 有 因此 图 9 50 c 中两个非线性环kdx kdx dx 1 My 节可以等效为死区继电非线性环节 图 3 M d x y 图 3 其描述函数为 dX X d X M XN 1 4 2 其中 kdd 9 17 判断图 9 51 所示各系统是否稳定 与的交点是稳定工作点还 1XN jG 是不稳定工作点 22 Im Re 1 XN X G Im Re 1 XN X G 1 XN Im Re a b X X G a b c Im Re 1 XN X G Im Re 1 XN X G Im Re 1 XN X X G d e f 图 9 51 习题 9 17 图 解 解 图 a b c 的曲线与曲线相交 可出现稳定的极限环也可出现 1XN sG 不稳定的极限环 根据极限环稳定性判据 图 a 的交点处出现稳定的极限环 是稳定工 作点 图 b 的交点处出现不稳定极限环 是不稳定工作点 图 c 中的交点 a 处出现不 稳定极限环 是不稳定工作点 交点 b 处出现稳定极限环 是稳定工作点 图 d 和 e 中 的曲线完全被曲线包围 系统不稳定 图 f 的曲线不被曲线 1XN sG 1XN sG 包围 系统稳定 9 18 某单位反馈系统 其前向通道中有一描述函数的非线性元件 线 4 1 j e X XN 性部分的传递函数为 试用描述函数法确定系统是否存在自振 若有 参 15 0 15 ss sG 数是多少 解 解 由题意知非线性部分的描述函数为 其负倒描述函数为 X e XN j 4 作和的曲线可知系统存在稳定的自振点 由描述函数分析 4 1 j Xe XN 1XN sG 法 有 1 XNjG 即 1 XNjG XN jG 42 arctan 2 25 0 1 15 2 X 解之得 所以系统产生自持振荡 2 3 5 Xtty2sin3 5 23 Im Re 1 XN X jG 9 19 已知非线性系统的结构图如图 9 52 所示 图中非线性环节的描述函数 试用描述函数法确定 2 6 X X XN0 X 1 使该非线性系统稳定 不稳定以及产生周期运动时 线性部分的值范围 K 2 判断周期运动的稳定性 并计算稳定周期运动的振幅和频率 c 2 1 ss K r XN 图 9 52 习题 9 19 图 解 解 1 非线性环节的描述函数的负倒描述函数为 由 6 2 1 X X XN 3 1 0 1 N 1 1 N 0 2 4 2 X dX XdN 得为单调减函数 作和的曲线如下图所示 1XN 1XN jG Im Re 1 XN X jG 其穿越频率 曲线与负实轴的交点为 1 11 1 x jG 2 1 22 KK jG x 当 时 的曲线不包围曲线 系统稳定 3 20 K jG 1XN 当 时 的曲线和曲线存在交点 曲23 2 K jG 1XN 0 2 K 1XN 线由不稳定区域进入稳定区域 系统存在稳定的自振 24 当 时 的曲线完全包围 系统不稳定 K 2 jG 1XN 由上述知 随着的增大 系统由稳定变成自振 最终不稳定 K 2 系统周期运动是稳定的 由自振条件 1 2 2 6 22 6 1 X KXK X X jGXN 解得 2 3 2 1 2 46 KK K X 9 20 饱和非线性系统如图 9 53 所示 试求 1 确定系统稳定时的最大值 K 2 当时 分析系统的稳定性 若产生自持振荡 求振荡频率和幅值 15 K c 12 1 sss K r 2 2 1 1 图 9 53 习题 9 20 图 解解 1 饱和非线性特性的描述函数为 2 1 arcsin 2 X a X a X aK XN 其负倒描述函数为 2 1 1 1 1 arcsin 4 1 XXX XN 当时 aX 2 1 1 XN 因此 曲线负实轴上段 欲使系统稳定 则线性部分曲线必不包 1XN 2 1 jG 围段 由线性部分传递函数可得 5 0 451 21 451 3 12 1 42 2 42 K j K jjj K jG 令上式虚部为零 即 0 451 21 Im 42 2 K jG 解得 曲线与负实轴相交点的频率 jG 2 1srad 25 代入 可得负实轴交点处的坐标值 即 Re jG 5 4 3 451 3 Re 2 1422 1 KK jG 令 可得 K 的临界值 即 2 1 5 4 3 K cr K75 0 cr K Im Re 1 XN X jG 2 当时 15 K 10 5 4 3 Re K jG 令 即10 Re 1 2 1 jGXN 10 1 1 1 1 arcsin 4 2 XXX 按近似求解 可估计 X 值很大 故由得 带入1 1 1 11 arcsin 2 XXX 46 25 80 X 上式验证得 10 002 解得 因此 当时 系统不稳定 振荡频率为 振幅为25 46 X15 Krad s22 25 46 X 9 21 已知非线性系统的结构图如图 9 54 所示 其中继电特性的描述函数为 线性 X 4 部分的传递函数为 试确定系统的稳定性 并求出当自振幅值 13 12 sss K sG 时 自振频率和放大系数的数值 1 X K c sG 1 1 r 图 9 54 习题 9 21 图 26 解解 该系统的非线性部分可以看成由放大系数为 1 的放大环节与继电特性相并联而成 因此可得其描述函数为则负倒描述函数为 X XN 4 1 4 1 X X XN 当由变化时 曲线是在复平面上由原点到点的一段直线 0 1XN 0 1 j 系统稳定性分析 当 K 比较大时 曲线将包围曲线 这时 控制系统不稳定 当 较小时 jG 1XN K 曲线将于曲线相交 这时 控制系统产生相应于交点处的自持振荡 jG 1XN 已知自振的振幅为 则有 1 X 5 1 4 1 X X XN 因此 曲线与相交于点 因为 jG 1 XN 0 5 1 j 2322 3 2322 2 6 5 6 6 5 5 13 12 K j K jjj K jG 令的虚部等于 0 即有 jG0 6 3 K 所以 408 0 令的实部等于 即 jG 5 1 5 1 6 5 5 2322 2 K 解得17 0 K Im Re 1 XN X jG 9 22 非线性系统如图 9 55 所示 其中 试用描述函数分析法分析系1 K2 M 统是否存在自振 若有自振 确定振幅和频