高三二轮复习平面向量专题

精品文档 1 欢迎下载 平面向量的综合分析与应用专题平面向量的综合分析与应用专题 一 课前概述 一 课前概述 出题方向 向量这个知识点一般单独成题的话会出现在选择和填空里面 有时简单有时比较难 大题中一般跟圆锥 曲线结合的比较多 思路点拨 很多时候学生都认为向量内容比较烦 找不到思路 缺乏方向感 其实关键内容是没有理清知识点的真 实含义以及出题人的意图和出题人打算考察的方向 仅仅凭着感觉来做题 平时缺乏方法的积累 结果导致正式考试 时时间不够 其实不仅仅是这个内容 很多内容都是一样的 都有类似的题型做过 但是就缺乏变形应用 平面向量这个知识又以数量积的考察为重点 难点是对题目所给条件的分析与理解 依据所要求的内容进行合理地 灵活转换 平时做该知识的试题时要明确做题主线 借助条件再灵活应用 因为一般一道题不止一种解题方法 有时会有两三 种 但是要把握好大的做题方向 也就是说这类题的最常用解题方法 二 知识要点及典例分析 二 知识要点及典例分析 一 一 平面向量的基本概念 平面向量的基本概念 1 已知为正六边形 若向量 则 用坐标表示 ABCDEF 1 3 AB DEDCECFE 2 在中 则其形状为 若使成ABC 1 3 ABACABACBC 若R 2 ACAB 立 则的范围是 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 在横线上填上序号 AB AC 3 已知向量满足 若 则向量夹角余弦值为 若 则 a b 3 2 3ab 3 3ab a b aab 在方向上的投影为 b a 4 设 都是非零向量 下列四个条件中 能使成立的是 ab b b a a A B C D 且ba abba2 abba 5 设两个向量和 其中为实数 若 则的取值范围 22 2 cos a sin 2 m bm m 2ab 是 A B C D 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6 已知点为所在平面内一点 边的中点为 若 其中 则点一定PABC ABD2 1 PDPACB R P 在 A 边所在的直线上 B 边所在的直线上 C 边所在的直线上 D 的内部 ABBCACABC 二 二 平面向量基本定理 平面向量基本定理 精品文档 2 欢迎下载 1 在直角三角形中 若 则 ABC 0 90C 2AB 1AC 3 2 ADAB CD CB 2 已知 则的最大值为 0AB BC 1AB 2BC 0AD DC BD A B 2 C D 2 5 5 52 5 3 在等腰中 则的值为 ABC 90 2 2 BACABACBCBD 3ACAE AD BE A B C D 4 3 1 3 1 3 4 3 4 如图在平行四边形中 已知 则的值是 ABCD8 5ABAD 3 2CPPD AP BP AB AD 三 三 三点共线 三点共线 1 若三点 满足 为原点 则 2 2 0 0 0 AB aCb ab 22 sincosOCOAOBaa O 11 ab A 2 B 3 C D 1 2 1 3 2 已知 为直线 上不同的三点 点直线 实数满足关系式 有下列结论ABClO lx 2 20 x OAxOBOC 中正确的个数有 的值有且只有一个 的值有两个 点是线段的中 2 0OBOC OA 2 0OBOC OA xxBAC 点 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 来 3 已知平面向量满足 且与的夹角为 则的最小值是 2 120 tR 1 tt 4 已知平面向量满足且与 则的取值范围是 3 150 的夹角为 1 mm 5 已知两个向量 的夹角为 30 为单位向量 则的最小值为 ab3 abbtatc 1 c 若 0 则 cb t 6 设 AOB 60 且 2 则在上的投影的取值范围是 2OAOB OPOAOB OA OP 四 四 平面向量的数量积 平面向量的数量积 1 已知向量满足 且 则在方向上的投影为 a b 3 2 3ab aab b a 精品文档 3 欢迎下载 2 已知平面向量则的取值范围是 1 3 1 baa b A B C D 1 0 3 1 4 2 4 3 3 已知向量 满足 且 则 a b 1a 4 3 b 0abR 4 已知平面向量bcbacbacba 与 的夹角为与且满足 0 135 0 的夹角为 0 120 ac 则 2 5 已知向量的夹角为 且 则 a b 45 1a 210ab b A B C D 222 23 2 6 已知向量的夹角为 向量 的夹角为 则与 a b 3 5aba ca cb 2 3 2 3ca ab 的夹角正弦值为 cb c 7 已知为平面向量 若与的夹角为 与的夹角为 则 a b ab a 3 ab b 4 a b A B C D 3 3 6 3 5 3 6 4 8 已知在中 的最大值为 ABC 230BABCCB 则角A A B C D 6 4 3 2 变式 在中 则角的最大值为 ABC CBACAB 3A A B C D 6 4 3 2 9 在ABC 中 D是BC边上一点 3BDDC 若P是AD边上一动点 且2AD 则 3 PA PBPC A的最小值为 A 4 B 3 C 2 D 1 10 设非零向量a与b的夹角是 且 则的最小值是 6 5 baa b tba 2 11 平面向量a b e满足 1 e 1 a e 2 b e 2 ab 则 a b的最小值为 12 定义为两个向量 间的 距离 若向量 满足 对任意的 d a bab a b a b 1b ab 恒有 则 tR d a tbd a b A A B B C D ab aab bab abab 13 已知两个非零平面向量满足 对任意恒有 则 若 则 ba R baba 2 1 4 b ba 精品文档 4 欢迎下载 若的夹角为 则的最小值为 ba 3 b bta 2 五 五 平面向量中三角形外心及重心 平面向量中三角形外心及重心 1 已知 O 是外心 若 则 ABC 21 55 AOABAC cosBAC 2 已知O是ABC 的外心 2 3ABAC 若AOxAByAC 且21xy 则cosBAC 3 已知为的外心 若 且 则 OABC 16AB uu u v 10 2AC uuu v AO xAByAC uuu vuu u vuuu v 32x 2525y OA uuv A B C D 8101214 4 设是外接圆的圆心 分别为角对应的边 已知 则的范围是OABC a b c A B C 22 20bbc BCAO uu u ruuu r 5 已知满足 是的外心 且 则的面积ABC 4 3 ACABOABC RACABAO 2 1 ABC 是 6 已知为的外心 若 则 OABC 120 2 4 BACACABACABAO 21 21 7 2016 届效实中学第一学期期中考 已知为三角形的外心 若OABC 2 2 120ABa ACBAC a 则的最小值为 AOxAByAC 36xy 8 在 ABC 中 1 若点P在 ABC所在平面上 且满足 则 12 33 CPCACB uuvuu vuuv PA PB 2 若点G为 ABC重心 且 56sin 40sin 35sin 0A GAB GBC GC 则 B 3 若点O为 ABC的外心 且 为实数 则 2 2 0 120ABm ACmBAC m o AOxAByAC xy 的最小值是 xy 9 已知点O N P在 ABC所在平面内 且 则点 OA OB OC NA NB NC 0 PA PB PB PC PC PA O N P依次是 ABC的 A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 三 特殊题型解题思路分析 三 特殊题型解题思路分析 类型一 有关圆中的向量问题 通常转换到圆心 类型一 有关圆中的向量问题 通常转换到圆心 原理 控制单一变量及三角函数的有界性原理 控制单一变量及三角函数的有界性 1 浙江省名校新高考研究联盟 2014 届第二次联考 设 Q 是半径为 1 的圆上一个动点 若 MN 是该圆的一条动弦 且 MN 则的取值范围是 2 MNMQ 2 2014 届金华 十校 联考 如图 已知 AC BC 4 ACB 90 M为BC的中点 D为以AC为直径的圆上一 动点 则AMDC 的最大值是 y o A B C M E F x 精品文档 5 欢迎下载 D C MB A O M E A BC D 3 如图 已知圆M 四边形 ABCD为圆M的内接正方形 E F分别为边AB AD的中点 4 3 3 22 yx 当正方形绕圆心转动时 的取值范围是 ABCDMOFME A B C D 26 26 6 6 23 23 4 4 变式 已知圆 M 四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形 点 E 为边 AB 的中点 点 F 为边 AD 上4 3 3 22 yx 的一个动点 当正方形绕圆心转动时 的取值范围是 ABCDMOFME 4 如图 已知圆M 4 3 3 22 yx ABC 为圆M的内接正三角形 E为边AB的中点 当正 ABC 绕圆心M转动 且F是AC边上的中点 OFME 的最大值是 5 如图 是边长为的等边三角形 是以C为圆心 半径为 1 的圆上的任意一点 则的取值ABC32PBP AP 范围是 6 如图 扇形的弧的中点为 动点分别在线段上 且若 AOBMDC OBOA BDOC 1 OA120AOB 则的取值范围是 MDMC 7 如图 等边 的边长为 2 也是等边三角形且边长为 1 为的中ABCADEMDE 点 在 所在平面内 将 绕点旋转一周 则的最大值为ABCADEABD AM A A B C D 3 4 3 3 4 33 4 3 2 3 4 8 已知点为坐标原点 为圆 22 1 3 1xy 的内接正三角形 则的最小值为 OABC 1 C OCOBOA 9 已知是边长为的正三角形 为的外接圆的一条直径 为的边上的动点 则ABC 32EFABC OMABC 的最大值为 FMME 10 已知点为坐标原点 为圆 22 1 3 1xy 的内接正三角形 则的最小值为 OABC 1 C OCOBOA 类型二 有关直角三角形中的向量问题 通常取边的中点 类型二 有关直角三角形中的向量问题 通常取边的中点 原理 边的中点是边的一半 便于向量的运算原理 边的中点是边的一半 便于向量的运算 y x E F D B C M O A AB C M D C A B P 精品文档 6 欢迎下载 1 如图 等腰 Rt ABC直角边的两端点A B分别在x轴 y轴的正半轴上移动 若 AB 2 则OB OC 的最大值是 2 如图 线段 点分别在轴和轴的非负半轴上运动 以为一边 在第一象限内作矩形 2AB A BxyABABCD 设为原点 则的取值范围是 1BC OOC OD 3 点 A 在单位正方形的边上运动 与的交点为 则的最大值为 OPQR PQ QROARPBOA OB 4 浙江省鄞州区余姚市 2014 届高三高考 5 月模拟 如图 边长为 2 的正三角形的两个顶点分别在ABC A B 轴的正半轴上滑动 求的最大值是 x yMBAM2 OCOM 5 理 设的面积为 2 边的中点分别为 为线段上的动点 则的最小ABC AB AC D EMDE 2 MB MCBC 值为 文 设正的面积为 2 边的中点分别为 为线段上的动点 则的最小ABC AB AC D EMDE 2 MB MCBC 值为 6 边长为 2 的正三角形 ABC 内 包括三边 有点 P 求的范围 1 PCPBABAP 四 综合知识练习 四 综合知识练习 1 设 AOB 60 且 2 则在上的投影的取值范围是 2OAOB OPOAOB OA OP 2 若平面向量 i a 满足 1 1 2 3 4 i ai 且 1 0 1 2 3 ii a ai 则 可能值有 1234 aaaa A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 3 在ABC 中 D是BC边上一点 3BDDC 若P是AD边上一动点 且2AD 则 3 PA PBPC A的最小值为 A 4 B 3 C 2 D 1 4 已知向量满足 与的夹角为 则的最大值为 a b c 4 2 2 ab a b 4 1cacb ca A B C D 1 2 2 2 1 2 21 2 21 5 2014 年浙江高考 设e1 e e2为单位向量 非零向量b b xe e1 ye e2 x y R R 若e e1 e e2的夹角为 则的最大值 6 x b 等于 精品文档 7 欢迎下载 7 如图 在平面上有一个四边形 已知 且 那么 ABCDBDBC 3 AC2 AD CDAB 8 在 OAB 中 C 为 OA 上的一点 且 2 3 OCOA D 是 BC 的中点 过点 A的直线l OD P 是直线l上的任意点 若 12 OPOBOCll 则 12 ll 9 如图 在四边形ABCD中 AB BC AD DC 若 a b 则 ABADBDAC A a2 b2 B b2 a2 C a2 b2 D ab 10 已知 ABC 为等边三角形 2AB 设点 P Q 满足 APAB 1 AQAC R 若 3 2 BQ CP 则 A 1 2 B 12 2 C 110 2 D 32 2 2 11 平面向量满足 则的最小值为 eba 1 e1 ea2 eb2 ba ba A B C 1 D 2 1 24 5 变式 1 设 为平面向量 若 则的最小值为 abe1 e1 ea2 eb2 baba 的最小值为 ba CD A B 第 7 题图 A B C D 精品文档 8 欢迎下载 变式 2 平面向量满足 当 时 的最小值为 eba 2 2 1 1 baebeaea b ba 12 设若向量满足 则的最大值是 21 ba cbabac c 13 已知向量a a b b c c 满足 a a b b a a b b a a b b c c 1 记 c c 的最大值为M 最小值为m 则M m A B 2C D 12 33 14 如图 在直角梯形ABCD中 AB CD AB 2 AD DC 1 P是线段BC上 一动点 Q是线段DC上一动点 则的 1 DQDC CPCB AP AQ 取值范围是 16 已知与的夹角为 若 则的最小值为 OAOB 6032 2 OBOAOBOAOP 23 OP 17 已知中 BC 3 AC 4 AB 5 点 P 是三边上的任意一点 m 则 m 的最小值是 ABC PA PB A 25 B C D 0 25 4 9 4 18 已知非零向量满足 则的最小值是 最大值是 cba 2 1 babaa3 bcacc 19 在平面直角坐标系中 O是坐标原点 两定点A B满足 则的夹角为 点集2 OBOAOBOAOBOA 所表示的区域的面积是 1 ROBOAOPP 20 已知向量是单位向量 若 0 且 则的取值范围是 a b a b 2 5cacb 2 ca A 1 3 B C D 3 2 3 3 6 5 5 2 2 6 5 5 21 菱形的边长为 2 点分别在边上 若ABCD120BAD E F BC DCBEBC l DFDC m 则 1AE AF 2 3 CE CF lm A B C D 1 2 2 3 5 6 7 12 22 在三角形 ABC 中 AB 2 点 D E 分别在边 AC BC 上 且 则的7 AC5 BC DA CD EC BE BDAE 最大值为 23 在等腰梯形中 已知平行 动点和分别在线段和ABCDABCD2 1 60ABBCABC EFBC 上 且 则的最小值为 DC 1 9 BEBC DFDC AE AF 精品文档 9 欢迎下载 24 在等腰梯形 ABCD 中 已知 ABDCA 2 1 60 ABBCABC 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上 且 21 36 BEBC DFDC 则AE AF 的值为 25 设O在 ABC 内部 且 则 ABC 的面积与 AOC 的面积之比为 20OAOBOC A 3 1 B 4 1 C 5 1 D 6 1 26 在中 已知9 sincossin 6 ABC AB ACBAC S 为线段上的点 且ABC PAB 则的最小值为 CB CB y CA CA xCP y x x3 43 27 设 O 是平面上一定点 A B C 是平面上不共线的三点 动点 P 满足 coscos ABAC OPOA ABBACC 则点 P 的轨迹经过 ABC 的 0 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 28 已知为线段上一点 为直线外一点 满