阴影部分面积的求法

求图形面积的几种常用方法 1 割补法 对于一些求不在一起的几块阴影面积的和 往往需要把它们通过剪割 拼补在 一起 才便于计算 在剪割 拼补过程中 一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形 状 大小必须完全一样 例 1 如图 每个小圆的半径是 2 厘米 求阴影部分的面积是多少平方厘米 例 2 右图中三个圆的半径都是 4 厘米 三个圆两两交于圆心 求阴影部分的面积是多 少平方厘米 2 重新组合法 这种方法是将不规则图形拆开 根据具体情况和计算上的需要 重新组合 成一个新的图形 设法求出这个新图形面积即可 例如 求下图中阴影部分面积 3 加减法 注意观察 所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加 再减去哪个图形变可 以得到 我们把这种通过加 减就能求出它的面积的方法 我们的把它称为 加减法 例 3 如图 正方形的边长为 4 厘米 求阴影部分的面积是多少 例 4 如图 长方形的长为 12 厘米 宽为 8 厘米 求阴影部分的面积是多少 4 辅助线法 这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线 使不规则图形转 化成若干个基本规则图形 然后再采用相加 相减法解决即可 例如 求下图中阴影部分面积 5 平移法 这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置 使之组合成一 个新的基本规则图形 便于求出面积 例如 如下图 求阴影部分面积 6 对称添补法 这种方法是作出原图形的对称图形 从而得到一个新的基本规则图形 原来 图形面积就是这个新图形面积的一半 例如 求下图中阴影部分的面积 7 旋转法 在求一些面积时 有时需要把某个图形进行一定方向的旋转 使之拼在一起 变成另一个比较方便求的图形 例 5 如图 梯形 ABCD 的上底是 3 厘米 下底是 5 厘米 高是 4 厘米 E 是梯形的中点 求阴影部分的面积是多少 8 等分法 就是将整个图形 平均分成若干份 再看所求的图形的面积占多少份 从而求 得阴影部分的面积 例 6 将三角形 ABC 的三条边分别向外延长一倍 得到一个大的六边形 已知三角形 ABC 的面积是 6 平方厘米 求大六边形的面积 例 7 如图 在正方形中 放置了两个小正方形 大正方形的面积是 180 平方厘米 求 甲乙两个小正方形有面积各是多少 9 抓不变量 若甲比乙的面积大 a 则甲和乙同时加上或减去相同的数 它们的大小不变 而图形发生变化 再通过变化后的图形进行求解 就可以使问题得到简便 若两个面积相 等的图形 同时加上或差动相同的面积 则剩下的面积仍然相等 例 8 如图 已知半圆的 AB 20 厘米 阴影 比阴影 面积大 57 平方厘米 求直角 三角形的高 BC 的长 10 一半 的应用 在正方形 长方形 平行四边形中 以其中一条边为底 在它的对边 上任意取一点 所得的三角形的面积等于整个面积的一半 例 9 一个长方形长边为 12 厘米 宽 AB 8 厘米 E 是 BC 上一点 AE 长 10 厘米 AE 和 DF 互相垂直 DF 长是多少厘米 例 10 如图 在长方形中 四条直线把长方形分成了八部分 已知其中的三部分的面积分别是 17 45 34 平方厘米 则阴影部分的 面积是多少平方厘米 11 等积变换 根据图形的特点 由面积与面积之间的相等关系 进行一些转化 从而使 问题解决得到简便 例 11 如图 由大 小两个正方形组成的图形中 小正方形的边长是 6 厘米 求图中阴 影部分的面积是多少平方厘米 分析与解 根据已知条件 要求阴影部分的面积是比较难的 但是 如果我们连接 BD 再仔细观察三角形 ACD 与三角形 ABC 不难得出它们都是以小正方形的对角线 AC 为底 以梯形 ABDC 的高为高 所以三角形 ACD 的面积 三角形 ABC 的面积 小正方形面积的一半 所以阴影部分的面积 6 6 2 18 平方厘米 例 12 三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米 AE ED BD 2 3BC 求阴影部分的面积是多少平方厘米 12 构造法 就是根据已知数据的特殊性 构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答 这种方法在以后的学习中应用得更加广泛 在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正 方形来计算的题型 例 13 一个等腰直角三角形的斜边长 6 厘米 求它的面积 13 比例法 如果两个三角形的高相等 则它们面积的比等于它们底的比 如果两个三角 形的底相等 则它们面积的比等于它们高的比 如果两个长方形的宽相等 则它们面积的 比就等于长的比 例 15 如图 在梯形 ABCD 两条对角线相交于 O 下底是上底的 3 倍 三角形 AOD 的 面积是 12 平方厘米 那么梯形的面积为多少平方厘米 例 16 如图 长方形被两条直线分成了四个小长方形 已知其中三个长方形的面积分别 是 4 6 21 平方厘米 那么阴影部分的面积是多少 14 利用 r2 和 r3 代换 有解有关圆和圆柱的题目时 如果没有告诉半径以及没有给出求 半径的条件 直接给出图形的面积时 往往不需要求半径 只需求出 r2 和 r3 即可 例 17 如图 阴影部分的面积为 20 平方厘米 求圆环的面积是多少 例 18 一个正方体的体积 50 立方厘米 一个圆柱体的底面半径 高与正方体的棱长都 相等 求这个圆柱体的体积 练习 1 如下图 矩形 ABCD 中 AB 6 厘米 BC 4 厘米 扇形 ABE 半径 AE 6 厘米 扇形 CBF 的半 CB 4 厘米 求阴影部分的面积 2 如下图 直角三角形 ABC 中 AB 是圆的直径 且 AB 20 厘米 如果阴影 的面 积比阴影 的面积大 7 平方厘米 求 BC 长 3 如下图 两个正方形边长分别是 10 厘米和 6 厘米 求阴影部分的面积 4 如下图 ABCD 是正方形 且 FA AD DE 1 求阴影部分的面积 5 如下页图 ABC 是等腰直角三角形 D 是半圆周上