二次函数的最值问题

典型中考题 有关二次函数的最值 屠园实验 周前猛 一 选择题 1 已知二次函数 y a x 1 2 b 有最小值 1 则 a 与 b 之间的大小关 A ab D 不能确定 答案 C 2 当 2 x l 时 二次函数 y x m 2 m2 1有最大值 4 则实数 m 的值为 A B C D或 7 4 3或 32或 32或 3 7 4 答案 C 当 2 x l 时 二次函数 y x m 2 m2 1有最大值 4 二次函数在 2 x l 上可能的取值是 x 2 或 x 1 或 x m 当 x 2 时 由 y x m 2 m2 1解得 m 此时 它 7 4 2 765 yx 416 在 2 x l 的最大值是 与题意不符 65 16 当 x 1 时 由y x m 2 m2 1 解得 m 2 此时 y x 2 2 5 它在 2 x l 的最大值 是 4 与题意相符 当 x m 时 由 4 x m 2 m2 1解得 m 当 m 此时 y x 2 4 它3 33 在 2 x l 的最大值是 4 与题意相符 当 m y x 2 4它在 2 x l 在 x 133 处取得 最大值小于 4 与题意不符 综上所述 实数 m 的值为 2或 3 故选 C 3 已知 0 x 那么函数 y 2x2 8x 6 的最大值是 1 2 A 10 5 B 2 C 2 5 D 6 答案 C 解 y 2x2 8x 6 2 x 2 2 2 该抛物线的对称轴是 x 2 且在 x 2 上 y 随 x 的增大 而增大 又 0 x 当 x 时 y 取最大值 y最大 2 2 2 2 2 5 故选 1 2 1 2 1 2 C 4 已知关于 x 的函数 下列结论 存在函数 其图像经过 1 0 点 函数图像与坐标轴总有三个不同的交点 当时 不是 y 随 x 的增大而增大就是 y 随 x 的增大而减小 若函数有最大值 则最大值必为正数 若函数有最小值 则最小值必为负数 真确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案 B 分析 将 1 0 点代入函数 解出 k 的值即可作出判断 首先考虑 函数为一次函数的情况 从而可判断为假 根据二次函数的增减性 即可作出判断 当 k 0 时 函数为一次函数 无最大之和最小值 当 k 0 时 函数为抛物线 求 出顶点的纵坐标表达式 即可作出判断 解 真 将 1 0 代入可得 2k 4k 1 k 1 0 解得 k 0 运用方程思想 假 反例 k 0 时 只有两个交点 运用举反例的方法 假 如 k 1 当 x 1 时 先减后增 运用举反例的方法 b5 2a4 真 当 k 0 时 函数无最大 最小值 k 0 时 y最 22 4ac b24k 1 4a8k 当 k 0 时 有最小值 最小值为负 当 k 0 时 有最大值 最大值为正 运用分类讨论思想 二 填空题 1 如图 已知 边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABCDE 其中 AF 2 BF l 在 AB 上的一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 则矩形 PNDM 的面积最大值是 答案 12 2 已知直角三角形两直角边的和等于 8 两直角边各为 时 这个直角三角形的面积 最大 最大面积是 答案 4 4 8 解 设直角三角形得一直角边为 x 则 另一边长为 8 x 设其面积为 S S x 8 x 0 x4 时 P 5 2 当 m 1 时 P 3 14 综上所述 符合条件的点 P 为 2 1 或 5 2 或 3 14 3 如图 设 D 点的横坐标为 t 0 t 4 则 D 点的纵坐标为 过 D 作 y 轴的平行线交 AC 于 E 由题意可求得直线 AC 的解析式为 E 点的坐标为 当 t 2 时 DAC 的面积最大 D 2 1 4 如图 矩形 ABCD 中 AB 3 BC 4 线段 EF 在对角线 AC 上 EG AD FH BC 垂足分 别是 G H 且 EG FH EF 1 求线段 EF 的长 2 设 EG x AGE 与 CFH 的面积和为 S 写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取 值范围 并求出 S 的最小值 5 如图 点 C 是线段 AB 上的任意一点 C 点不与 A B 点重合 分别以 AC BC 为边在直 线 AB 的同侧作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE AE 与 CD 相交于点 M BD 与 CE 相交 于点 N 1 求证 MN AB 2 若 AB 的长为 l0cm 当点 C 在线段 AB 上移动时 是否存在这样的一点 C 使线段 MN 的 长度最长 若存在 请确定 C 点的位置并求出 MN 的长 若不存在 请说明理由 1 由题中条件可得 ACE DCB 进而得出 ACM DCN 即 CM CN MCN 是等边 三角形 即可得出结论 2 可先假设其存在 设 AC x MN y 进而由平行线分线段成比例即可得出结论 解答 1 证明 ACD 与 BCE 是等边三角形 AC CD CE BC ACE BCD 在 ACE 与 DCB 中 AC CD ACE BC D CE BC ACE DCB SAS CAE BDC 在 ACM 与 DCN 中 CAE BDC AC CD ACM DCN ACM DCN CM CN 又 MCN 180 60 60 60 MCN 是等边三角形 MNC NCB 60 即 MN AB 2 解 假设符合条件的点 C 存在 设 AC x MN y 6 如图 在 ABC 中 A 90 10 BC ABC 的面积为25 点 D为AB边上的任意一点 D不与A B重合 过点D作DE BC 交AC于 点E 设 xDE 以DE为折线将 ADE翻折 所得的 DEA 与梯形DBCE重 叠部分的面积记为 y 1 用 x 表示 ADE 的面积 2 求出0 x 5时 y 与 x 的函数关系式 3 求出5 x 10时 y 与 x 的函数关系式 4 当x取何值时 y 的值最大 最大值是多少 解 1 DE BC ADE B AED C ADE ABC 2 BC DE S S ABC ADE 即 2 4 1 xS ADE 2 BC 10 BC 边所对的三角形的中位线长为 5 当 0 5 x 时 2 4 1 xSy ADE 3 x 5 10 时 点 A 落在三角形的外部 其重叠部分为梯形 S A DE S ADE 2 4 1 x DE 边上的高 AH AH x 2 1 由已知求得 AF 5 A F AA AF x 5 由 A MN A DE 知 2 DEA MNA HA FA S S 2 MNA 5 xS 2510 4 3 5 4 1 222 xxxxy 4 在函数 2 4 1 xy 中 0 x 5 当 x 5 时 y 最大为 4 25 在函数 2510 4 3 2 xxy 中 当 3 20 2 a b x 时 y 最大为 3 25 4 25 3 25 当 3 20 x 时 y 最大为 3 25 C B A 7 如图 抛物线2 2 1 2 bxxy与x轴交于 A B 两点 与 Y 轴交于 C 点 且 A 1 0 1 求抛物线的解析式及顶点 的坐标 2 判断 的形状 证明你的结论 3 点 m 0 是 轴上的一个动点 当 的值最小时 求 m 的值 解 1 将 A 1 0 代入2 2 1 2 bxxy 得 2 3 b 所以抛物线的解析式2 2 3 2 1 2 xxy 配方得 8 25 2 3 2 1 2 xy 所以顶点 D 8 25 2 3 2 求出 AC 5 BC 20 而 AB 5 222 ABBCAC 故 为 RT 3 作点 C 关于 X 轴的对称点 E 2 0 连接 DE 交 X 轴于点 M 通过两点式可求得直线 DE 的 解析式 2 12 41 xy 当y 0 时 解得x 41 24 41 24 0 即 m 41 24 8 如图 直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 a 0 相交于 A 和 1 2 5 2 B 4 m 点 P 是线段 AB 上异于 A B 的动点 过点 P 作 PC x 轴于点 D 交 抛物线于点 C 1 求抛物线的解析式 2 是否存在这样的 P 点 使线段 PC 的长有最大值 若存在 求出这个 最大值 若不存在 请说明理由 3 求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 ABO C D E M X Y 分析 1 已知 B 4 m 在直线 y x 2 上 可求得 m 的值 抛物线图象上的A B 两点坐标 可将其代入抛物线的解析式中 通过联立方程组即可求得待定系数的 值 2 要弄清 PC 的长 实际是直线AB 与抛物线函数值的差 可设出P 点横坐 标 根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出P C 的纵坐标 进而得到关于PC 与 P 点横坐标的函数关系式 根据函数的性质即可求出PC 的最大值 3 当 PAC 为直角三角形时 根据直角顶点的不同 有三种情形 需要分类讨论 分别求解 解 1 B 4 m 在直线线 y x 2 上 m 4 2 6 B 4 6 A B 4 6 在抛物线 y ax2 bx 6 上 1 2 5 2 2 a b 6 6 16a 4b 6 5 2 1 2 1 2 解得 a 2 b 8 抛物线的解析式为y 2x2 8x 6 2 设动点 P 的坐标为 n n 2 则 C 点的坐标为 n 2n2 8n 6 PC n 2 2n2 8n 6 2n2 9n 4 2 n 2 9 4 49 8 PC 0 当 n 时 线段 PC 最大且为 9 4 49 8 3 PAC 为直角三角形 i 若点 P 为直角顶点 则 APC 90 由题意易知 PC y 轴 APC 45 因此这种情形不存在 ii 若点 A 为直角顶点 则 PAC 90 如答图 3 1 过点 A 作 AN x 轴于点 N 则 ON AN 1 2 5 2 1 2 5 2 过点 A 作 AM 直线 AB 交 x 轴于点 M 则由题意易知 AMN 为等腰直角三 角形 MN AN OM ON MN 3 5 2 5 2 M 3 0 设直线 AM 的解析式为 y kx b 则 k b 3k b 0 解得 k 1 b 3 1 2 5 2 直线 AM 的解析式为 y x 3 又抛物线的解析式为 y 2x2 8x 6 联立 式 解得 x 3 或 x 1 2 与点 A 重合 舍去 C 3 0 即点 C M 重合 当 x 3 时 y x 2 5 P1