层次分析法方法介绍(有过程)

层次分析法层次分析法 AHP AHP AHP Analytic Hierarchy Process 方法 是由 20 世纪 70 年代由美国著名 运筹学学家 T L Satty 提出的 它是指将决策问题的有关元素分解成目标 准 则 方案等层次 在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法 这一 方法的特点 是在对复杂决策问题的本质 影响因素及其内在关系等进行深入 分析之后 构建一个层次结构模型 然后利用较少的定量信息 把决策的思维 过程数学化 从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便 的决策方法 AHP 十分适用于具有定性的 或定性定量兼有的决策分析 这是一种十分 有效的系统分析和科学决策方法 现在已广泛地应用在企业信用评级 经济管 理规划 能源开发利用与资源分析 城市产业规划 企业管理 人才预测 科 研管理 交通运输 水资源分析利用等方面 一 递阶层次结构的建立一 递阶层次结构的建立 一般来说 可以将层次分为三种类型 1 最高层 只包含一个元素 表示决策分析的总目标 因此也称为总目 标层 2 中间层 包含若干层元素 表示实现总目标所涉及的各子目标 包含 各种准则 约束 策略等 因此也称为目标层 3 最低层 表示实现各决策目标的可行方案 措施等 也称为方案层 典型的递阶层次结构如下 m 准则 1准则 2准则 3准则 m1 子准则 1子准则 2子准则 3子准则 m2 方案 1方案 2方案 3方案 n 一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要 因此在建立递阶层次结构时 应注意到 1 从上到下顺序地存在支配关系 用直线段 作用线 表示上一层次因 总目标 素与下一层次因素之间的关系 同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系 2 整个结构不受层次限制 3 最高层只有一个因素 每个因素所支配元素一般不超过 9 个 元素过 多可进一步分层 4 对某些具有子层次结构可引入虚元素 使之成为典型递阶层次结构 二 构造比较判断矩阵二 构造比较判断矩阵 设有 m 个目标 方案或元素 根据某一准则 将这 m 个目标两两进行比较 把第 i 个目标 i 1 2 m 对第 j 个目标的相对重要性记为 aij j 1 2 m 这样构造的 m 阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先 权重 成为权重解析判断矩阵 简称判断矩阵 记作 A aij m m Satty 于 1980 年根据一般人的认知习惯和判断能力给出了属性间相对重要 性等级表 见表 4 4 利用该表取 aij的值 称为 1 9 标度方法 表 4 4 目标重要性判断矩阵 A 中元素的取值 相对重要性定义说明 1同等重要两个目标同样重要 3略微重要由经验或判断 认为一个目标比另一个略微重要 5相当重要由经验或判断 认为一个目标比另一个重要 7明显重要深感一个目标比另一个重要 且这种重要性已有实践证明 9绝对重要强烈地感到一个目标比另一个重要得多 2 4 6 8两个相邻判断的中间值需要折中时采用 若决策者能够准确估计 aij i j k 1 2 m 则有 aij 1 aji aij aik akj aii 1 定义定义 4 14 1 设 A aij m m A 0 即 aij 0 i j 1 2 m 如果满足条件 1 aii 1 i 1 2 m 2 aij 1 aji i j 1 2 m 则称矩阵 A 为 互反正矩阵 定义定义 4 24 2 设 A aij m m A 0 如果满足条件 aij aik akj i j k 1 2 m 则称矩阵 A 为一致性矩阵 定理定理 4 14 1 对于任何一个 m 阶互反正矩阵 A 均有 m 其中是矩阵 max max A 的最大特征值 定理定理 4 24 2 m 阶互反正矩阵 A 为一致性矩阵的充分必要条件是 A 的最大特征 根为 m 三 单准则下的排序三 单准则下的排序 层次分析法的信息基础是比较判断矩阵 由于每个准则都支配下一层若干 因素 这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵 因此根据比较判断矩阵如何求得各因素 w1 w2 wm对于准则 A 的相对排序权 重的过程称为单准则下的排序 这里设 A aij m m A 0 一 本征向量法 利用 AW W 求出所有的值 其中为的最大值 求出对应的特 max max 征向量 W 然后把特征向量 W 规一化为向量 W 则 W w1 w2 wm T为各个目标 的权重 求需要解 m 次方程 当 m 3 时 计算比较麻烦 可以利用 matlab 来求解 二 判断矩阵的近似解法 判断矩阵是决策者主观判断的定量描述 求解判断矩阵不要求过高的精度 这里 介绍三种近似计算方法 根法 和法及幂法 幂法适于在计算机上运算 1 根法 1 A 中每行元素连乘并开 m 次方 得到向量其中 T m wwwW 2 1 m m j iji aw 1 2 对 W 作归一化处理 得到权重向量 W w1 w2 wm T 其中 m i iii www 1 3 对 A 中每列元素求和 得到向量 S s1 s2 sm 其中 sj m i ij a 1 4 计算的值 max SWws i m i i 1 max m i i i w AW m 1 1 2 和法 1 将 A 的元素按列作归一化处理 得矩阵 Q qij m m 其中 m k kjijij aaq 1 2 将 Q 的元素按行相加 得向量 其中 T m 21 m j iji q 1 3 对向量作归一化处理 得权重向量 W w1 w2 wm T 其中 m k kii w 1 4 求出最大特征值 m i i i w AW m 1 max 1 3 幂法 幂法是一种逐步迭代的方法 经过若干次迭代计算 按照规定的精度 求 出判断矩阵 A 的最大特征值及其对应的特征向量 定理定理 3 3 设矩阵 A aij m m A 0 则 其中 W 是 A 的最CW eAe eA kT k k lim 大特征值对应的的特征向量 C 为常数 向量 e 1 1 1 T 幂法的计算步骤是 任取初始正向量 X 0 x1 0 x2 0 xm 0 T 计算 0 0 0 0 0 0 max mXYxXm i i 迭代计算 对于 k 0 1 2 计算 1 1 1 1 1 1 1 max k kkk i i k k kk mXYxXmAYX 精度检查 当时 转入步骤 否则 令 k k 1 转入步 kk mm 1 骤 求最大特征值和对应的特征向量 将 Y k 1 归一化 即 1max 1 1 1 k m i k i k myYW 例例 判断矩阵 1 2 5 A 1 2 1 7 1 5 1 7 1 用幂法计算 A 的最大特征值及其对应额特征向量 精度 0 0001 max 解 取初始向量 X 0 1 1 1 T 迭代过程见下表 kX k Y k 0111111 18 00008 50001 34290 941210 1580 23 73122 57660 489110 69060 1311 33 03672 10830 426810 69430 1415 43 09612 18480 440610 70570 1423 53 12292 20180 443110 70500 1419 63 11952 19830 442610 70470 1419 73 11892 19800 442610 70470 1419 83 11892 19800 442610 70470 1419 由上表看出 当 k 7 时 m8 m7 3 1189 3 1189 0 0 0001 迭代终止 得到 3 1189 W 0 5415 0 3816 0 0769 T max 四 单准则下的一致性检验四 单准则下的一致性检验 由于客观事物的复杂性 会使我们的判断带有主观性和片面性 完全要求 每次比较判断的思维标准一致是不太可能的 因此在我们构造比较判断矩阵时 我们并不要求 n n 1 2 次比较全部一致 但这可能出现甲与乙相比明显重要 乙与丙相比极端重要 丙与甲相比明显重要 这种比较判断会出现严重不一致 的情况 我们虽然不要求判断具有一致性 但一个混乱的 经不起推敲的比较 判断矩阵有可能导致决策的失误 所以我们希望在判断时应大体一致 而上述 计算权重的方法 当判断矩阵过于偏离一致性时 其可靠程度也就值得怀疑了 因此 对于每一层次作单准则排序时 均需要作一致性的检验 一致性指标 Consistency Index CI 1 max m m CI 随机指标 Random Index RI 一致性比率 Consistency Rate CR CR CI RI 当 CR 取 0 1 时 最大特征值 CI m 1 m 0 1 RI m 1 m max 表 4 5 随机指标 RI 取值表 max m123456789 RI000 580 901 121 241 321 411 45 max 3 1164 275 456 627 798 9910 16 表中当 n 1 2 时 RI 0 这是因为 1 2 阶判断矩阵总是一致的 当 n 3 时 若 CR 0 1 即 认为比较判断矩阵的一致性可以接受 max max 否则应对判断矩阵作适当的修正 直到小于通过一致性检验时 求得 max max 的 W 才有效 五 层次总排序五 层次总排序 计算同一层次中所有元素对最高层 总目标 的相对重要性标度 又称权 重向量 称为层次总排序 1 层次总排序的步骤为 1 计算同一层次所有因素对最高层相对重要性的权重向量 这一过程是 自上而下逐层进行 2 设已计算出第 k 1 层上有 nk 1个元素相对总目标的权重向量为 w k 1 w1 k 1 w2 k 1 wn k 1 k 1 T 3 第 k 层有个 nk个元素 他们对于上一层次 第 k 1 层 的某个元素 j 的单准则权重向量为 pj k w1j k w2j k wnkj k T 对于与 k 1 层第 j 个元 素无支配关系的对应 wij取值为 0 4 第 k 层相对总目标的权重向量为 wk p1 k p2 k pk 1 k w k 1 2 层次总排序的一致性检验 人们在对各层元素作比较时 尽管每一层中所用的比较尺度基本一致 但 各层之间仍可能有所差异 而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起 来 因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著 检验的过 程称为层次总排序的一致性检验 第 k 层的一致性检验指标 CIk CI1 k 1 CI2 k 1 CInK k 1 w k 1 RIk RI1 k 1 RI2 k 1 RInK k 1 w k 1 CRk CRk 1 CIk RIk 3 k n 当 CRk 0 1 可认为评价模型在第 k 层水平上整个达到局部满意一致性 六 递阶层次结构权重解析过程六 递阶层次结构权重解析过程 1 树状结构目标体系 目标可分为多个层次 每个下层目标都隶属于一个而且只隶属一个上层目 标 下层目标是对上层目标的具体说明 对于树状结构的目标体系 需由上而 下逐步确定权重 即由树干向树梢 求树杈各枝相对于树杈的权重 2 网状结构目标体系 网状结构的目标也分为多个层次 每个下层目标隶属于某几个上层目标 至少有一个下层目标隶属于不止一个上层目标 七 七 AHPAHP 方法的基本步骤方法的基本步骤 层次分析法大体分为以下六个步骤 1 明确问题 2 建立层次结构 3 两两比较 建立判断矩阵 4 层次单排序及其一致性检验 5 层次总排序及其一致性检验 6 根据分析计算结果 考虑相应的决策 例例 4 44 4 1 建立方案评价的递阶层次结构模型 决策目标 A 商品价格 B质量 C 企业财务状况 D售后服务水平 E 候选人 X候选人 Y候选人 Z 2 构造比较判断矩阵 设以 A 为比较准则 B C D E 的两两比较判断矩阵为 A 类似地构造矩 阵 B C D E ABCDE B1234 C1 2123 D1 31 213 2 E1 41 32 31 BXYZ X13 24 5 Y2 318 15 Z5 415 81 CXYZ X13 21 2 Y2 311 2 Z221 DXYZ X132 Y1 313 4 Z1 24 31 EXYZ X13 21 2 Y2 311 3 Z231 对于上述各比较判断矩阵 用 Matlab 数学软件求出其最大特征值及其对应的特征 向量 将特征向量经归一化后 即可得相应的层次单排序的相对重要性权重向量 以 及一致性指标 CI 和一致性比率 CR 列表如下 层次单排序及一致性计算结果 矩阵层次单排序的权重向量 max max 1 max mmCI RICR CI RI A 0 4694 0 2788 0 1491 0 1027 T 4 01644 270 00550 900 0061 B 0 3429 0 2286 0 4286 T33 11600 580 C 0 2849 0 2174 0 4977 T3 01833 1160 00910 580 0158 D 0 5472 0 1897 0 2631 T3 00153 1167 7081e 0040 580 0013 E 0 2727 0 1818 0 5455 T3 00003 1162 2204e 0160 583 8284e 016 由此可见 所有五个层次单排序的的值均小于 CR 的值均小于 0 1 符合 max max 一致性要求 4 层次总排序 已知第二层 相对于总目标层 的排序向量为 W 2 0 4694 0 2788 0 1491 0 1027 T 而第三层 X Y Z 以第二层各个因素为准则的 排序向量分别为 Pb 3 0 3429 0 2286 0 4286 T Pc 3 0 2849 0 2174 0 4977 T Pd 3 0 5472 0 1897 0 2631 T Pe 3 0 2727 0 1818 0 5455 T 则第三层 X Y Z 相对于总目标的排序向量为 W 3 Pb 3 Pc 3 Pd 3 Pe 3 W 2 0 3500 0 2149 0 4352 T 5 层次总排序的一致性检验 由于 CI 2 CIb CIc CId CIe O 0 0091 0 0008 0 0000 RI 2 RIb RIc RId RIe 0 5800 0 5800 0 5800 0 5800 CR2 CRa 0 0061 因此 CI3 CI 2 W 2 0 0027 RI3 RI 2 W 2 0 5800 CR3 CR2 CI3 RI3 0 0107 0 1 当 CR3 X Y