中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

1 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 数学周报数学周报 杯杯 2007 年全年全 国初中数学竞赛试题参考答案国初中数学竞赛试题参考答案 一 选择题 共一 选择题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3030 分分 以下每道小题均给出了代号为以下每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题后的请将正确选项的代号填入题后的 括号里括号里 不填 多填或错填得零分 不填 多填或错填得零分 1 方程组 12 6 xy xy 的解的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答 答 A 解 解 若x 0 则 12 6 xy xy 于是6yy 显然不可能 若0 x 则 12 6 xy xy 于是18yy 解得9y 进而求得3x 所以 原方程组的解为 9 3 y x 只有 1 个解 故选 A 2 口袋中有 20 个球 其中白球 9 个 红球 5 个 黑球 6 个 现从中任取 10 个球 使得 白球不少于 2 个但不多于 8 个 红球不少于 2 个 黑球不多于 3 个 那么上述取法的种数是 A 14 B 16 C 18 D 20 答 答 B 解 解 用枚举法 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2 3 4 5 3 2 1 0 4 4 3 4 5 6 3 2 1 0 4 3 4 5 6 7 3 2 1 0 4 2 5 6 7 8 3 2 1 0 4 所以 共 16 种 故选 B 3 已知 ABC为锐角三角形 O经过点 B C 且与边 AB AC 分别相交于点 D E 若 O的半径与 ADE的外接圆的半径相等 则 O一定经过 ABC的 A 内心 B 外心 C 重心 D 垂心 答答 B 解 解 如图 连接 BE 因为 ABC为锐角三角形 所以BAC ABE 均为锐角 又因为 O的半径与 ADE的外接圆的半径相等 且 DE为两圆的公共弦 所以BACABE 于是 2 2BECBACABEBAC 若 ABC的外心为 1 O 则 1 2BOCBAC 所以 O一定过 ABC的外心 故选 B 4 已知三个关于 x 的一元二次方程 0 2 cbxax 0 2 acxbx 0 2 baxcx 恰有一个公共实数根 则 222 abc bccaab 的值为 A 0 B 1 C 2 D 3 答答 D 解 解 设 0 x是它们的一个公共实数根 则 0 0 2 0 cbxax 0 0 2 0 acxbx 0 0 2 0 baxcx 把上面三个式子相加 并整理得 2 00 1 0abc xx 因为 22 000 13 1 0 24 xxx 所以0abc 于是 222333333 abcabcabab bccaababcabc 3 3 ab ab abc 故选 D 5 方程 323 652xxxyy 的整数解 x y 的个数是 A 0 B 1 C 3 D 无穷多 答 答 A 解 解 原方程可化为 2 1 2 3 1 1 2x xxxxy yy 因为三个连续整数的乘积是 3 的倍数 所以上式左边是 3 的倍数 而右边除以 3 余 2 这是不 可能的 所以 原方程无整数解 故选 A 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3030 分 分 6 如图 在直角三角形 ABC 中 90ACB CA 4 点 P 是半圆弧 AC 的中点 连接 BP 线段 BP 把图形 APCB 分成两部分 则这两部分面积之差的绝对值是 答 答 4 解 解 如图 设 AC 与 BP 相交于点 D 点 D 关于圆心 O 的对称 点记为点 E 线段 BP 把图形 APCB 分成两部分 这两部分面 积之差的绝对值是 BEP 的面积 即 BOP 面积的两倍 而 11 2 22 22 BPO SPO CO 因此 这两部分面积之差的绝对值是 4 第 3 题答案图 第 6 题答案图 3 7 如图 点 A C 都在函数 3 3 0 yx x 的图象上 点 B D 都在x轴上 且使得 OAB BCD 都是等边三角形 则点 D 的坐标为 答 答 2 6 0 解 解 如图 分别过点 A C 作 x 轴的垂线 垂足分别为 E F 设 OE a BF b 则 AE 3a CF 3 b 所以 点 A C 的坐标为 a 3a 2a b 3 b 所以 2 33 3 3 2 3 3 a bab 解得 3 63 a b 因此 点 D 的坐标为 2 6 0 8 已知点 A B 的坐标分别为 1 0 2 0 若二次函数 2 33yxax 的图象 与线段 AB 恰有一个交点 则a的取值范围是 答 答 1 1 2 a 或者32 3a 解 解 分两种情况 因为二次函数 2 33yxax 的图象与线段 AB 只有一个交点 且点 A B 的坐 标分别为 1 0 2 0 所以 032 3 231 3 1 22 aa 得 1 1 2 a 由031 3 12 a 得1a 此时1 1 x 3 2 x 符合题意 由032 3 22 a 得 1 2 a 此时2 1 x 2 3 2 x 不符合题意 令 2 330 xax 由判别式0 得32 3a 当32 3a 时 12 3xx 不合题意 当32 3a 时 12 3xx 符合题意 综上所述 a的取值范围是1 1 2 a 或者32 3a 9 如图 90ABCDEFGn 则 n 答 答 6 解 解 如图 设 AF 与 BG 相交于点 Q 则 AQGADG 第 7 题答案图 4 于是 ABCDEFG BCEFAQG BCEFBQF 5406 90 所以 n 6 10 已知对于任意正整数 n 都有 3 12n aaan 则 23100 111 111aaa 答 答 33 100 解 解 当n 2 时 有 3 121 naaaa nn 3 121 1 n aaan 两式相减 得 2 331 n ann 所以 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 nnnnan 4 3 2 n 因此 23100 111 111aaa 111 11111 1 323 233 99100 1133 1 3100100 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 题 每小题题 每小题 1515 分 满分分 满分 6060 分 分 11 A 已知点 M N 的坐标分别为 0 1 0 1 点 P 是抛物线 2 1 4 yx 上的一 个动点 1 判断以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线1y 的位置关系 2 设直线 PM 与抛物线 2 1 4 yx 的另一个交点为点 Q 连接 NP NQ 求证 PNMQNM 解 解 1 设点 P 的坐标为 2 00 1 4 xx 则 第 9 题答案图 5 PM 222222 0000 111 1 1 1 444 xxxx 又因为点 P 到直线1y 的距离为 22 00 11 1 1 44 xx 所以 以点 P 为圆心 PM 为半径的圆与直线1y 相切 5 分 2 如图 分别过点 P Q 作直线1y 的垂线 垂足分 别为 H R 由 1 知 PH PM 同理可得 QM QR 因为 PH MN QR 都垂直于直线1y 所以 PH MN QR 于是 QMMP RNNH 所以 QRPH RNHN 因此 Rt PHN Rt QRN 于是HNPRNQ 从而PNMQNM 15 分 12 A 已知 a b 都是正整数 试问关于 x 的方程 2 1 0 2 xabxab 是 否有两个整数解 如果有 请把它们求出来 如果没有 请给出证明 解 解 不妨设a b 且方程的两个整数根为 12 xx 1 x 2 x 则有 12 12 1 2 xxab x xab 所以 1212 11 22 x xxxabab 12 4 1 1 21 21 5xxab 5 分 因为a b 都是正整数 所以 x1 x2均是正整数 于是 1 1x 0 2 1x 0 21a 1 21b 1 所以 12 1 1 0 21 21 5 xx ab 或 1 12 12 1 1 1 21 ba xx 1 当 12 1 1 0 21 21 5 xx ab 时 由于 a b 都是正整数 且a b 可得 a 1 b 3 第 11A 题答案图 6 此时 一元二次方程为 2 320 xx 它的两个根为 1 1x 2 2x 2 当 12 1 1 1 21 21 1 xx ab 时 可得 a 1 b 1 此时 一元二次方程为 2 10 xx 它无整数解 综上所述 当且仅当 a 1 b 3 时 题设方程有整数解 且它的两个整数解为 1 1x 2 2x 15 分 13 A 已知 AB 为半圆 O 的直径 点 P 为直径 AB 上的任意一点 以点 A 为圆心 AP 为半径作 A A 与半圆 O 相交于点 C 以点 B 为圆心 BP 为半径作 B B 与半圆 O 相 交于点 D 且线段 CD 的中点为 M 求证 MP 分别与 A 和 B 相切 证明 如图 连接 AC AD BC BD 并且分别过点 C D 作 AB 的垂线 垂足分别为 E F 则 CE DF 因为 AB 是 O 的直径 所以 90ACBADB 在 Rt ABC和 Rt ABD中 由射影定理得 22 PAACAE AB 22 PBBDBF AB 5 分 两式相减可得 22 PAPBAB AEBF 又 22 PAPBPAPB PAPBAB PAPB 于是有 AEBFPAPB 即 PAAEPBBF 所以PEPF 也就是说 点 P 是线段 EF 的中点 因此 MP 是直角梯形CDFE的中位线 于是有MPAB 从而可得 MP 分别与 A 和 B 相切 15 分 14 A 1 是否存在正整数 m n 使 得 2 1 m mn n 第 13A 题答案图 7 2 设k k 3 是给定的正整数 是否存在正整数 m n 使得 1 m mkn n 解 解 1 答案是否定的 若存在正整数 m n 使得 2 1 m mn n 则 22 1 1mnn 显然1n 于是 222 1 1 nnnn 所以 2 1nn 不是平方数 矛盾 5 分 2 当3k 时 若存在正整数 m n 满足 3 1 m mn n 则 22 41244mmnn 22 23 21 8mn 2321 2321 8mnmn 1 2 2mnmn 而22mn 故上式不可能成立 10 分 当k 4 时 若2kt t 是不小于 2 的整数 为偶数 取 22 1mttnt 则 2242 m mktt tttt 2242 1 1 n ntttt 因此这样的 m n 满足条件 若2kt 1 t 是不小于 2 的整数 为奇数 取 22 2 22 tttt mn 则 22 432 1 21 22 224 tt tt m mkttttt 22 432 21 1 22 224 tttt n ntttt 因此这样的 m n 满足条件 综上所述 当3k 时 答案是否定的 当k 4 时 答案是肯定的 15 分 注 当k 4 时 构造的例子不是唯一的 8 11 B 已知抛物线 1 C 2 34yxx 和抛物线 2 C 2 34yxx 相交 于 A B 两点 点 P 在抛物线 1 C上 且位于点 A 和点 B 之间 点 Q 在抛物线 2 C上 也位于点 A 和点 B 之间 1 求线段 AB 的长 2 当 PQ y 轴时 求 PQ 长度的最大值 解 解 1 解方程组 2 2 34 34 yxx yxx 得 1 1 2 6 x y 2 2 2 6 x y 所以 点 A B 的坐标分别是 2 6 2 6 于是 22 22 66 4 10AB 5 分 2 如图 当 PQ y 轴时 设点 P Q 的坐标分别为 43 2 ttt 43 2 ttt 22t 因此 PQ 2 2 4 t 8 当0t 时等号成立 所以 PQ 的长的最大值 8 15 分 12 B 实数 a b c 满足 a b c 且0abbcca abc 1 求最大的实数 k 使得 不等式 ab k c 恒成立 解 解 当 3 2ab 3 2 2 c 时 实数 a b c 满足题设条件 此时k 4 5 分 下面证明 不等式ab 4 c 对满足题设条件的实数 a b c 恒成立 由已知条件知 a b c 都不等于 0 且0c 因为 第 11B 题答案图 9 2 11 0 0abab cc 所以a b0 由一元二次方程根与系数的关系知 a b 是一元二次方程 2 2 11 0 xx cc 的两个实数根 于是 4 14 cc 0 所以 3 c 1 4 10 分 因此 2 1 abab c 44cc 15 分 13 B 如图 点 E F 分别在四边形 ABCD 的边 AD BC 的延长线上 且满足 DEAD CFBC 若CD FE的延长线相交于点G DEG的外接圆与 CFG的外接圆的另一个 交点为点P 连接 PA PB PC PD 求证 1 ADPD BCPC 2 PAB PDC 证明证明 1 连接 PE PF PG 因为PDGPEG 所以 PDCPEF 又因为PCGPFG 所以 PDC PEF 于是有 PDPE CPDFPE PCPF 从而 PDE PCF 所以 PDDE PCCF 又已知 DEAD CFBC 所以 ADPD BCPC 10 分 2 由于PDAPGEPCB 结合 1 知 PDA PCB 从而有 PAPD PBPC DPACPB 所以APBDPC 因此 PAB PDC 15 分 第 13B 题答案图 10 14 B 证明