工程问题解析和相关练习题

第一讲第一讲 工程问题工程问题 本讲知识介绍 本讲知识介绍 工程问题是特殊的分数应用题 它是从分率的角度 来研究工作总量 工作时间以及工作效率三者之间关系的问题 其 特点是 将工作总量看成单位 1 用分率来表示工作效率 例如 一条路 10 天修完 这里把这条路的长度看成单位 1 根据分数的意 义 每天修了这条路的 1 10 十分之一 就是用分率表示的工作效 率 工作总量 工作效率 工作时间三者之间的关系 公式 是 工作效率 工作时间 工作总量 工作总量 工作效率 工作时间 工作总量 工作时间 工作效率 通俗地理解 工作总量 需要完成的工作任务 工作效率 完成工作任务的快 慢速度 工作时间 完成工作任务需要的时间 培养能力 理解能力 分析能力 综合能力 推算能力 以及转化能力 训练思维 假设思维 比较思维 对应思维 恒等思想 教会学生方法 1 只要看到完成的天数 马上就要想到工作效率为 1 天数 1 天 数 即 天数分之一 2 只要看到 一项工程 马上想到把 这项工程 看成单位 1 3 合作的天数与各自做的天数可以灵活转化 如甲 乙合作了 8 天 指的在相同时间内 甲乙各自都做了 8 天 在时间上是同时进行的 再如甲工作了 10 天 乙工作了 12 天 可以转化为甲 乙合作了 10 天 乙再单独做了 2 天 4 再根据公式 工作总量 工作效率 工作时间 来解题 分数应用题里面有一个非常重要的公式 对应量 对应分率 单位 1 举个例子 现在有一条公路要修 甲工程队 5 天可以修完 又知道 甲工程队星期一修了 600 米 请问这条公路全长多少米 分析 首先把这条公路全长看成单位 1 5 天修完 那么每天就修 1 5 这个 1 5 是每天修的 是用分率表示的工作效率 而题目中还 告诉我们甲工程队每天 星期一就是一天的时间 可以修 600 米 这个 600 米的工作效率是一个具体的数量 其实 1 5 与 600 米都是 讲的甲工作队的工作效率 是甲工程队的工作效率的两种不同表示 方法 一个是分率一个是量 两者是对应的关系 六年级一班的班长是小明 那么有一天 大家在课间休息的时 候 班主任跑到教室门口 叫 班长过来一下 或者是 小明过 来一下 大家可能都有这样的经验 当听到 班长过来一下 时大家都会想 到老师找小明干什么 当听到 小明过来一下 时 大家都会想到 老师找班长干什么 这里 班长与小明就是一个对应关系 根据 对应量 对应分率 单位 1 600 1 5 3000 米 这个 3000 米就是单位 1 这条公路的长度 名题解析名题解析 例题 1 一条公路 甲乙两个工程队 12 天可以修完 甲乙两个工程 队合修 8 天后 剩下的由乙队独修 10 天才能修完 求甲乙两队独修 这条公路各需要多少天 分析 把一条公路看成单位 1 甲乙工作效率的与是 1 12 1 12 甲乙合修 8 天完成了 1 12 8 2 3 还剩下 1 2 3 1 3 剩下的 1 3 乙独修了 10 天完成 乙的工作效率为 1 3 10 1 30 甲的工作效率就为 1 12 1 30 1 20 所以甲单独完 成需要多少天 1 1 20 20 天 乙单独完成需要多少天 1 1 30 30 天 例题 2 一件工程 甲乙合作需要 10 天完成 乙丙合作需要 12 天 完成 甲丙合作需要 15 天完成 现在由甲乙丙三人合作需要多少天 完成 分析 把一件工程看成单位 1 那么甲乙工作效率的与是 1 10 1 10 乙丙的工作效率的与为 1 12 1 12 甲丙的工作效率 的与为 1 15 1 15 也就是甲的工作效率 乙的工作效率 1 10 乙 的工作效率 丙的工作效率 1 12 甲的工作效率 丙的工作效率 1 15 三个式子一相加得到 甲工作效率 乙工作效率 丙工作效 率 2 1 10 1 12 1 15 所以得到甲乙丙三人工作效率的与为 1 10 1 12 1 15 2 1 8 所以甲乙丙三人合作完成的时间就是 1 1 8 8 天 例题 3 一项工程 甲队独做需要 30 天 乙队独做需要 20 天 现 在由甲乙两队合作 甲队在施工过程中因故离开 使得这次工程从 开工到结束一共花了 16 天时间 求甲队离开了几天 分析 把这项工程看成单位 1 乙队没有离开 那么乙队就工 作了 16 天 乙队的工作效率是 1 20 1 20 乙队工作了 16 天完成 了 1 20 16 4 5 那么甲一共完成了多少工作量呢 1 4 5 1 5 又知道甲队的工作效率为 1 30 1 30 所以甲队完成 1 5 用了多少 天呢 1 5 1 30 6 天 所以甲队离开了 16 6 10 天 时间 例题 4 一项工程 甲 乙合作 5 小时完成 乙 丙合作 4 小时完 成 现在乙先做 6 小时后离开 甲 丙接着合作 2 小时正好做完 那么甲单独做需要多少小时 分析 把一项工程看成单位 1 甲乙的工作效率的与为 1 5 乙丙的 工作效率的与为 1 4 现在乙先做 6 小时后离开 甲丙接着合作 2 小时正好做完 可以转化为甲乙合作 2 小时 乙丙合作 2 小时 乙 再单独做 2 小时恰好做完 甲乙合作 2 小时完成 1 5 2 2 5 乙丙 合作 2 小时完成 1 4 2 1 2 可见乙单独做 2 小时完成的工作量为 1 1 2 2 5 1 10 所以乙的工作效率为 1 10 2 1 20 又知道甲乙 的工作效率的与为 1 5 那么甲的工作效率为 1 5 1 20 3 20 那么 甲单独完成一项工程所需要的时间为 1 3 20 6 小时 3 2 例题 5 师徒二人合作 10 天可以完成一批零件 现在师傅先做 1 天 后离开 徒弟接着做 5 天 这时还剩下这批零件的 23 30 已知土 地一共比师傅多加工 96 个 求这批零件有多少个 分析 把这批零件看成单位 1 师徒二人的工作效率的与为 1 10 现 在 师傅先做 1 天后离开 徒弟再接着做 5 天 可以转化为 师徒 二人合作 1 天后 徒弟再接着单独做 4 天 完成了这批零件的 1 23 30 7 30 师徒二人合作 1 天完成了 1 10 可见徒弟单独做 4 天 一共完成了这批零件的 7 30 1 10 2 15 徒弟每天完成 2 15 4 1 30 师傅的工作效率为 1 10 1 30 1 15 徒弟一共做 了 5 天 一共完成了 1 30 5 1 6 师傅 1 天一共完成了 1 15 1 1 15 所以徒弟比师傅一共多完成了这批零件的 1 6 1 15 1 10 徒弟比师傅多完成的分率对应徒弟比师傅多完成的量 96 个零件 利用对应量 对应分率 单位 1 96 1 10 960 个 单位 1 即这批零件的个数总数 例题 6 甲 乙 丙三人合修一条公路 甲 乙 6 天合修 1 3 乙 丙 2 天合修余下的 1 4 剩下的再由甲 乙 丙三人合修 5 天完成 现在领工资 2700 元 依工作量分配 甲 乙 丙应该各得多少元工 资 分析 把一条路的全长看成单位 1 甲乙 6 天合修了 1 3 乙丙 2 天 合修了余下的即 1 1 3 2 3 的 1 4 即 2 3 1 4 1 6 那么一共 修了 1 3 1 6 1 2 所以甲乙丙三人合修 5 天一共合修了 1 1 2 1 2 所以甲乙丙三人的工作效率的与为 1 2 5 1 10 甲乙每天合修 1 3 6 1 18 即甲乙的工作效率的与 乙丙每天合修 1 6 2 1 12 即乙丙的工作效率的与 又知道甲乙的工作效率的与为 1 18 所以 丙的工作效率为 1 10 1 18 2 45 又知道乙丙的工作效率的与为 1 12 所以甲的工作效率为 1 10 1 12 1 60 又知道三人工作效率 的与为 1 10 所以乙的工作效率为 1 10 1 12 2 45 7 180 修好 这条路前后甲一共工作了 6 5 11 天 乙一共工作了 6 2 5 13 天 丙一共工作了 2 5 7 天 那么甲一共完成了 1 60 11 11 60 的工作量 乙一共完成了 7 180 13 91 180 的做 量 丙一共完成了 2 45 7 14 45 的工作量 修了这条路的几分之 几就应该得到几分之几的工资 否则就会不公平 所以 甲应该得到工资的 11 60 即 2700 11 60 495 元 乙应该得到工资的 91 180 即 2700 91 180 1365 元 丙应该得到工资的 14 45 即 2700 14 45 840 元 例题 7 一项工程由甲 乙两队承包 2天可以完成 需要支付 1800 9 2 元 由乙 丙两队承包 3天可以完成 需要支付 1520 元 由甲 13 1 丙两队承包 2天可以完成 需要支付 1680 元 现在要在保证 7 天 3 2 内完工的前提下 选择哪一个工程队单独承包花费最少 分析 题目求的是在保证 7 天内完工的前提下 选择哪个工程队单 独承包花费最少 第一 要在时间上满足等于 7 天或者少于 7 天 第二 再在时间满足的基础上考虑哪个的费用最少 要知道三个队各自单独完成这项工程所用的时间 那么就需要知道 三个队各自的工作效率 知道了各自的工作效率 再求出所对应的 各自的工作时间 就可以排除其中的一个或者是两个 显然这里是 排除一个 再找个时间的基础上 我们再求出三个队各自每天需要 支付的工资是多少 再求出在满足时间前提下各自所需要的总的花 费各是多少 谁越少就选择谁 把一项工程看成单位 1 先求出各自的工作效率 甲乙的工作效率的与为 1 2 9 20 9 2 乙丙的工作效率的与为 1 3 13 40 13 1 甲丙的工作效率的与为 1 2 3 8 3 2 甲乙丙三人工作效率的与为 9 20 13 40 3 8 2 23 40 甲的工作效率为 23 40 13 40 1 4 乙的工作效率为 23 40 3 8 1 5 丙的工作效率为 23 40 9 20 1 8 可见甲乙丙三人单独完成这项工程所需要的时间分别是 1 1 4 4 天 1 1 5 5 天 1 1 8 8 天 所以丙的时间大于 7 天 被排除了 时间少于 7 天的内 只有甲乙两个符合 现在再考虑花费问题 甲乙 1 天一共花费 1800 2 810 元 乙丙 1 天一共花费 9 2 1520 3 494 元 甲丙 1 天一共花费 1680 2 630 元 13 1 3 2 那么甲乙丙三人一天一共花费 810 494 630 2 1934 2 967 元 这里只要求甲与乙就行 甲一天花费 967 494 473 元 乙 1 天 花费 967 630 337 元 再综合考虑甲乙两人单独完成的时间内 各自共花费多少元 甲每天花费 473 元 需要 4 天一共花费 473 4 1892 元 乙每天花费 337 元 需要 5 天一共花费 337 5 1685 元 所以乙工程队花费少 而且还能在规定时间内完成 所以选择乙工 程队 例题 8 甲乙丙三人合做一项工作 计划按照甲乙丙的顺序每人一 天轮流去做 正好整数天可以完成 并且结束工作的是乙 如果按 乙丙甲的顺序每人一天轮流去做 就比计划多用 1 2 天 如果按照 丙甲乙的顺序每人一天轮流去做 就比计划多用 1 3 天 已知甲单 独完成这项工作需要 9 天 求三人一起合做需要多少天完成 分析 把这项工作看成单位 1 计划情况 第一种假设情况 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲乙丙 甲 乙 第二种假设情况 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙丙甲 乙 丙 甲的 1 2 天 第三种假设情况 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙甲乙 丙 甲 乙的 1 3 天 不管是三种里面的哪一种 每个周期都是 3 天 每个周期都包括甲 乙丙三人各一天的工作 所以每个周期完成的工作量是相等的 所 以计划情况中竖线左边有多少个甲乙丙的周期 第二种 第三种情 况就会对应多少个 乙丙甲 与多少个 丙甲乙 所以竖线右边 的工作量也是一样多的 可见甲 1 天 乙 1 天 乙 1 天 丙 1 天 甲的 1 2 天 所以得到甲的 1 2 天 丙 1 天 所以甲的工作效率 丙的工 作效率 2 1 4 2 同样道理 甲 1 天 乙 1 天 丙 1 天 甲 1 天 乙的 1 3 天 所以得到 乙的 2 3 天 丙的 1 天 所以乙的工作效率 丙的工作效率 1 2 3 3 2 所以甲工作效率 乙工作效率 丙工作效率 4 3 2 又知道甲的工 作效率求得是 1 9 1 9 乙的工作效率为 1 9 3 4 1 12 丙的工 作效率为 1 9 2 4 1 18 所以甲乙丙三人工作效率的与是 1 9 1 18 1 12 1 4 所以三人合作时间为 1 1 4 4 天 完成 练习试题 练习试题 1 一项工程甲独做 10 天可以完成 乙独做 20 天可以完成 甲先做 1 天后 甲乙再合作做 还要多少天可以完成 2 王老师打一篇文章需要 6 小时打完 打了 4 小时后 还剩 12 页 没有打完 这篇文章一共有多少页 3 甲乙两个工程队修一条路 甲工程队 5 天修了这段路的 1 6 乙 工程