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二次函数的值域 一 定义域为R的二次函数的值域 另外也可以从函数的图象上去理解 2 1 1 2 1 1 3 0 2 1 1 2 1 1 3 0 二 定义域不为R的二次函数的值域 练习 求函数的值域 变式1 设计意图 利用简单的原理解决复杂的问题 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 例2求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 当x 0时 ymax 3当x a时 ymin a2 2a 3 1 当0 a 1时 函数在 0 a 上单调递减 三 定函数动区间的二次函数的值域 当x 0时 ymax 3当x a时 ymin a2 2a 3 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2当x 0时 ymax 3 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 例2求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 2 当1 a 2时 1 当a 1时 函数在 0 a 上单调递减 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2 当x a时 ymax a2 2a 3 例2求函数y x2 2x 3在区间 0 a 上的最值 并求此时x的值 3 当a 2时 2 当1 a 2时 函数在 0 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 当x 1时 ymin 2 当x 0时 ymax 3 解 函数图象的对称轴为直线x 1 抛物线开口向上 1 当a 1时 函数在 0 a 上单调递减 当x 0时 ymax 3 当x a时 ymin a2 2a 3 变式设函数f x x2 2x 2在区间 t t 1 上的最小值是g t 求g t 的解析式 四 动函数定区间的二次函数的值域 例3 求在上的最值 1 由图 1 得 当 即时 例3 求在上的最值 3 由图 3 得 当 即时 4 由图 4 得 当 即时 0 例4求函数y x x a 在x 1 a 上的最大值 解 函数图象的对称轴方程为x 又x 1 a 故a 1 对称轴在x 的右边 1 当 1 a时 即a 0时 由二次函数图象 可知 ymax f 五 动函数动区间的二次函数的值域 2 当a 时 即 1 a 0时 综上所述 当 1 a 0时 ymax 0当a 0时 ymax 例4求函数y x x a 在x 1 a 上的最大值 2 当a 时 即 1 a 0时 由二次函数的图象可知 ymax f a 0 课堂小结 对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题 关键抓住二次函数图象的开口方向 对称轴及定义区间 应用数形结合法求解 总结提炼 1 二次函数在闭区间的最值的求法 两看法 看开口方向 看对称轴在闭区间的相对位置 3 在问题转化过程中注意挖掘题设中的隐含条件 给出正确的变量范围 4 本节体现数学思想主
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