材料力学3扭转范文

材料力学材料力学3 3扭转范文扭转范文 材料力学第三章扭转材料力学 3 2扭转时的内力 3 3薄壁圆筒的扭转 3 4圆轴扭转时的应力和变形 3 1工程实际中的扭转问题第三章扭转 34圆轴扭转时的应力和变形 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 3 1工程实际中的扭转问题第三章扭转 3 1工程实际中的扭转问题以扭转为主要变形的工程构件有传动轴 钻 杆等 1工程实际中的扭转问题以扭转为主要变形的工程构件有传动轴 钻 杆等 一 工程中的扭转问题汽车转向轴 机械传动轴 丝锥等 3 1工程实际中的扭转问题 一 工程中的扭转问题1工程实际中的扭转问题 一 工程中的扭转问题传动轴OA外力的合力为一力偶 且力偶的作 用面与直杆的轴线垂直 杆发生的变形为扭转变形 外力的合力为一力偶 且力偶的作用面与直杆的轴线垂直 杆发生 的变形为扭转变形 B 3 1工程实际中的扭转问题 二 扭转变形外力特点1工程实际中的扭转问题 二 扭转变形外力特点ABO mm任意两截面绕轴线相对转动的角位移 变形特点各横截面绕轴线发生相对转动 扭转角 任意两截面绕轴线相对转动的角位移 变形特点各横截面绕轴线发生相对转动 扭转角 剪应变 剪应变 直角的改变量 箱式截面梁的扭转 3箱式截面梁的扭转 3 1工程实际中的扭转问题 三 非圆截面杆的扭转1工程实际中的扭转问题 三 非圆截面杆的扭转 3 2扭转时的内力第三章扭转 3 2扭转时的内力 一 传动轴的外力偶矩2扭转时的内力 一 传动轴的外力偶矩9 55kN mPmn 其中P 功率 千瓦 kW n 转速 转 分 rpm 7 024kN mPmn 其中P 功率 马力 PS n 转速 转 分 rpm 二 扭矩及扭矩图mm0Tm 3 2扭转时的内力构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 2扭转时 的内力构件受扭时 横截面上的内力偶矩 记作 T 1扭矩2截面法求扭矩 1扭矩2截面法求扭矩0 xM 3扭矩的符号规定mmmTx右手螺旋法则与外 法线方向一直为正与外法线方向相反为负右手螺旋法则与外法线方 向一直为正与外法线方向相反为负T m 扭矩沿杆件轴线变化规律的图线 目的 扭矩变化规律 T max值及其截面位置强度计算 危险截 面 值及其截面位置强度计算 危险截面 T 3 2扭转时的内力4扭矩图2扭转时的内力4扭矩图xT 已知一传动轴 n 300r min 主动轮输入P1 500kW 从动轮输出P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 解 1 计算外力偶矩 200kW 试绘制扭矩图 解 1 计算外力偶矩115009 559 55300Pmn 3 2扭转时的内力例题12扭转时的内力例题1nA BC Dm2m3m1m415 9 kN m 2231509 559 554 8 kN m 300Pmmn 44xx 559 556 3 kN m 300Pmn 检查轴在外力偶的作用下是否平衡 nA BC Dm2m3m1m4112233解 2 求扭矩 扭矩按正方向设 124 8kN mTm 3 2扭转时的内力0 xM 120Tm 1 1截面2 2截面0 xM 2230Tmm m2T223 4 84 8 9 6kN mTmm 32310Tmmm 0 xM 3 3截面A1T312316 94 826 3kNTmmm 346 3kNTm T29 6km NT 14 8km NT 36 3kN mT 3 2扭转时的内力解 2扭转时的内力解 3 绘制扭矩图nA BC Dm2m3m1m4max9 6kN mT BC段为危险截面 9 6x4 86 3 第三章扭转 3 3薄壁圆筒的扭转 33薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒壁厚0101rt r0为 平均半径 一 薄壁圆筒的扭转实验1 实验前1 绘纵向线 圆周线 2 施加一 对外力偶 一 薄壁圆筒的扭转实验1 实验前1 绘纵向线 圆周线 2 施加一 对外力偶m 3 3 3薄壁圆筒的扭转2 实验后1 圆周线不变 2 纵向线变成斜直线 1 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未3 结论 32 实验后 1 圆周线不变 2 纵向线变成斜直线 1 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未3 结论 3 3薄壁圆筒的扭转LR 一 薄壁圆筒的扭转实验改变 只是绕轴线作了相对转动 2 各纵向线均倾斜了同一微小角度改变 只是绕轴线作了相对转动 2 各纵向线均倾斜了同一微小角度 3 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形 4 3 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形 4 与 的关系LR RL 根据实验现象分析 3根据实验现象分 析 3 3薄壁圆筒的扭转 二 理论分析3薄壁圆筒的扭转 二 理论分析 LR 1 在小变形下 沿杆的轴线方向无变形 即无正 应力 2 横截面上各点处 只产生垂直于半径的均匀分布的切应力1 在小变形下 沿杆的轴线方向无变形 即无正应力 2 横截面上各 点处 只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 沿周向大小不变 方向与该截面的扭矩方向一致 三 薄壁圆筒横截面上的切应力 000d2ArArr tT 3 3薄壁圆筒的扭转截面上的应力等于内力3薄壁圆筒的扭转截面上的 应力等于内力 扭矩静力学关系扭矩静力学关系0d AArT TA0平均半径所作圆的面积 xx2TTr tAt y单元体 边长为微量的正六面体 3 3薄壁圆筒的扭转 四 切应力互等定理截取 四 切应力互等定理截取abcd正六面体 LRacddxbdytzxy 纯剪切应力状态 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用 这种应力状态称 为纯剪切应力状态 abcd d b 0zm 3 3薄壁圆筒的扭转 四 切应力互等定理3薄壁圆筒的扭转 四 切应力互等定理t dxdytdxdy LR该定理表明在单元体相互垂直的两个平面上 切应力必然成对存在 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 在单元体相互垂直的两个平面上 切应力必然成对存在 且数值相 等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该 交线 acddxbdytzxy T m 3 3薄壁圆筒的扭转 五 剪切胡克定律3薄壁圆筒的扭转 五 剪切胡克定律 RL 剪切虎克定律当剪应力不超过材料的 剪切比例极限时 p 剪应力与剪应变成正比关系 0 2TA t G 式中G是材料的一个弹性常数 称为剪切弹性模量剪切弹性 模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹 3 3薄壁圆筒的扭转 五 剪切胡克定律拉压胡克定律3薄壁圆筒的扭转 五 剪切胡克定律拉压胡克定律E 剪切弹性模量 弹性模量和泊 松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 推导详见后 面章节 性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 推导详见后 面章节 2 1 EG 第三章扭转 3 4圆轴扭转时的应力和变形 34圆轴扭转时的应力和变形等直圆杆横 截面应力 变形几何关系 物理关系分析应力的方法 3分析应力的 方法 3 4圆轴扭转时的应力和变形等直圆杆横截面应力 物理关系 静力学 关系1 横截面变形后仍为平面 2 轴向无伸缩 3 纵向线变形后仍 为平行线 一 等直圆杆扭转实验观察1 横截面变形后仍为平面 2 轴向无伸 缩 3 纵向线变形后仍为平行线 一 等直圆杆扭转实验观察 3 4圆轴扭转时的应力和变形 1 在dx长度上 圆柱的两端面相对转过角度d 2 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱 3 半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同 半径越小者剪应变越 小 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 32 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱 3 半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同 半径越小者剪应变越 小 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力 3 4圆轴扭转时的应力和变形 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力1 变形几何关系 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力1 变形几何关系1dtgddGGxx d 3 4圆轴扭转时的应力和变形dx 距圆心为 任一点处的 与到圆心 的距离 成正比 ddx 扭转角沿轴线方向变化率 2 物理关系虎克定律2 物理关系虎克定律G 3 4圆轴扭转时的应力和变形代入上式得 二 等直圆杆扭转时横截面上的应力ddx 1 变形几何关系ddddG GGxx d dGx 代入上式得3 静力学关系d ATA 代入物理关系式得d dGx OdA 3 4圆轴扭转时的应力和变形dA 2dpAIA 令d dpT xGI dxpTI 22dddd ddAATGAxGAx 极惯性矩式中T 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 3横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 3 4圆轴扭转时的应力和变形pTI 圆轴扭转时横截面上任意点的切 应力公式1 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截 面直杆 1 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面直杆 该点到圆心的距离 Ip 极惯性矩 与截面形状和尺寸有关的量 4 公式的讨论极惯性矩 与截面形状和尺寸有关的量 4 公式的讨论2 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截 面杆 只是极惯性矩2 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空 心圆截面杆 只是极惯性矩Ip值不同 2dAIA 对于实心圆截面 3 4圆轴扭转时的应力和变形4 公式的讨论4圆轴扭转时的应力和变形4 公式的讨论22044d2d0 132pADIADD D d O对于空心 圆截面222d2dpADdIA dO d 3 4圆轴扭转时的应力和变形D4 公式的讨论2444444 32 1 0 1 1 32dDdDD Dd O3 应力分布实心截面空心截面实心 截面空心截面 3 4圆轴扭转时的应力和变形4 公式的讨论4圆轴扭转时的应力和变形4 公式的讨论由公式d dpxITG 三 等直圆杆在扭转时的变形 3三 等直圆杆在扭转时的变 形 3 4圆轴扭转时的应力和变形当长为一段杆两截面间相对扭转角 为l 1 相对扭转角0dlpTdxGI 当长为一段杆两截面间相对扭转角 为l式中T 内力扭矩 可以是x的函数 pI 极惯性矩 可以是x的函数 G 剪切弹性模量由公式0dlpTdxGI 三 等直圆杆在扭转时的变形 3等直圆杆在扭转时的变形 3 4圆轴扭转时的应力和变形考虑圆轴的特点 在一定长度上 扭矩 直径是常量TlGI 式中T 截面上的扭矩pI 极惯性矩G 剪切弹性模量度上 扭矩 直径是常量pGI当圆轴是阶梯轴时1ni iipiTlGI 2 单位长度上的扭转角 d rad md pTxGI d180 m d TGI 或 3或 3 4圆轴扭转时的应力和变形 dpxGI GIp反映了截面抵抗扭转变形的 能力 称为截面的抗扭刚度 反映了截面抵抗扭转变形的能力 称为截面的抗扭刚度 三 等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢铸铁低碳钢铸铁为什么 脆性材料扭转时沿45为什么脆性材料扭转时沿45 螺旋面断开 螺旋 面断开 四 等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件沿横截面断开 低碳钢试件沿横截面断开 铸铁试件沿与轴线约成铸铁试件沿与轴线约成45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 1 点M的应力单元体如图 b a M2 斜截面上的应力 取分离体如图 d b c d x d xn转角规定轴正向转至截面外法线逆 时针为 顺时针为 由平衡方程t0 cossind sincosd d 0 AAAFn0 sin sind coscosd d 0 AAAFt 解得 2cos 2s in 2cos 2sin 分析当 0 时 max00 0当 45 时 0 45min45 当 45 时 0 45max45 当 90 时 max9090 0 45 由此可见圆轴扭转时 在横截面和纵截面上的剪应力为最大 值 在方向角 由此可见圆轴扭转时 在横截面和纵截面上的剪应 力为最大值 在方向角 45 的斜截面上作用有最大压应力和最大 拉应力 根据这一结论 就可解释前述的破坏现象 的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力 根据这一结论 就可解释前述的破坏现象 第三章扭转 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 35圆轴扭转时的强度和刚度计算pT I 当令当令max 一 强度条件maxpTI maxtpWI 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算maxtTW 横截面上最大切应力公式式 中横截面上最大切应力公式式中T 横截面上的扭矩tW 极惯性矩maxtTW 对于实心圆截面3302pIdWd 一 强度条件 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算0 2216tWdd 对于空心圆截面3434 1 0 2 1 216ptIDWDD dD 强度条件对于等截面圆轴强度条件对于等 截面圆轴max max tTW 强度计算三方面 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算强度计算三方面 校核强度 设计截 面尺寸 计算许可载荷校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷max max tTW max tTW max tTW 33416 116tDWD 实空 二 刚度条件 max rad m p TGI 或 3或 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 max180 m pT GI 称为许用单位扭转角 某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率N1 500马力 输出功 率分别N2 200马力及N3 300马力 已知G 80GPa 70M Pa 1 m 试确定 AB段直径d1和BC段直径d2 若全轴选同 一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解1 扭矩如 图m1m3m2例1 3例1 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算解1 扭矩如图500400m132ACBTx 7 024 4 21 kNm 7 024 kN m Nmn 17 02kNm 22 81kNm 34 21kNm 由强度条件得3116 tdTW 316Td Tx kNm 解2 强度条件500400m1m3m2ACB 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 33261616421067 4mm3 147010Td 313616702480mm3 147010d 7 024 4 21 180pTGI T7024 4 21 kNm 418032 pdTIG 解3 刚度条件500400m1m3m2ACB 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 7 0244412293218032702418084mm 3 1480101TdG 44 22293218032421018074 4mm 3 1480101TdG 1285 mm 75mmdd 综上 全轴选同一直径时 185mmdd 轴上的绝对 值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径才为75mm 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径才为75mm 17 024kNm 22 814kNm 34 21kNm 解4 安排各轮m1m3m2Am1m3m2 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算Tx 4 21 kNm 2 814T 7 024 4 21 kNm 500400ACB500400ACB已知P 7 5kW n 100r min 最大切应 力不得超过40MPa 空心圆轴的内外直径之比 100r min 最大切应力 不得超过40MPa 空心圆轴的内外直径之比 0 5 二轴长度相同 例题2求 实心轴的直径 0 5 二轴长度相同 例题2求 实心轴的直径d1和空心轴的外直径和空心轴的外直径D2 确定二轴的重量之比 解 确定二轴的重量之比 解1 计算外力偶矩7595957162N mPMT 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算95957162N m100 xMTn 2 计算实心轴直径max13111640MPa xxPMMWd 31616716xx5m 45mm 4010 d 解得 max234221640MPa 1x xPMMWD 167162 解3 计算空心轴直径 3 计算空心轴直径 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算解得d2 0 5D2 23mm 324616716xx6 m 46mm 1054010D 空心轴D2 46mm d2 23mm实心轴d1 45mm长度相同的情形下 二轴的重量之比即为横 截面面积之比解长度相同的情形下 二轴的重量之比即为横截面面 积之比解4 计算两轴的重量比 3 计算两轴的重量比 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 28 15 01110461045122332222121 DdAA实心截面轴的重量是空心截面轴的重量1 2 8倍 已知B轮输入功率P1 14kW AB轴的转速n1 120r min 功率的一半通 过齿轮传给C轴 另一半由H轴传出 120r min 功率的一半通过齿 轮传给C轴 另一半由H轴传出 z1 36 z3 12 d1 70mm d2 50mm d3 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 3例题3解例题3解1 计算外力偶矩P14kWPPP 27kW 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算P1 14kW P2 P3 P1 2 7kWn1 n2 120r min131336120r min360r min12znnz 9 55 kNm Pmn 已知B轮输入功率P1 14kW AB轴的转速n1 120r min 功率的 一半通过齿轮传给C轴 另一半由H轴传出 120r min 功率的一半 通过齿轮传给C轴 另一半由H轴传出 z1 36 z3 12 d1 70mm d2 50 mm d3 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 35mm 求 各轴横截面上的最大切应力 3例题3解例题3解1 计算外力偶矩P1 14kW P2 P3 P1 2 7kW 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算1 231n1 n2 120r min3360r minn 9 55 kNm Pmn 1149 55 kN m 120m 279 55 kN m 120m 379 55 kN m 360m 1161114EP1654MPT 3解2 计算各轴 的横截面上的最大切应力112233 mTmTmT 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 1max391EPa16 54MPa 7010tW 2max39t216557HPa22 69MPa 5010TW 3m ax39t316185 7CPa21 98MPa 3510TW 例4传动轴M1 1 kNm M2 0 7kNm M3 0 3kNm l1 l2 1 5m d 50mm G 80GPa 试 求C截面相对A截面的扭转角 解1 扭矩 50mm G 80GPa 试求C截 面相对A截面的扭转角 解1 扭矩M1ACB根据外力偶矩与扭矩的关系 可以直接作图 3根据外力偶矩与扭矩的关系 可以直接作图 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算Tx 0 70 3 kNm 0 7kN mABM 0 3kN mBCM l1M3M2l2例4传动轴M1 1kNm M2 0 7kNm M3 0 3kNm l1 l2 1 5m d 50mm G 80GPa 试求C截面相对A截面的扭转角 解2 相 对扭转角 50mm G 80GPa 试求C截面相对A截面的扭转角 解2 相 对扭转角pTlGI lM1MM2ACBl 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算Tx 0 70 3 kNm l1M3M2l2ACABBC 21BCABACppT lTlGIGI 例4传动轴M1 1kNm M2 0 7kNm M3 0 3kNm l1 l2 1 5 m d 50mm G 80GPa 试求C截面相对A截面的扭转角 解2 相对扭 转角 50mm G 80GPa 试求C截面相对A截面的扭转角 解2 相对扭 转角l1M1M3M2ACBl21BCABACT lTl 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 0 70 3Tx kNm l1M3l2ACppGIGI 1394321 50 70 3100 0122801 00 05ACABBCplTTGIrad AC 相对扭转角 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算AC AB 例题5长为L 2m的圆杆受均布 力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用剪应力 80GPa 许用剪应力 30MPa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解1 扭矩 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解1 扭矩Tmx 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算Tmx x或4020Tx em40em x解1 扭矩 Tmx 4020Tx xemx 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算40NmxT扭矩图max40NmTml 例题5长 为L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之 比为 0 8 G 80GPa 许用剪应力 80GPa 许用剪应力 30MPa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面 转角 解2 设计杆的外径 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解2 设计杆的外径T 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算max tTW 34D116tW 13max4 161 TD 13max4161 TD 代入数值 得D 0 0226m 3 5圆轴扭转时的强度和刚度计算40NmxT3 由扭转刚度条件校核刚度ma xmax180PTGI maxmax180PTGI 3240180189m 3 5圆轴扭转时的