2013年全国各地中考数学考点分类汇编--函数与一次函数

2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 1 50 函数与一次函数函数与一次函数 一 选择题 1 2013 湖北黄冈 湖北黄冈 8 3 分分 一列快车从甲地驶往乙地 一列特快车从乙地驶往甲地 快 车的速度为 100 千米 小时 特快车的速度为 150 千米 小时 甲乙两地之间的距离为 1000 千米 两车同时出发 则图中折线大致表示两车之间的距离 y 千米 与快车行驶时间 t 小 时 之间的函数图象是 A B C D 答案 C 解析 当时间为 0 时 两车均未出发 相距 1000 千米 即 t 0 时 y 1000 由此排除 B 选项 当两车相遇时 得 100t 150t 1000 解得 t 4 接下来两车相遇后又分两种情况 一是两车相遇后均在行驶 二是两车相遇后 特快车到达终点地而只有快车在行驶 这时 联想现实情景 发现后者中 y 的增大幅度明显会小于前者中 y 的增大幅度 于是可知相遇前 的函数图象是一条线段 相遇后的函数图象是一条折线段 且前段比后段陡 综合这些信息 知答案选 C 方法指导 本题考查实际问题中的函数图象 解答本题也可以从函数解析式的角度分析判 断 由两车相遇得 100 t 150t 1000 解得 t 4 特快车到达甲地所用时间 t 1000 150 20 3 快车到达乙地所用时间 t 1000 100 10 所以当 0 t 4 时 y 1000 100t 150t 250t 1000 当 4 t 20 3 时 y 100t 150t 1000 250t 1000 当 20 3 t 10 时 y 100t 显 然 这没有上面的方法简单 易错警示 易漏掉 20 3 t 10 这种情况的讨论 错误的认为相遇后的 y 一直是匀速变大而 选 A 对于 A 中的时间 8 是如何产生的呢 这是由 100t 150t 1000 1000 解得 t 8 可 见这种错误的根本在于没认识到特快车是先到达终点地的 存在特快车停止行驶而快车仍在 行驶这种情况 2 2013 浙江湖州 3 3 分 若正比例函数ykx 的图像经过点 1 2 则k的值为 A 1 2 B 2 C 1 2 D 2 答案 D 解析 把 1 2 代入ykx 得 k 2 故选 D 方法指导 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征 经过函数的某点一定在函数的图 象上 把点 1 2 代入已知函数解析式 借助于方程可以求得 k 的值 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 2 50 3 2013 重庆 5 4 分 已知正比例函数 y kx k 0 的图象经过点 1 2 则正比例函 数的解析式为 A xy2 B xy2 C xy 2 1 D xy 2 1 答案 B 解析 把 1 2 代入 y kx k 0 中 得 k 1 2 即 k 2 解析式为xy2 故 选 B 方法指导 本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式的方法 也可以用代入验证法解 答 4 2013 重庆 10 4 分 2013 年 中国好声音 全国巡演重庆站在奥体中心举行 童童从 家出发前往观看 先匀速步行至轻轨车站 等了一会儿 童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出 演出结束后 童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家 其中 x 表示童童从家出发后所用时间 y 表示童童离家的距离 下图能反映 y 与 x 的函数关系式的大致图象是 答案 A 解析 时间 x 0 时 童童还在家里 所以图象必过原点 匀速步行前往 说明 y 逐步变大 是正比例函数 等轻轨车 x 变化 而 y 不变化 图象是水平线段 乘轻轨车匀速前往奥体 中心 速度比步行时大 在相同时间内 函数值变化量比步行时大 所以图象是比步行时 k 值大的一次函数 这样 就基本可以确定答案为 A 方法指导 本题考查了用图象法表示函数 考查了对用图象表示分段函数的正确辨别 对 于用图象描述分段函数的实际问题 要抓住以下几点 自变量变化而函数值不变化的图象 用水平线段表示 当两个阶段的图象都是一次函数 或正比例函数 时 自变量变化量相 同 而函数值变化越大的图象与 x 轴的夹角就越大 各个分段中 准确确定函数关系 确定函数图象的最低点和最高点 易错警示 对函数图象的分段不准 对各个阶段相对的变化快慢忽视 5 2013 四川南充四川南充 8 3 分分 如图 函数 x k y 1 1 与xky 22 的图象相交于点 A 1 2 和 点 B 当 21 yy x B 01 x C 01 x D 1 x或10 因抛物线的顶点 1 c 在第四象 限 则0c 据此 一次函数yaxc 中 因0a 则图像自左向右是 上升 的 先排除 C D 又0c 则一次函数的图像与y轴的正半轴相交 故 B 错误 A 正确 方法指导 方法指导 考查一次函数数 二次函数的系数与图像间的关系 函数相关系数的几何意义 考查学生数形结合的能力和转化思想 观察判断能力 综合考查一次函数和二次函 数的相关性质 虽说难度不是太大 但也具有一定的综合性 需要全面仔细的考虑 对相关知识熟练无误 9 2013 四川宜宾 四川宜宾 2 3 分 分 函数12 xy中自变量 x 的取值范围是 A 2 1 x B 2 1 x C 2 1 x D 2 1 x 答案 B 解析 根据被开方数为非负数可得应选 B 方法指导 本题考查了求自变量的取值范围具体方法 1 整式 其自变量的取值范围是 全体实数 2 分式 其自变量的取值范围是使得分母不为 0 的实数 3 二次根式下含自变量 其自变量的取值范围是使得被开方数为非负的实数 4 当函数表示实际问题时 自变量的取值必须使实际问题有意义 10 2013 四川泸州 四川泸州 7 2 分 分 函数 1 3 x y x 自变量x取值范围是 A 1x 且3x B 1x C 3x D 1x 且3x 答案 A 解析 根据条件得 03 01x x 解得1x 且3x 所以选 A 方法指导 根据函数解析式求自变量x取值范围 主要四个方面考虑 整式 x为全体 实数 分式 x满足分母不为 0 二次根式 x满足被开方数非负 指数为 0 或负数 x满足底数不为 0 如果是实际问题 还要注意自变量x符合实际意义 本题通过列不等式 组 并求其解集 而得到答案 易错警示 从分子中的二次根式看 容易误为 x 1 0 从而误选选项 D 11 2013 福建福州福建福州 10 4 分分 A B 两点在一次函数图象上的位置如图所示 两点的坐 标分别为 A x a y b B x y 下列结论正确的是 图 2 x y O x y Ox y Ox y Ox y O A B C D 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 5 50 A a 0 B a 0 C b 0 D ab 0 答案 B 解析 由一次函数图象可知 此函数成 上升势 所以函数值 y 随 x 的增大而增大 在 图像上右边的点横纵坐标分别大于左边的点横纵坐标 由此得出 x a x y b y 根据不 等式的基本性质得出 a 0 b 0 故选 B 方法指导 本题主要考查了一次函数的增减性以及学生的读图能力 关于一次函数的增减 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 12 2013 湖南邵阳 3 3 分 函数y 5x 1 中 自变量x的取值范围是 A x 1 B xy时 自变量x的取值 范围在数轴上表示正确的是 A B C D 答案 B 解析 由0 y得 2x 易错警示 要注意 对应的数轴表示的圆点 空心 和 实心 0 2 0 0 2 2 0 2 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 6 50 15 2013 山东德州 山东德州 6 3 分分 甲 乙两人在一次百米赛跑中 路程 s 米 与赛跑时间 t 秒 的关系如图所示 则下列说法正确的是 A 甲 乙两人的速度相同 B 甲先到达终点 C 乙用的时间短 D 乙比甲跑的路程多 答案 B 解析 由图可知 相同路程内甲比乙要少用一些时间 甲先到达终点 方法指导 本题考查了函数图象意义 考查函数图象表示实际问题 注意分析 s 随 t 的变 化而变化的趋势 而不一定要通过求解析式来解决 关键是明白图象中 倾斜线段变化的趋 势或水平线段变化特点 易错警示 不明确坐标轴意义 混淆图象中折线段变化趋势 16 2013 山东德州 山东德州 8 3 分分 下列函数中 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大的是 A y x 1 B y x2 1 C y x 1 D y x2 1 答案 B 解析 A 函数y x 1 当x 0 时 y随x的增大而减小 B 函数y x2 1 当x 0 对 称轴y轴右侧 时 y随x的增大而增大 C 函数y x 1 当x 0 第 象限 时 双曲线一 分支y随x的增大而减小 D 抛物线y x2 1 当x 0 对称轴y轴右侧 时 y随x的增大 而减小 方法指导 本题考查一次函数 反比例函数 二次函数图象与性质 解答本题需要了解各 函数图象的增减性特点 解题时不妨画个示意图进行直观判断 17 2013 山东德州山东德州 11 3 分分 函数y x2 bx c与y x的图象如图所示 有以上结论 b 2 4c 0 b c 1 0 3b c 6 0 当 1 x 3 时 x2 b 1 x c 0 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 抛物线与x轴没有交点 b 2 4c 0 于是 错误 当x 1 时 抛物线与直线交点 坐标为 1 1 满足函数y x 2 bx c 即b c 1 1 错误 3 3 在函数y x2 bx c图象 上 3b c 9 3 即 3b c 6 0 所以 正确 观察图象可知 当 1 xx 2 bx c 即 x 2 b 1 x c 则x的取值 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 8 50 范围在数轴上表示正确的是 答案 A 解析 先利用函数的图象可知 当 12 0yy 时 x的取值范围是 x 1 所以其在数轴 上表示为 A 方法指导 本题考查利用函数图象比较大小及在数轴上如何表示不等式的解集的问题 利 用图象比较大小时 图象在上方的函图值大 函数图象的交点即为函数值相等 函数图象在下 方的函数值小 在数轴上表示不等式的解集是 一般有等号时有实数点表示 没有等号是圆表 示 21 2013 广东广东湛江湛江 8 4 分 分 函数3yx 中 自变量 x 的取值范围是 A 3x B 3x C 3x D 3x 答案 B 解析 由30 x 解得3x 本题选 B 方法指导 本题考查了函数自变量的取值范围 掌握二次根式有意义的条件是解题的关键 求函数自变量的取值范围或使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常有三种情况 1 分母不为零 2 二是二次根式的被开方数是非负数 3 三是零次幂的底数不为零 8 2013 四川成都 8 3 分 在平面直角坐标系中 下列函数的图象经过原点的是 A y x 3 B y 5 x C y 2x D y 2x2 x 7 答案 C 解析 把原点 0 0 的坐标依次代入各个解析式 若使解析式的左右两边相等 则该解析 式的图象经过原点 方法指导 当自变量为 a 时 函数值为 b图象经过点 a b 22 2013 年佛山市 10 3 分 某人匀速跑步到公园 在公园里某处停留了一段时间 再 沿原路匀速步行回家 此人离家的距离y与时间x 的关系的大致图象是 x y O E y1 y2 2 第 12 题图 0 1 D 0 1 C 0 1 B 0 1 A x y O A x y O B x y O C x y O D 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 9 50 分析 根据在每段中 离家的距离随时间的变化情况即可进行判断 解 图象应分三个阶段 第一阶段 匀速跑步到公园 在这个阶段 离家的距离随时间的增 大而增大 第二阶段 在公园停留了一段时间 这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变 故 D 错 误 第三阶段 沿原路匀速步行回家 这一阶段 离家的距离随时间的增大而减小 故 A 错误 并且这段的速度小于于第一阶段的速度 则 C 错误 故选 B 点评 本题考查了函数的图象 理解每阶段中 离家的距离与时间的关系 根据图象的斜率 判断运动的速度是解决本题的关键 23 2013 湖南娄底 湖南娄底 4 3 分 分 一次函数 y kx b k 0 的图象如图所示 当 y 0 时 x 的取值范围是 A x 0 B x 0 C x 2 D x 2 考点 一次函数的图象 分析 根据函数图象与 x 轴的交点坐标可直接解答 从函数图象的角度看 就是确定直线 y kx b 0 的解集 就是图象在 x 轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合 解答 解 因为直线 y kx b 与 x 轴的交点坐标为 2 0 由函数的图象可知当 y 0 时 x 的取值范围是 x 2 故选 C 点评 此题考查一次函数的图象 运用观察法解一元一次不等式通常是从交点观察两边得 解 24 2013 江苏南京江苏南京 5 2 分分 在同一直线坐标系中 若正比例函数y k1x的图像与反比例 函数y k2 x 的图像没有公共点 则 A k1 k20 C k1k20 答案 C 解析 当k1 0 k20 n 0 B m 0 n 0 C m0 D m 0 n 0 考点 一般考查的是一次函数或者反比例函数的图象性质及待定系数法求函数的解析式 考点 一般考查的是一次函数或者反比例函数的图象性质及待定系数法求函数的解析式 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 13 50 解析解析 因为 因为 A B 是不同象限的点 而正比例函数的图象要不在一 三象限或在二 四象限 是不同象限的点 而正比例函数的图象要不在一 三象限或在二 四象限 由点由点 A 与点与点 B 的横纵坐标可以知 点的横纵坐标可以知 点 A 与点与点 B 在一 三象限时 横纵坐标的符号应一致 在一 三象限时 横纵坐标的符号应一致 显然此题不可能 点显然此题不可能 点 A 与点与点 B 在二 四象限 点在二 四象限 点 A 在四象限得在四象限得 m 0 点 点 B 在二象限得在二象限得 n bkxx的解集为 答案 1 x 2 解析 因为 y x 2 1 的图象过 A 2 1 O 0 0 我们可画出 y x 2 1 的图象 观察图象可得 1 xm 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 18 50 解 解析析 由题意得 m 2 0 解这个不等式 得2 m 故答案填2 m 方法 方法指导指导 1 对于一次函数 y kx b 当 k 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 k 0 时 y 随 x 的增大而减小 2 一次函数的这个性质可以反过来用 4 2013 山东德州 山东德州 16 4 分分 函数 y x 1 与 y x 2 图象交点的横坐标分别为 a b 则 ba 11 的值为 答案 2 解析 函数 y x 1 与 y x 2 图象相交 2 1 x x 解得 2121 21 xx 由于交点的横坐标分别为 a b ab 21 21 1 a b 2121 2 2 1 211 ab ba ba 故填 2 方法指导 本题考查一次函数与反比例函数交点坐标计算与求代数式值 两函数图象相交 其实几个交点的横坐标值就是两函数表达式联立成方程组的解 自变量 x 值 5 2013 四川成都 21 4 分 已知点 3 5 在直线 y ax b a b 为常数 且 a 0 上 则 5 a b 的值为 答案 1 3 解析 将点 3 5 的坐标代入 y ax b 得 5 3a b 即 b 5 3a 当 a 0 时 5 a b 3 a a 1 3 方法指导 此题考查函数知识和分式的基本性质 6 20132013 湖南永州 湖南永州 1111 3 3 分 分 已知一次函数bkxy 的图象经过点A 1 1 B 1 3 两点 则k 0 填 或 答案 答案 解 解析析 从 A 1 1 B 1 3 的坐标可看出 出 y 随 x 的增大而减小 于是0k 方法 方法指导指导 本题除了使用数形结合的方法直接求出 k 的取值范围 也可以用两点的坐标求 出一次函数的解析式 然后就可以知晓 k 的大小 7 2013 重庆 18 4 分 如图 平面直角坐标系中 已知直线 y x 上一点 P 1 1 C 为 y 轴上一点 连接 PC 线段 PC 绕点 P 顺时针旋转 90 至线段 PD 过点 D 作直线 AB x 轴 垂足为 B 直线 AB 与直线 y x 交于点 A 且 BD 2AD 连接 CD 直线 CD 与直线 y x 交于点 Q 则点 Q 的坐标为 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 19 50 答案 4 9 4 9 解析 如图 设 OB 3m 过点 P 作 PE y 轴于点 E 交 AB 于点 F 点 A 在直线 y x 上 且 AB x 轴于点 B AB OB 3m 又 BD 2AD BD 2m PC PD CPD 90 可证 CPE DPF DF PE CE PF 又由点 P 1 1 可得 PE OE 1 DF 1 又四边形 OBFE 是矩形 BF OE 1 BD 2 m 1 OB 3 PF 2 CE 2 点 C 0 3 点 D 3 2 由点 C 0 3 点 D 3 2 可以求得直线 CD 的解析式为3 3 1 xy 点 Q 即是直 线3 3 1 xy和 y x 的交点 可以求得 Q 4 9 4 9 方法指导 三角形全等的判定 两条直线交点坐标的求法 等腰三角形的性质 点的坐标 的意义 求直线交点坐标 一般需要求出两条直线的解析式 然后用这两个解析式建立方程 组 方程组的解就是交点的坐标 8 2013 广东珠海 6 4 分 使式子有意义的x的取值范围是 x 考点 二次根式有意义的条件 分析 二次根式的被开方数是非负数 解答 解 根据题意 得 2x 1 0 解得 x 故答案是 x 点评 考查了二次根式的意义和性质 概念 式子 a 0 叫二次根式 性质 二次根式中的被 开方数必须是非负数 否则二次根式无意义 9 2013 广东珠海 7 4 分 已知 函数y 3x的图象经过点A 1 y1 点B 2 y2 则y1 y2 填 或 考点 一次函数图象上点的坐标特征 分析 分别把点A 1 y1 点B 2 y2 代入函数y 3x 求出点y1 y2的值 并比较出其大 小即可 解答 解 点A 1 y1 点B 2 y2 是函数y 3x上的点 y1 3 y2 6 3 6 x y O A D Q B C P 第 18 题图 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 20 50 y1 y2 故答案为 点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点 即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数 的解析式 10 2013 广西钦州 15 3 分 请写出一个图形经过一 三象限的正比例函数的解析式 y x 答案不唯一 考点 正比例函数的性质 分析 先设出此正比例函数的解析式 再根据正比例函数的图象经过一 三象限确定出 k 的 符号 再写出符合条件的正比例函数即可 解答 解 设此正比例函数的解析式为 y kx k 0 此正比例函数的图象经过一 三象限 k 0 符合条件的正比例函数解析式可以为 y x 答案不唯一 故答案为 y x 答案不唯一 点评 本题考查的是正比例函数的性质 即正比例函数 y kx k 0 中 当 k 0 时函数的 图象经过一 三象限 11 2013 湖北孝感湖北孝感 18 3 分分 如图 一个装有进水管和出水管的容器 从某时刻开始的 4 分钟内只进水不出水 在随后的 8 分钟内既进水又出水 接着关闭进水管直到容器内的水 放完 假设每分钟的进水量和出水量是两个常数 容器内的水量y 单位 升 与时间x 单 位 分 之间的部分关系 那么 从关闭进水管起 8 分钟该容器内的水恰好放完 考点 一次函数的应用 分析 先根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量 由工程问题的数量关系就可 以求出结论 解答 解 由函数图象得 进水管每分钟的进水量为 20 4 5 升 设出水管每分钟的出水量为 a 升 由函数图象 得 20 8 5 a 30 解得 a 故关闭进水管后出水管放完水的时间为 30 8 分钟 故答案为 8 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 21 50 点评 本题考查利用函数的图象解决实际问题和用一元一次方程求出水管的出水量的运用 正确理解函数图象横纵坐标表示的意义 理解问题的过程 就能够通过图象得到函数 问题的相应解决 12 2013 鞍山 11 2 分 在一次函数 y kx 2 中 若 y 随 x 的增大而增大 则它的图 象不经过第 象限 考点 一次函数图象与系数的关系 专题 探究型 分析 先根据函数的增减性判断出 k 的符号 再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答 即可 解答 解 在一次函数 y kx 2 中 y 随 x 的增大而增大 k 0 2 0 此函数的图象经过一 二 三象限 不经过第四象限 故答案为 四 点评 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系 即一次函数 y kx b k 0 中 当 k 0 b 0 时 函数的图象经过一 二 三象限 13 2013 东营 17 4 分 如图 已知直线l y 3 3 x 过点A 0 1 作y轴的垂线交直 线l于点B 过点B作直线l的垂线交y轴于点A1 过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1 过点B1 作直线l的垂线交y轴于点A2 按此作法继续下去 则点A2013的坐标为 答案 20134026 0 40 2或 注 以上两答案任选一个都对 解析 因为直线 3 3 yx 与 x 轴的正方向的夹角为 30 所以60AOB 在 Rt AOB 中 因为 OA 1 所以 OB 2 1 Rt AOB 中 所以 1 OA 4 即点 1 A的坐标为 0 4 同理 1 OB 8 所在 21 Rt A OB 中 2 OA 16 即点 2 A的坐标为 2 0 4 依次类推 点 2013 A的坐标为 2013 0 4 或 4026 0 2 14 2013 潍坊 16 3 分 一次函数bxy 2中 当1 x时 y 1 当1 x时 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 22 50 y 0 则b的取值范围是 答案 2 b 3 考点 一次函数与不等式的关系和不等式组的解法 点评 把1 x和1 x代入 然后根据题意再列出不等式组是解决问题的关键 15 2013 上海市上海市 16 4 分分 李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地 如果邮箱 剩余油量 y 升 与行驶里程 x 千米 之间是一次函数关系 其图像如图 4 所示 那么 到达乙地时邮箱剩余油量是 升 16 函数y 中 自变量x的取值范围是 x 3 考点 函数自变量的取值范围 分析 根据被开方数大于等于 0 分母不等于 0 列式进行计算即可得解 解答 解 根据题意得 x 3 0 且 2x 4 0 解得 x 3 且 x 2 所以 自变量 x 的取值范围是 x 3 故答案为 x 3 点评 本题考查的知识点为 分式有意义 分母不为 0 二次根式的被开方数是非负数 17 2013 四川内江四川内江 14 5 分分 函数y 中自变量x的取值范围是 x 且x 1 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 23 50 考点 函数自变量的取值范围 分析 根据被开方数大于等于 0 分母不等于 0 列式求解即可 解答 解 根据题意得 2x 1 0 且 x 1 0 解得 x 且 x 1 故答案为 x 且 x 1 点评 本题考查了函数自变量的范围 一般从三个方面考虑 1 当函数表达式是整式时 自变量可取全体实数 2 当函数表达式是分式时 考虑分式的分母不能为 0 3 当函数表达式是二次根式时 被开方数非负 18 2013 四川内江四川内江 24 6 分分 如图 已知直线l y x 过点M 2 0 作x轴的垂线交 直线l于点N 过点N作直线l的垂线交x轴于点M1 过点M1作x轴的垂线交直线l于N1 过点 N1作直线l的垂线交x轴于点M2 按此作法继续下去 则点M10的坐标为 884736 0 考点 一次函数综合题 分析 本题需先求出OA1和OA2的长 再根据题意得出OAn 4n 求出OA4的长等于 44 即可 求出A4的坐标 解答 解 直线 l 的解析式是 y x NOM 60 点 M 的坐标是 2 0 NM x 轴 点 N 在直线 y x 上 NM 2 ON 2OM 4 又 NM1 l 即 ONM1 90 OM1 2ON 41OM 8 同理 OM2 4OM1 42OM OM3 4OM2 4 42OM 43OM OM10 410OM 884736 点M10的坐标是 884736 0 故答案是 884736 0 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 24 50 点评 本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度 以及如何根据 线段的长度求出点的坐标 解题时要注意相关知识的综合应用 19 2013 四川内江四川内江 25 6 分分 在平面直角坐标系xOy中 以原点O为圆心的圆过点A 13 0 直线y kx 3k 4 与 O交于B C两点 则弦BC的长的最小值为 24 考点 一次函数综合题 分析 根据直线 y kx 3k 4 必过点 D 3 4 求出最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂 直的弦 再求出 OD 的长 再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A 13 0 求出 OB 的 长 再利用勾股定理求出 BD 即可得出答案 解答 解 直线 y kx 3k 4 必过点 D 3 4 最短的弦 CD 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦 点 D 的坐标是 3 4 OD 5 以原点 O 为圆心的圆过点 A 13 0 圆的半径为 13 OB 13 BD 12 BC 的长的最小值为 24 故答案为 24 点评 此题考查了一次函数的综合 用到的知识点是垂径定理 勾股定理 圆的有关性质 关键是求出 BC 最短时的位置 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 25 50 20 2013 湖北省咸宁市 1 3 分 龟兔首次赛跑 之后 输了比赛的兔子没有气馁 总结 反思后 和乌龟约定再赛一场 图中的函数图象刻画了 龟兔再次赛跑 的故事 x表示乌龟 从起点出发所行的时间 y1表示乌龟所行的路程 y2表示兔子所行的路程 有下列说法 龟兔再次赛跑 的路程为 1000 米 兔子和乌龟同时从起点出发 乌龟在途中休息了 10 分钟 兔子在途中 750 米处追上乌龟 其中正确的说法是 把你认为正确说法的序号都填上 考点 函数的图象 分析 结合函数图象及选项说法进行判断即可 解答 解 根据图象可知 龟兔再次赛跑的路程为 1000 米 故 正确 兔子在乌龟跑了 40 分钟之后开始跑 故 错误 乌龟在 30 40 分钟时的路程为 0 故这 10 分钟乌龟没有跑在休息 故 正确 y1 20 x 200 40 x 60 y2 100 x 4000 40 x 50 当y1 y2时 兔子追上乌龟 此时 20 x 200 100 x 4000 解得 x 47 5 y1 y2 750 米 即兔子在途中 750 米处追上乌龟 故 正确 综上可得 正确 故答案为 点评 本题考查了函数的图象 读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义 理解问题 叙述的过程 有一定难度 三 解答题 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 26 50 1 20132013 山东临沂 山东临沂 2424 9 9 分 分 某工厂投入生产一种机器的总成本为 2000 万元 当该机器 生产数量至少为 10 台 但不超过 70 台时 每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系 函数y与自变量x的部分对应值如下表 x 单位 台 10 20 30 y 单位 万元 台 60 55 50 1 求y与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 2 求该机器的生产数量 3 市场调查发现 这种机器每月销售量z 台 与售价a 万元 台 之间满足如图所示 的函数关系 该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台 请你求出该 厂第一个月销售这种机器的利润 注 利润 售价 成本 答案 解 1 设y与x的函数解析式为y kx b 根据题意 得 1060 2055 kb kb 解得 1 2 65 k b y与x之间的函数关系式为 1 65 2 yx 10 x 70 2 设该机器的生产数量为x台 根据题意 得x 1 65 2 x 2000 解得x1 50 x2 80 10 x 70 x 50 答 该机器的生产数量为 50 台 3 设销售数量z与售价a之间的函数关系式为z ka b 根据题意 得 5535 7515 kb kb 解 得 1 90 k b z a 90 当z 25 时 a 65 设该厂第一个月销售这种机器的利润为w万元 w 25 65 2000 50 625 万元 方法指导 在解函数题时 主要利用待定系数法求解析式 数形结合是常用的数学思想 2 2013 山东德州山东德州 24 12 分 分 如图 在直角坐标系中有一直角三角形AOB O为坐标原点 OA 1 tan BAO 3 将此三角形绕原点O逆时针旋转 900 得到 DOC 抛物线y ax2 bx c 经过点A B C 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 是第二象限内抛物线上的动点 其横坐标为 t 15 35 55 75 a z 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 27 50 设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E 连接 PE 交 CD 于 F 求出当 CEF 与 COD 相 似时点 P 的坐标 是否存在一点 P 使 PCD 的面积最大 若存在 求出 PCD 面积的最大值 若不存在 请说明理由 思路分析 1 用待定系数法求出抛物线解析式 2 求动点 P 坐标 需要进行探究 分 类讨论存在情况 结合相似 列一元二次方程解题 要探究使 PCD 的面积最大 寻求 PN PM NM S PCD PCN PND 列出二次函数模型来解决 解 1 在 Rt AOB 中 OA 1 tan BAO 3 tan BAO OB OA OB OA tan BAO 3 DOC是由 AOB绕原点O逆时针旋转 90 0而得到的 OC OB 3 OD OA 1 A B C 三点的坐标分别为 1 0 0 3 3 0 代放抛物线解析式得 a b c 0 c 3 9a 3b c 0 解之得 a 1 b 2 c 3 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 抛物线y x2 2x 3 的对称轴l为 x a b 2 1 E 点坐标为 1 4 当 CEF 900时 CEF COD 此时点P在对称轴上 即点P为抛物线的顶点 坐 标为 1 4 当 CFE 900时 CFE COD 过点P做PMCA于点M 则 EFC EMP 于 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 28 50 是 3 1 OC DO FC EF MP EM MP 3EM 即 t2 2t 3 3 1 t 整理得 t2 t 6 0 解之得 t1 2 t2 3 不合题意 舍去 所以此时点 P 的坐标为 2 3 所以当 CEF 与 COD 相似时点 P 的坐标分别为 1 4 或 2 3 设直线 CD 的解析式为 y kx m则得 1 03 m mk 解之得 k 3 1 m 1 所以直线 CD 的解析式为 y 3 1 x 1 设 PM 与 CD 的交点为 N 则点 N 的坐标为 t 3 1 t 1 PN PM NM t2 2t 3 3 1 t 1 t2 3 7 t 2 则 S PCD PCN PND 2 1 PN CM 2 1 PN OM 2 1 PN CM OM 2 1 PN OC 2 3 t2 3 7 t 2 2 3 t 6 7 2 24 121 当 t 6 7 时 S PCD 的最大值为 24 121 方法指导 本题主要考查二次函数 一次函数与相似三角形 旋转等结合 具有较强探究 性 同时融合方程思想 分类讨论思想 函数建摸等 3 20132013 山东菏泽 山东菏泽 1717 1414 分 每题分 每题 7 7 分 分 1 已知 m 方程 2 20 xx 的一个实数根 求代数式 2 2 1 mm m m 的值 思路分析 根据方程 2 20 xx 的解为 m mm 2 的值 mm 2 2 0 两边同时除以 m 可以得出可得 m m 2 的值 解 1 解法一 m 方程 2 20 xx 的一个实数根 2 20mm 2 2mm 2 2mm 3 分 原式 2 2 2 1 m mm m 5 分 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 29 50 2 1 m m 6 分 2 2 4 7 分 解法二 解方程 2 20 xx 得 12 1 2xx 即 12 1 2mm 4 分 当1m 时 把1m 代入 2 2 1 4mm m m 当2m 时 把2m 代入 2 2 1 4mm m m 6 分 即 代数式 2 2 1 mm m m 的值为 4 7 分 方法指导 本题考查了一元二次方程的解与求代数式的值 借助一元二次方程的解及其等 式性质变形 巧妙运用整体代入发求出代数式的值 当然可以直接求出一元二次方程的解 M 的值 再代入计算 第42章 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 一次函数yx 的图象与反比例函数 k y x 图象 交 于 A B 两点 根据图像求 k 的值 点 P 在 y 轴上 且满足以点 A B P 为顶点的三角形是直角三角形 试写出点 P 所 有可能的坐标 思路分析 根据 A 点的横坐标代入函数yx 求出其纵坐标 然后将得出的 A 点坐标代入函数 k y x 求出 k 值 2 可以考虑 AB 是直角边 斜边 进行分析 解 把1x 代入yx 得1y 故 1 1 A 反比例函数 k y x 图象过点 A 1 11k 3 分 点 P 所有可能的坐标 0 2 0 2 0 2 0 2 7 分 方法指导 本题考查了一次函数与反比例函数本题考查图象与性质 一次函数与反比例函 数交点坐标满足两个函数的数学表达式 可以根据一个交点的坐标求出另一交点坐标或某函 数的 K 值 易错提示 问属存在型问题探究 一定要分类讨论 做到不重不漏 4 2013 山东日照 山东日照 21 10 分 分 本小题满分 10 分 一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车 100 辆 公司在经营中发现每辆车的月租金 x 元 与每月租出的车辆数 y 有如下关系 x 3O00 3200 3500 4000 x y O A B 第 17 题 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 30 50 y 100 96 90 80 1 观察表格 用所学过的一次函数 反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的 车辆数 y 辆 与每辆车的月租金 x 元 之间的关系式 2 已知租出的车每辆每月需要维护费 150 元 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 用 含 x x 3000 的代数式填表 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月 收益 所有未租出的车辆 每月的维护费 3 若你是该公司的经理 你会将每辆车的月租金定为多少元 才能使公司获得最大月收 益 请求出公司的最大月收益是多少元 思路分析 1 根据表格可得到每月租出的车辆数 y 辆 与每辆车的月租金 x 元 之 间的关系式是一次函数关系 利用表格中所给的数据就可以求出关系式 2 利用函数关系可以完成下表 3 根据题意可以找到月收益与月租金之间的函数关系 再求出最值 解 1 由表格数据可知 y 与 x 是一次函数关系 设其解析式为bkxy 由题 963200 1003000 bk bk 解之得 160 50 1 b k y 与 x 间的函数关系是160 50 1 xy 3 分 2 如下表 每空 1 分 共 4 分 租出的车辆数 160 50 1 x 未租出的车辆数 60 50 1 x 租出的车每辆 的月收益 150 x 所有未租出的车辆每 月的维护费 3000 x 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 31 50 分 元 月收益元时 公司可获得最大写为即 当每辆车的月租金 时 当 分 元 依题意可得 益为设租赁公司获得的月收 10 3070504050 3070504050 9 307050 4050 50 1 21000162 50 1 3000 24000163 50 1 3000 24000163 50 1 3000 150 160 50 1 3 max 2 2 2 2 Wx x xx xxx xxx xxxW W 方法指导 本题是一道现实生活中的问题 要把实际问题转化成数学模型 再利用纯数学 的知识去解决 5 2013 广东广东湛江湛江 25 10 分 分 周末 小明骑自行车从家里出发到野外郊游 从家出发 1 小时后后达南亚所 景点 游玩一段时间后按原速前往湖光岩 小明离家 1 小时 50 分钟后 妈妈驾车沿相同的路线前往湖光岩 如图是他们离家的路程 y km 与小明离家时间 x h 的函数图象 1 求小明骑车的速度和在南业所游玩的时间 2 若妈妈在出发后 25 分钟时 刚好在湖光岩门口追上小明 求妈妈驾车的速度及 CD 所 在直线的函数解析式 y km x h 2 11 6 BA O C 1 20 D 思路分析 1 从图中可读出一小时内小明走了 20 千米 由此可求速度 从图中也可直 接读出小明玩了 1 个小时 2 妈妈追上小明时 两个人走的路程相同 由此求出妈妈开车 的速度以及直线的解析式 解 1 小明骑车的速度为 20 千米 小时 在南亚游玩的时间为 1 小时 2 设妈妈驾车的速度为 x 千米 小时 则 2515 2020 6060 x 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 32 50 解得60 x 千米 小时 点 C 的坐标为 9 25 4 设直线 CD 的解析为 ykxb 所以 11 0 6 9 25 4 kb kb 解得60 110kb 所以 CD 的解析式为 60110yx 方法指导 1 求某一段线段的解析式 只要知道这条线段上的两个点的坐标 然后用待 定系数法即可求得 但有时也会从他们变化的规律来求 2 与行程有关的图形信息题中如果 要求速度 一定要从图中读到一定的时间内路程的变化 用路程的变化除以时间的变化即为 速度 3 本题中的追及问题就是两人在一定的时间走的路程相等 6 2013 四川成都 19 10 分 如图 一次函数y1 x 1 的图象与反比例函数y2 k x k为常数 且k 0 的图象都经过点A m 2 1 求点 A 的坐标及反比例函数的表达式 2 结合图象直接比较 当x 0 时 y1与y2的大小 思路分析 1 将点 A 的坐标代入一次函数的解析式求出 m 的值 再将点 A 的坐标代入反 比例函数的解析式求出 k 的值 2 在 y 轴右边比较两个函数值的大小 解 1 将点A m 2 的坐标代入一次函数y1 x 1 得 2 m 1 解得m 1 即点 A 的坐标为 1 2 将点A 1 2 的坐标代入反比例函数y2 k x 得 2 1 k 即k 2 反比例函数的表达式为y2 2 x 2 当 0 x 1 时 y1 y2 当x 1 时 y1 y2 当x 1 时 y1 y2 方法指导 函数图象的交点是比较两个函数值大小的关键点 此题中 易知两图象的另一 个交点是 2 1 于是可知在y轴左边 当 2 x 0 时 y1 y2 当x 2 时 y1 y2 当x 2 时 y1 y2 7 2013 四川成都 26 8 分 某物体从 P 点运动到 Q 点所用时间为 7 秒 其运动速度 v 米 x y A O 第 19 题图 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 33 50 秒 关于时间 t 秒 的函数关系如图所示 某学习小组经过探究发现 该物体前 3 秒运动的路 程在数值上等于矩形 AODB 的面积 由物理学知识还可知 该物体前 n 3 n 7 秒运动的 路程在数值上等于矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和 根据以上信息 完成下列问题 1 当 3 t 7 时 用含 t 的代数式表示 v 2 分别求该物体在 0 t 3 和 3 t 7 时 运动的路程 s 米 关于时间 t 秒 的函数关系式 并求该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 7 10 时所用的时间 思路分析 1 利用待定系数法求一次函数的解析式 2 根据题意即物理学知识求出分段函数 s 的解析式 并列一元二次方程求出题中所需时间 解 1 设直线 BC 的解析式为 v kt b 点 B C 的坐标为 3 2 C 7 10 32 710 kb kb 解得 2 4 k b v 2t 4 3 t 7 2 依题意可知 当 0 t 3 时 s 2t 当 3 t 7 时 s 6 1 2 2 2t 4 t 3 t2 4t 9 综上所述 s 2 2 03 49 37 tt ttt 当t 7 时 s 72 4 7 9 30 即总路程为 30 米 令t2 4t 9 30 7 10 整理得t2 4t 12 0 解得t1 2 不合题意 舍去 t2 6 答 该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 7 10 时所用的时间是 6 秒 方法指导 此题涉及一次函数 分段函数 一元二次方程等知识 解决第 2 问的关键根 据题意理解求路程的方法 8 2013 浙江湖州 22 8 分 某农庄计划在 30 亩空地上全部种植蔬菜和水果 菜农小张和果 农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务 小张种植每亩蔬菜的工资y 元 与种植面积m 亩 之间的函数关系如图 所示 小李种植水果所得报酬z 元 与种植面积n 亩 之 间的函数关系如图 所示 1 如果种植蔬菜 20 亩 则小张种植每亩蔬菜的工资是 元 小张应得的工资总额是 元 此时 小李种植水果 亩 小李应得的报酬是 元 v 米 秒 t 秒 O A B M C E N D 10 2 3 7 n 第 26 题图 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 34 50 2 当 10 n 30 时 求z与n之间的函数关系式 3 设农庄支付给小张和小李的总费用为W 元 10 m 30 时 求W与m之间的函 数关系式 思路分析 1 根据图象数据解答即可 2 设 z kn b k 0 然后利用待定系数法求一次函数解析式即可 3 先求出 20 m 30 时 y 与 m 的函数关系式 再分 10 m 20 时 10 m 20 20 m 30 时 0 n 10 两种情况 根据总费用等于两人的费用之和列式整理即可得解 解 1 小张种植每亩蔬菜的工资是 140 元 小张应得的工资总额是 2800 元 小李种植水果 10 亩 小李应得的报酬是 1500 元 2 当 10 n 30 时 z关于n的函数图像经过点 10 1500 30 3900 设z knb 则 101500 303900 kb kb 解得 120 300 k b 120300zn 10 n 30 3 当 10 m 30 时 2180ym 30mn 又 当 0 n 10 时 150zn 当 10 n 20 时 120300zn 当 10 m 20 时 10 n 20 W 2180 mm 120300n 2180 mm 120 30 300m 2 2603900mm 当 20 m 30 时 0 n 10 W 2180 mm 150n 2180 mm 150 30 m 2 2m 30m 4500 2013 年全国各地中考数学