第六讲机器人运动学逆解ppt课件.ppt

山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 前置模式 i 1 坐标系 i 仅涉及i杆件的参数 1 杆长 沿xi轴从zi 1到zi的距离 2 扭角 绕xi从zi 1转到zi的角度 3 平移量 沿zi 1轴从xi 1轴量至xi轴的距离 4 转角 绕zi 1轴从xi 1轴到xi的转角 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 第3章机器人运动学 3 1机器人的位姿描述3 2齐次变换及运算3 3机器人运动学方程3 4机器人微分运动 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3 2小节运动学方程的逆解 3 3机器人运动学方程 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 机器人运动学方程的逆解 也称机器人的逆运动学问题 或间接位置求解 逆运动学问题 对某个机器人 当给出机器人手部在基座标系中所处的位置和姿态时 即M0h中各元素给定 求出其对应的关节变量值qi 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 2 运动学方程的逆解 逆运动学问题的可解性 下面以六自由度机器人PUMA为例 研究其可解性 其中 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 2 运动学方程的逆解 其中 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 2 运动学方程的逆解 可见 我们有12个方程及6个未知数 上述12个方程关系如何 我们先看看转动部分 它是3X3子矩阵 共有9个元素 我们知道 转动矩阵的每列都是单位矢量 并且每列之间都两两正交 因此 9个元素中仅三个是独立的 或则说 12个方程中仅有6个是独立 对应6个未知数 因此 一般情况下 单从数学的角度看 方程组应该是有解的 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 2 运动学方程的逆解 上述方程组是由一些非线性的 超越 难解的方程组成 为了降低求解难度 机器人的杆件参数应仅可能地取为0 如常见的PUMA机器人那样 对于任何非线性方程组 必须关心其解的存在性 多解性和求解方法 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 2 运动学方程的逆解 解得存在性 解是否存在与机器人的工作空间密切相关 工作空间又取决于机器人的结构 杆件参数 或手部 工具 的位姿 一般情况下 如果手部坐标系的位置和姿态都位于工作空间内 则至少存在一个解 相反 若手部坐标系的位置和姿态都位于工作空间外 则无解 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 2 运动学方程的逆解 多解性问题 解得数量不仅与机器人的关节数有关 还与它的杆件参数 关节活动范围等相关 一般说 连杆的非零参数越多 解的数量就越多 即到达某个位置的路经就越多 多个解的存在使我们面临选择 如何选择 如 路径最短 最近原则 多解的应用 躲避障碍物等 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 运动学逆解的求解方法不像线性方程 不存在求解非线性方程组的通用算法 非线性方程组的算法应能求出它的所有解 因此 某些数值递推方法不适用 逆解的形式 1 闭式解 Close formsolution 用解析函数式表示解 特点 求解速度快 存在闭式解是机器人设计的目标 仅仅在一些特殊情况下 机器人存在解析的闭式解 如 相邻的多个关节轴交与一点 杆件扭角等于0或90度等 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 2 数值解 Numericalsolution 特点 递推求解 求解方法分类 代数法 几何法以及数值法 前两种用于求闭式解 后一种用于数值解 下面我们结合几个实例 介绍机器人闭式解析解的求解方法 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 例1 已知四轴平面关节SCARA机器人如图所示 试计算 1 机器人的运动学方程 2 当关节变量取qi 30 60 120 90 T时 机器人手部的位置和姿态 3 机器人运动学逆解的数学表达式 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 1 运动学方程a 建立坐标系 前置模式 机座坐标系 0 杆件坐标系 i 手部坐标系 h 1 0 2 3 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 1 运动学方程b 确定参数 0 1 2 3 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 1 运动学方程c 相邻杆件位姿矩阵 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 1 运动学方程c 相邻杆件位姿矩阵 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 1 运动学方程c 相邻杆件位姿矩阵 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 1 运动学方程c 相邻杆件位姿矩阵 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 1 运动学方程d 建立方程 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 2 已知qi 30 60 120 90 T 则 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 3 逆解数学表达式已知运动学方程 用通式表示为 分析 上述矩阵方程有4个未知量 由于第一行第一列元素与第二行第二列元素相等 第一行第二列元素与第二行第一列元素大小相等 符号相反 因此 仅4个元素相互独立 与变量数相同 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 3 逆解数学表达式联立方程 其中 nx ny px py和pz是已知的手的位姿 1 2 4及d3是待求的未知量 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 3 逆解数学表达式由上面 a b 两式可得 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 由上面 c d 两式 两边平方可得 将两式相加得 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 这时已经求出 3 3机器人运动学方程 解 3 逆解数学表达式为了求 1 由上面 c d 两式展开可得 化简 得 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 3 逆解数学表达式由上面两式可得 可得 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 3 逆解数学表达式已知 1 2后 由 可得 最后由 e 式可得 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 3 逆解数学表达式逆解数学表达式为 可见 四轴平面关节SCARA机器存在封闭式逆解表达式 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 结合实例介绍另一种求逆解的代数法 例2 已知PUMA机器人 如图所示 试用递推逆变换法计算其运动学逆解 后置模式 与教材有些不同D2 0 d3不等0 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解 结构参数和关节变量表 31 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 接下来写出一些杆件间齐次变换阵 并注意其中的一些元素 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 其中 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 手部相对基座坐标系的位姿矩阵 2 运动学方程的逆解 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 由 注意到 T16的 2 4 元素为d3 让上式中等号两边的 2 4 元素相等 得 1 2 已知 一个未知量 1 越靠近基座越简单 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 令 代入 2 式有 根据和差公式 得 最后 求出了 1 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 求出 1后 1 式的左边矩阵就已知 如果我们再令 1 式等号两边 1 4 和 3 4 元素相等 可得 3 将以上两式平方后相加 可得 其中 4 两个未知量 2 3 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 4 式与 2 式有相同的形式 可得 我们注意到 T36中的 1 4 和 2 4 元素为常数 由 5 令 5 式等号两边 1 4 和 2 4 元素相等 可得 6 1 2已求出 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 6 式中 仅c23和s23两个未知数 联立可解得 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 这样 式 5 左边矩阵中的所有元素都已知了 为了求 4和 5 令 5 式等号两边 1 3 和 3 3 元素相等 可得 设s5不等于零 得 5等于零对应4轴与6轴共线的奇异结构 这时的转动效果相同 可任取 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 为了求 5和 6 我们应用T46 其中 令 7 式等号两边 1 3 和 3 3 元素相等 可得 7 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 解得 同样 令 7 式等号两边 3 1 和 1 1 元素相等 可得 其中 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 总结 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 从所得的各关节变量表达式可看出 只有 1 3的式中有 故他们确定了末杆坐标系原点的位置 而 4 6三式中有 它们确定了末杆坐标系的姿态 这是后三个关节交与一点这种结构的重要特点之一 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 递推逆变换法小结 1 原则 等号两端的矩阵中对应元素相等 列出相关方程进行求解 2 步骤 1 从含变量少的左边开始 如T01 向右递推 直到求出所有变量或无法继续 2 选择等号左边或右边矩阵中等于常数或仅含有一个变量的元素 列出相应元素对应的方程或方程组 山东大学机械工程学院机电工程研究所2010 09 02 3 3机器人运动学方程 3 技巧 求 角时 尽量采用反正切 并依据x和y的符号 判定它所在的象限 4 问题 求解过程中可能