北京市朝阳区2019~2020学年度第一学期高2020届高三年级期中质量检测数学试题(word版,含答案)

高三数学试卷 第 1 页 共 14 页 北京市朝阳区 2019 2020 学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学试卷数学试卷 2019 11 考试时间 120 分钟 满分 150 分 本试卷分为选择题 共 40 分 和非选择题 共 110 分 两部分 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 则 2 4 Axx Z 1 2 B AB A B 1 1 2 C D 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 已知 且 则 2 3 sin 5 tan A B 3 4 4 3 C D 3 4 4 3 3 下列函数中 既是奇函数又在区间上单调递增的是 0 1 A B 3 yx sin yx C D 2 logyx 22 xx y 4 关于函数有下述三个结论 sincosf xxx 函数的最小正周期为 f x2 函数的最大值为 f x2 函数在区间上单调递减 f x 2 其中 所有正确结论的序号是 A B C D 高三数学试卷 第 2 页 共 14 页 5 已知 是两个不同的平面 直线 下列命题中正确的是 m A 若 则 B 若 则 m m C 若 则 D 若 则 m m 6 已知函数恰有两个零点 则实数的取值范围是 2 1f xxkx k A B C D 1 0 2 1 1 2 1 2 2 7 已知为等比数列 则 是 为递减数列 的 n an N 12 aa n a A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 设 为椭圆 的两个焦点 为上一点且在第二象限 若为等腰三角 1 F 2 F C 22 1 95 xy MC12 MFF 形 则点的横坐标为 M A B C D 3 2 15 2 15 2 3 2 9 在中 点在边上 且 则的取值范 ABC90BAC 2BC PBC 1APABAC AP 围是 A B 1 1 2 1 1 2 C D 2 1 2 2 1 2 10 已知集合 满足 ABAB Q AB 若且 则 1 xA 2 x Q 21 xx 2 xA 若且 则 1 yB 2 y Q 21 yy 2 yB 给出以下命题 若集合中没有最大数 则集合中有最小数 AB 若集合中没有最大数 则集合中可能没有最小数 AB 若集合中有最大数 则集合中没有最小数 AB 若集合中有最大数 则集合中可能有最小数 AB 其中 所有正确结论的序号是 A B C D 高三数学试卷 第 3 页 共 14 页 第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 11 已知向量 且 则 1 1 a 3 m b a b m 12 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 最长棱的长度为 13 已知直线与圆相交于 两点 为坐标原点 且为等腰20 xya 22 2O xy ABOAOB 直角三角形 则实数的值为 a 14 已知 是实数 给出下列四个论断 abab 11 ab 0a 0b 以其中两个论断作为条件 余下的论断中选择一个作为结论 写出一个正确的命题 15 已知函数 为常数 若 则 若函数存在最 2 1 e x axxa f x x xa a 1 1 2 f a f x 大值 则的取值范围是 a 16 年月 中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录 标志着中华五千年文明史得到国际社会认20197 可 良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例 实证了中华五千年文明史 考古科学家在测定遗址 第 12 题图 1 1 1 俯视图 侧 左 视图 正 主 视 图 高三数学试卷 第 4 页 共 14 页 年龄的过程中利用了 放射性物质因衰变而减少 这一规律 已知样本中碳的质量随时间14N 单位 年 的衰变规律满足 表示碳原有的质量 则经过年后 碳t 5730 0 2 t NN 0 N145730 的质量变为原来的 经过测定 良渚古城遗址文物样本中碳的质量是原来的至 1414 1 2 3 5 据此推测良渚古城存在的时期距今约在 年到年之间 参考数据 5730 22 log 31 6 log 52 3 三 解答题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题 13 分 在中 点在边上 且 ABC2 7AB PBC60APC 2BP 求的值 AP 若 求的值 1PC sinACP 18 本小题 13 分 已知是各项均为正数的等比数列 n an N 1 16a 32 3322aa 求的通项公式 n a 设 求数列的前项和 并求的最大值 2 3log nn ba n bn n S n S 19 本小题 14 分 如图 在四棱锥中 侧面是等边三角形 且平面平面 为的中PABCD PADPAD ABCDEPD 点 AD BCCDAD 24BCCDAD 求证 平面 CEPAB 求二面角的余弦值 EACD 直线上是否存在点 使得平面 ABQ PQACE C E D B A P 高三数学试卷 第 5 页 共 14 页 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 AQ AB 20 本小题 13 分 已知椭圆经过两点 C 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 2 P 2 0 Q 求椭圆的标准方程 C 过椭圆的右焦点的直线 交椭圆于 两点 且直线 与以线段为直径的圆交于另一FlCABlFP 点 异于点 求的最大值 EFABFE 21 本小题 14 分 已知函数 ln x f x xa 0 a 求曲线在点处的切线方程 yf x 1 1 f 当时 证明 1 a 1 2 x f x 判断在定义域内是否为单调函数 并说明理由 xf 22 本小题 13 分 已知无穷数列 满足 n a n b n cn N 1 nnn abc 1 nnn bca 记 表示个实数 中的最大值 1 nnn cab max nnnn dabc max x y z3xyz 若 求 的可能值 1 1a 2 2b 3 3c 1 b 1 c 若 求满足的的所有值 1 1a 1 2b 23 dd 1 c 高三数学试卷 第 6 页 共 14 页 设 是非零整数 且 互不相等 证明 存在正整数 使得数列 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 ck n a 中有且只有一个数列自第项起各项均为 n b n ck0 北京市朝阳区北京市朝阳区 2019 2020 学年度第一学期高三年级期中质量检测学年度第一学期高三年级期中质量检测 数学参考答案数学参考答案 2019 11 第一部分 选择题第一部分 选择题 共共 40 分 分 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 C 2 C 3 D 4 B 5 D 6 B 7 B 8 D 9 A 10 B 第二部分 非选择题第二部分 非选择题 共共 110 分 分 二 填空题 共二 填空题 共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分 分 11 12 13 3 1 6 35 14 若 则 答案不唯一 ab 0b 11 ab 15 16 1 2 0 1 2 4011 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 共小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 17 本小题 13 分 解 因为 所以 60APC 120APB 在中 2 7AB ABP 120APB 2 BP 由余弦定理 得 222 2cosABAPBPAP BPAPB 2 2240APAP 所以 6 分4AP 在中 APC4AP 1PC 60APC 高三数学试卷 第 7 页 共 14 页 由余弦定理 得 222 2cosACAPPCAP PCAPC 13AC 由正弦定理 得 sinsin APAC ACPAPC 413 sinsin60ACP 所以 13 2 39 sin 13 ACP 分 18 本小题 13 分 解 设的公比为 因为 n aq 132 16 2332aaa 所以 2 2203qq 解得 舍去 或 2q 1 2 q 因此的通项公式为 6分 n a 15 1 16 2 2 nn n a 由 得 2 3 5 log 2153 n bnn 当时 2 n 1 3 nn bb 故是首项为 公差为的单调递减等差数列 n b 1 12b 3 则 2 13 12 1 3 9 22 n Snn nnn 又 所以数列的前项为正数 5 0b n b4 所以当或时 取得最大值 且最大值为 134n 5 n S 45 30SS 分 19 本小题 14 分 高三数学试卷 第 8 页 共 14 页 解 如图 取中点 连结 PAF EF BF 因为为中点 EPD4AD 所以 EF AD 1 2 2 EFAD 又因为 BC AD2BC 所以 EF BC EF BC 所以四边形为平行四边形 EFBC 所以 CE BF 又因为平面 平面 CE PABBF PAB 所以平面 4 分 CEPAB 取中点 连结 因为为等边三角形 所以 ADOOPOB PADPOOD 又因为平面平面 平面平面 PAD ABCDPAD ABCD AD 所以平面 PO ABCD 因为 ODBC2ODBC 所以四边形为平行四边形 BCDO 因为 所以 CDAD OBOD 如图建立空间直角坐标系 Oxyz 则 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 1 3 0 0 2 3 ABCEP 所以 2 4 0 0 3 3 ACAE 设平面的一个法向量为 ACE 1 x y z n 则即 1 1 0 0 AC AE n n 240 330 xy yz 令 则 2x 1 2 1 3 n 显然 平面的一个法向量为 ACD 2 0 0 1 n 所以 12 12 12 36 cos 42 2 nn n n n n 由题知 二面角为锐角 EACD 所以二面角的余弦值为 10 分 EACD 6 4 F P A B D E C O z P E D y C x B A 高三数学试卷 第 9 页 共 14 页 直线上存在点 使得平面 理由如下 ABQ PQACE 设 因为 AQAB 2 2 0 AB 0 2 2 3 PA 所以 2 2 0 AQAB 2 22 2 3 PQPAAQ 因为平面 所以平面当且仅当 PQ ACE PQACE 1 0PQ n 即 解得 2 22 2 3 2 1 3 0 2 所以直线上存在点 使得平面 此时 14ABQ PQACE2 AQ AB 分 20 本小题 13 分 解 因为椭圆过点 C 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 2 P 2 0 Q 所以得 22 2 11 1 2 a ab 2 1 a b 故椭圆的标准方程为 4 分C 2 2 1 2 x y 由题易知直线 的斜率不为 0 设 ll1xty 由得 显然 2 2 1 1 2 xty x y 22 2 210tyty 0 设 1122 A x yB xy 则 1212 22 21 22 t yyy y tt 又 2 12 1ABtyy 以为直径的圆的圆心坐标为 半径为 FP 2 1 4 2 4 r 高三数学试卷 第 10 页 共 14 页 故圆心到直线 的距离为 l 22 22 11 44 11 tt d tt 所以 2 22 22 1121 22 88121 t FErd tt 所以 12 2 2 ABFEyy 2 1212 2 4 2 yyy y 22 22222 244288 2 2 22 2 tt ttt 2 22 2 2 11 22 1 2 1 2 1 t t t t 因为 所以 即 2 11 t 2 2 1 1 2 1 t t 2 2 11 1 4 1 2 1 t t 所以 1 21 4 ABFE 当时 直线与椭圆有交点 满足题意 且 0t 1ABFE 所以的最大值为 13ABFE 1 分 21 本小题 14 分 解 函数的定义域为 f x 0 2 ln1 a x x fx xa 因为 1 0f 1 1 1 f a 所以曲线在点处的切线方程为 yf x 1 1 f 1 0 1 1 yx a 即 4 1 10 xay 高三数学试卷 第 11 页 共 14 页 分 当时 1 a ln 1 x f x x 欲证 1 2 x f x 即证 ln1 12 xx x 即证 2 2ln10 xx 令 2 2ln1h xxx 则 22 1 1 2 xx h xx xx 当变化时 变化情况如下表 x h x h x x 0 1 1 1 x h 0 xh 极大值 所以函数的最大值为 故 xh 1 0h 0 h x 所以 9 1 2 x f x 分 函数在定义域内不是单调函数 理由如下 xf 令 ln1 a g xx x 因为 22 1 0 axa g x xxx 所以在上单调递减 xg 0 注意到 1 10ga 高三数学试卷 第 12 页 共 14 页 且 11 11 1 e lne1 1 0 ee aa aa a ga 所以存在 使得 1 1 e a m 0g m 当时 从而 所以函数在上单调递增 0 xm 0g x 0fx f x 0 m 当时 从而 所以函数在上单调递减 xm 0g x 0fx f x m 故函数在定义域内不是单调函数 14 分 xf 22 本小题 13 分 解 由 得 所以 211 bca 1 12c 1 3c 由 得 所以 322 cab 2 23a 2 5a 又 故 2111 33 abcb 2 5a 1 8b 1 8b 所以 的所有可能值为 1 b 1 c 1 8b 1 3c 1 8b 1 3c 1 8b 1 3c 3 1 8b 1 3c 分 若 记 1 1a 1 2b 1 cx 则 222 2 1 1ax bxc 2 2 0 1 1 1 2 1 2 xx dx xx 3 1 1ax 3 1 2 bx 3 2 1 cxx 当时 由 得 不符合 0 1 x 333 1 1ax bxc 3 1d 32 dd 1x 当时 1 2 x 333 2 1 32 axbxcx 3 2 1 1 5 1 1 5 2 xx d xx 由 得 符合 32 dd 1x 当时 2 x 333 2 3 1