山东省济宁一中09年高考数学人教版选修2-2第一轮复习教学案：第三章数系的扩充和复数的引入.doc

第三章数系的扩充和复数的引入课标研读课标要求1复数的概念 理解复数的基本概念. 理解复数相等的充要条件. 了解复数的代数表示法及其几何意义.2复数的四则运算 会进行复数代数形式的四则运算. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.命题展望本章内容在高考中，以选择题和解答题为主.选择题主要考查：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部和虚部、复数的模、辐角主值、复数相等、共轭复数等概念.（2）复数代数形式的基本运算，包括复数的四则运算，乘方、开方运算，代数形式基本运算的技能与技巧等.（3）复数的几何意义，特别是复数乘法的几何意义向量旋转，复数运算的几何意义在平面图形中的应用等.在高考中常见的类型有：（1）与基本计算有关的问题；（2）与复数模的最值有关的问题；（3）与复数几何意义有关的问题.解答题主要考查：（1）在复数集中解一元二次方程和二项方程.（2）复数的运算.（3）复数与代数、几何、三角的综合性知识运用.在高考中常见的类型有：（1）解复数方程的问题；（2）求复数的模和的问题；（3）复数与代数几何、三角相关联的综合性问题.从上述我们可以看到高考常以考查复数运算为主，估计这一命题趋势还将继续下去.在复习过程中，要重视复数与相关知识的联系.复数问题可以转化成三角问题，复数问题转化为实数范围内的代数问题，复数问题转化成平面几何问题.在复习过程中，就充分利用相关知识，实现问题的转化.如求模的最值问题可采用以下思考方法：转化为求三角函数式的最值问题，转化为实数范围内的最值，利用模为实数这一性质，|z1|z2|z1z2|z1|z2|，转化为平面几何问题.随着观察分析角度的不同，产生不同的解题思路和方法，提高学生对算理算法的合理运用的水平.虽然复数试题的难度较低，但非常灵活，具有活而不难的特点，且常考常新，要求具有灵活处理问题的能力，因此在复习时应狠抓基础，对复数的概念，复数运算等要熟练掌握，对于一些常见的虚数等的运算性质等要熟练掌握，现时还要注意数形结合思想，复数问题实数化方法等。第一讲复数的相关概念和几何意义知识梳理知识盘点1.复数的有关概念（1）复数的单位为，它的平方等于，即，并且，（2）复数：形如的数（其中），叫做复数的，叫做复数的，当时，复数为实数，当时，复数为虚数；当且时，复数为。（3）两个复数上等的定义（其中），特别地（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。2复数的几何意义（1）复数与复平面内的点一一对应。（2）在复平面内，实轴上的点都表示；除外，虚轴上的点都表示.（3）复数与平面向量一一对应（其中O是坐标原点，）.（4）向量的模叫做复数的，记作，并且（5）相等的向量表示复数。 特别提醒1 复平面内的两点间的距离公式是，其中是复平面内的两点和所对应的复数，表示和间的距离。例如：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：表示线段的垂直平分线的方程。2复数集中解一元二次方程在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：当时，若，则有二个不相等的实数根；若，则方程为两个相等的实数根；若，则方程有二个不相等的复数根（其中为共轭复数）。基础闯关1（2006年全国I卷）如果复数是实数，则实数等于（）A1B1CD2（2006年北京卷）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设复数i，则1（）A.B.2C.D.4已知集合M=1,，N1，3，MN1,3，则实数m的值为（ ）（A） 4 （B）1 （C）4或1 （D）1或65已知z是复数，z+2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是6（2007年山东省样题）复数的积为实数的充要条件是 . 典例精析例1设是虚数单位，求使成立的最小的正整数的值。剖析可以先将复数求出，再取逐一计算验证，从而求出的最小值；也可以根据的幂的周期性进行求解。解解法一：由于，所以，于是，从而的最小值为12.解法二：由于（即的幂的周期为4），（即的幂的周期为3）考虑两个幂的最小公倍数12.从而，故使成立的最小的正整数n是12.警示本题主要考查复数的乘法运算以及两个常用的虚数和的有关性质，对于虚数单位，它的幂的值具有周期性，有；而复数是1的虚立方根，它的幂值也具有周期性，满足，利用这些性质可以方便地解决某些问题，如当时，有，集合中只有一个元素等。变式训练：1 数列满足，求的值。例2设复数，试求m取何值时（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数； （3）Z对应的点位于复平面的第一象限？ 剖析本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数。由于所给出的复数已写成标准形式，即的形式，所以只需根据题目的要求，应对实部和虚部分别进行处理。解Z对应的点位于复平面的第一象限.警示由于本题已写成了复数的标准形式，即的形式，根据当时，复数是实数；当且时，复数是纯虚数；另外本题还考查了复数的几何意义，即复数与复平面上的点一一对应，根据定义即可得本题的解答。变式训练2设复数z=+，问当x为何实数时，z是（1）实数？ 虚数？ 纯虚数？ z在复平面上对应的点在实轴上方？|z|=1？例3在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.剖析由于复数在复平面上对应于向量的坐标，从而可将Z1，Z2，Z3所对应的复数在复平面上表示出来，然后利用向量的共线来处理此问题。解解法一：如图，设Z1、Z3对应的复数分别为z1、z3，则由复数乘除法的几何意义有z1z2cos（）isin（）z3解法二：设Z1、3对应的复数分别是z1、z3，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得,z1z2（1i）（1i）（1i）iz3z2z1（1i）（i）i警示本题主要考查复数的基本概念和几何意义，以及运算能力.此题以复平面上的简单几何图形为背景，借以考查复数的向量表示与复数运算的几何意义等基本知识，侧重概念、性质的理解与掌握，以及运算能力和转化的思想，对复数教学有良好的导向作用.变式训练3. 设复数z满足|z|5，且（34i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|zm|5（mR），求z和m的值.例4已知z1=x2+i，z2=(x2+a)i对于任意xR均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围剖析根据复数模的定义，可知|z1|z2|，即x4+x2+1(x2+a)2，因此将问题转化为一元二次不等式恒成立的问题。解解：|z1|z2|，x4+x2+1(x2+a)2(12a)x2+(1a2)0对xR恒成立当12a=0，即a=时，不等式成立;当12a0时，1a综上，a(1，警示本题利用复数的性质求模之后，转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围另外本题还考查了分类讨论思想，它是一种重要的解题策略和方法，它能使复杂的问题简单化，复数考题中经常用到这种分类讨论思想.变式训练4设z是虚数，w=z+是实数，且12.（）求|z|的值及z的实部的取值范围；（）设u=，求证：u为纯虚数；（）求wu2的最小值.例5已知复数z=i，=i.复数z，z23在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明：OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.剖析在证OPQ是等腰直角三角形，需要证明两点：其一是OPOQ，再者是|OP|=|OQ|，从而由复数的概念与计算可得问题的证明。解z=cos（）+isin（）.z3=i，又=.4=1于是，由此得OPOQ，|OP|=|OQ|故OPQ为等腰直角三角形.警示变式训练5设复数z1, z2满足z1z2+2i z1-2i z2+1=0.()若z1, z2满足- z1=2i , 求z1, z2; ()若|z1|=, 是否存在常数k, 使得等式|z2-4 i |=k恒成立, 若存在,试求出k; 若不存在说明理由.例6（2006年上海春卷）已知复数满足为虚数单位），求一个以为根的实系数一元二次方程.剖析一个一元二次程必有两个复根，且这两个根互为共轭复数，因此可利用韦达定理加以解决。解解法一：， . 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是. 解法二：设， ， 得 ， ， . 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是.警示变式训练6对任意一个非零复数z，定义集合Mzw|wzn，nN（）设z是方程x+=0的一个根，试用列举法表示集合Mz若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；（）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由能力提升1（2006年全国II）等于（）ABCD2(2007年豫东地区)若复数满足,则等于（）A. B. C. D.3（2007年山西省实验中学）已知复数z与（均是纯虚数，则z等于（ ）A2iB2i C2i Di4（2007年山西省实验中学）若i是虚数单位，则满足的实数对p，q一共有（ ）A1对B2对C3对D4对5（2007年山东淄博）已知，其中m，n是实数，是m+ni等于（ ）A1+2iB12iC2+iD2i6（2007年山东省样题） . 7关于z的方程 |z+2i|+|z-2i|=6 在复平面上的图形是 . 8（2007年深圳外国语学校）已知，则在复平面上对应的点位于第象限。9在复平面内，是原点，表示的复数分别为，那么表示的复数为_.10要使复数 + 为纯虚数，其中实数是否存在？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由11. 设复数z满足4z+2=3+i，=sinicos（R）.求z的值和|z|的取值范围.12. 已知复数z01mi（M0），zxyi和xyi，其中x，y，x，y均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有，|2|z|（）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式；（）将（x，y）作为点P的坐标，（x，y）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.第二讲复数的四则运算知识梳理知识盘点1复数的加、减、乘、除运算复数的加、减、乘、除运算按以下规则进行：设，加减法：故有乘法：除法：复数的加法、乘法满足，结合律及乘法对加减法的，实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中，即2 复数的常用性质（1）（2）设，则3代数基本定理：任何次复数系多项式至少有一个复数根。从代数基本定理出发可以得到下面一些结论：（1）任何次复数系多项式在复数集中可以分解为个的乘积，进而次多项式有个复数根（重根按重数计）；（2）如果虚数是实系数一元次方程的根，那么它的也是此方程的根，即“虚根成对”出现；（3）根据根与系数的关系：设实系数一元二次方程在复数集C内的根为，则容易得到4虚数与纯虚数的概念混淆复数表示纯虚数的充要条件是；5已知方程，则特别提醒1复数的代数形式运算类似多项式的运算，加法类似合并，同类项，乘法类似多项式乘多项式，除法类似于分母有理化（实数化），但复数的运算具有它独特的技巧。在求解计算时要灵活利用的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于的计算问题。2在解答复数问题时，要学会从整体角度出发去分析和求解（整体思想贯穿于整个复数的内容）。如果遇到复数就设为，则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍。基础闯关1复数的值是（ ） A1 B1C32 D322（2007年广东深圳） ( ) A B C D3复数的值是 ( ) A16B16CD4设则（）5已知a=（i是虚数单位），那么a4=_.6复数的模为，则实数a的值是 典例精析例1计算：剖析分别计算各个分量的值，然后再相加即可得所要求解的结果。解； ；所以原式警示运算复数运算与实数代数式运算的相似性及有关的计算技巧进行解题，类似于本题的计算题目，一般来说是将所要计算的复数式分解，分别计算各个分式的数值，然后再进行加法计算，即可得所要求解的结果。变式训练1. 计算：（1）；（2）例2若是复数，是纯虚数，求剖析可以设复数，根据条件求出应满足的条件，最后求出；也可直接根据是纯虚数，设，求出（用表示），最后再计算解解法一：设，则，由于是纯虚数，故解法二：由于是纯虚数，所以可设所以，解得，从而警示本题给出的两种方法中，解析一是处理复数问题的常规方法，即“化虚为实”，根据纯虚数的定义求解；解析二则是直接根据是纯虚数，设出，然后找到与的关系，再利用复数模的运算性质进行求解，解析二比解析一更简捷，因此要熟练掌握复数模的运算性质，如，等等。变式训练：2已知z、w为复数，（13i）z为纯虚数，w，且|w|5，求w例3若关于的方程有纯虚数根，求的最小值。剖析可将虚根设出，代入原方程，求出复数，并表示出复数的模，借助求不等式的最小值办法进行求解。解设方程的纯虚根是且，将代入方程，当且仅当，即时，取最小值为警示这里需要注意原方程有纯虚数根，可用一个实数的形式表示出来，即设方程的纯虚根是且，就将复数问题实数化，这是处理复数问题的一种常见的方法。变式训练3已知z1=x2+i，z2=(x2+a)i对于任意xR均有|z1|z2|成立，试求实数a的取值范围例4已知，求的值。剖析从函数式子的角度来看，直接代入的运算量罗大，不可取，因此考虑对函数式子配方后，再代入运算。解 ，由得，代入上式得警示 解决与函数有关的复数问题，要注意熟练运用配方法、待定系数法等处理解析式的方法。变式训练4若，这里是的共轭复数，求 例5已知复数，当时，求实数的取值范围。剖析可以选将复数，分别计算出来，然后代入，求解实数的取值范围；也可以直接通过计算复数的模进行计算。解解法一：由于从而，而，所以，即，从而解法二： 由于，而，即故所求的实数的取值范围是警示法一先进行复数的运算再求模，运算量较大；法二充分利用了复数模的性质（如等）减少了计算量，简单快捷。变式训练5已知复数z1满足(1+i)z1=1+5i， z2=a2i， 其中i为虚数单位，aR， 若|z1|，求a的取值范围.例6已知关于的一元二次方程.（1）当方程有实根时，求点的轨迹；（2）求方程实根的取值范围.剖析因为方程有实根，故可将实设出，代入原方程，根据复数相等的充要条件，找到实根与变量的关系，利用消参法进行求解。解（1）设实根为，则，即根据复数相等的充要条件，得由（2）得，代入（1）得，即所以所求的点的轨迹方程是轨迹是以点（1，1）为圆心，为半径的圆.（2）由（3）得圆心为（1，1），半径，直线与圆有公共点，从而应有，即，故方程的实根的取值范围是（4,0）。警示这是复数与解析几何相综合的问题，当我们“化虚为实”以后，复一元方程转化为二元方程组，消去参数即得到曲线的轨迹方程，但需要注意的是轨迹与轨迹方程是不相同的。变式训练6（2005年上海春卷）证明：在复数范围内，方程为虚数单位）无解。能力提升1设是虚数单位，则（）A2B0C2D42（2006年江西九校）计算的值是（）ABCD3已知是1的立方根，非零复数满足则的值为（）A1B1或C1或或D1或或4若满足，则的值为（）A1B0C1D5的平方根是（）ABCD6若，则7（2006年重庆卷）复数的值是. 8若，则9（2006年广东汕头）规定运算，若，设为虚数单位，则复数10已知z71（zC且z1）.证明1zz2z3z4z5z60；11. （2006年湖北）设、为实数，且，求+的值。12. （2005年上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位) 仿真训练一选择题1（2007年江西重点中学）复数(1+i)的虚部是 （ ）A、2 B、2 C、2i D、2i2设复数则是是纯虚数的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件3（2007年河北石家庄）设，则复数的虚部为（ ） （A）1 （B）2 （C）1 （D）24（2007年山东诸城一中）复数（m、A、BR），且A+B=0，则m的值是（ ）ABCD25集合ZZ，用列举法表示该集合，这个集合是（ ）A0，2，2