高考通关讲练高考数学(理科)课标通用第6辑：六、解三角形.

六 解三角形 1 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三角形度量问题 2 应用 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 本考点一直是高考的热点 尤其是已知边角求其他边角 判断三角形的形状 求三角 形的面积考查比较频繁 既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题 也有考查两个定 理与和差公式 倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题 解题时要掌握正 余弦定 理及灵活运用 注意函数与方程思想 转化与化归思想在解题中的应用 在中 若角 A B C 所对的边分别是 a b c 则ABC 1 正弦定理 sinsinsin abc ABC 2 常见变形 sinsinsin 1 sinsin sinsin sinsin sinsinsin AaCcBb aBbA aCcA bCcB BbAaCc 2 sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin abcabacbcabc ABCABACBCABC 3 sin sin sin a b cABC 3 余弦定理 4 2 sinsinsin abc RRABC ABC 正弦定理的推广 其中为 外接圆的半径 2 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍 即 222222222 2cos 2cos2cos abcbcAbacacBcababC 4 余弦定理的推论 从余弦定理 可以得到它的推论 222222222 cos cos cos 222 bcacababc ABC bccaab 5 三角形面积公式 1 三角形的高的公式 hA bsinC csinB hB csinA asinC hC asinB bsinA 2 三角形的面积公式 S absinC S bcsinA S casinB 2 1 2 1 2 1 2016 新课标II 理 的内角A B C 的对边分别为a b c 若 ABC cos A cos C a 1 则 b 4 5 5 13 答案 21 13 解析 因为 且为的内角 所以 45 cos cos 513 AC A CABC 312 sin sin 513 AC 又因为 63 sinsin sin sincoscossin 65 BACACACAC 所以 sinsin ab AB sin21 sin13 aB b A 考点定位 正弦定理 解题必备 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题 1 已知两角和任意 一边 求其他的边和角 2 已知两边和其中一边的对角 求其他的边和角 在中 若 则 ABC 1 1 2 cos 4 abC c sinA 答案 2 15 8 3 解析 根据余弦定理 得解得 22222 1 2cos122 1 24 4 cababC 由得 所以2c 1 2 2 abc 222222 2217 cos 22 2 28 cba A bc 2 715 sin1 88 A 考点定位 余弦定理 解题必备 利用余弦定理解三角形的步骤 在中 已知 ABC 2AB 3 60 ACA 1 求 BC 的长 2 求的值 sin2C 答案 1 2 7BC 4 3 sin2 7 C 解析 1 由余弦定理知 222 1 2cos492 2 37 2 BCABACAB ACA 所以 7BC 2 由正弦定理 知所以 sinsin ABBC CA 2sin6021 sinsin 77 AB CA BC 因为 所以 C 为锐角 则 ABBC 2 32 7 cos1 sin1 77 CC 因此 212 74 3 sin22sincos2 777 CCC 考点定位 正弦定理与余弦定理的综合应用 解题必备 利用正 余弦定理求边和角的方法 4 1 根据题目给出的条件 即边和角 作出相应的图形 并在图形中标出相关的位 置 2 选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题 3 在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用 在中 内角 A B C 所对边的边长分别是 a b c 已知 ABC 2 3 cC 1 若的面积等于 求的值 ABC 3 a b 2 若 sinB 2sinA 求的面积 ABC 答案 1 a 2 b 2 2 2 3 3 解析 1 由余弦定理 得 又的面积等于 所以 22 4 abab ABC 3 得 联立得方程组 解得 1 sin 3 2 SabC 4ab 22 4 4 abab ab 2 2 ab 2 由余弦定理 得由正弦定理 得联立得方程组 22 4 abab 2 ba 解得 所以的面积 22 4 2 abab ba 2 34 3 33 ab ABC 12 3 sin 23 SabC 考点定位 三角形的面积 解题必备 求三角形面积的解题思路 在求三角形的面积时 若存在三角形边长平方和的情况 一般联想到用余弦定理来解决 若存在边长乘积时 一般联想到用公式解决 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB 如右图 在地平面上有一旗杆 OP 为了测量它的高度 h 在 地面上选一基线 AB 测得 AB 20 m 在 A 点处测得 P 点的仰角 OAP 30 在 B 点处测得 P 点的仰角 OBP 45 又测得 AOB 60 求旗杆的高度 h 结果保留整数 解析 因为在 Rt中 OAP 30 OP h 所以 OA AOP 3 tan30 OP h 在 Rt中 OBP 45 所以 OB h BOP tan45 OP 5 在中 AB 20 AOB 60 AOB 由余弦定理得 AB2 OA2 OB2 2 OA OBcos60 即 202 2 h2 2 h h 3 h3 2 1 解得 h2 176 4 所以 h 13 34 400 答 旗杆高度约为 13 m 考点定位 解三角形的应用题 名师点睛 高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问 题 常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离 然后转化为解直角三角形的问题 这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构 造三角形或者在空间构造三棱锥 再依据条件利用正 余弦定理解其中的一个或者几个 三角形 从而求出所需测量物体的高度 1 在中 若 tanA tanB 1 则该三角形一定是 ABC A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上都有可能 2 已知锐角三角形的三边长分别为 1 3 a 则 a 的取值范围是 A 8 a 0 sin c k k C sinsinsina kAb kBc kC 则有 从而 sinsinsin sinsinsinsinsinsin a b ckA kB kC k ABCABC 又 所以 2 3 2 sinsin60 a k A sinsinsin a b c ABC 方法二 根据正弦定理的变形 可得 2 sinsinsinsin a b ca ABCA 4 解析 如图 连接 设 6262 ACBCA BAC 7 在ABC 中 根据正弦定理可得 则 sinsin ABBC sin2sin 105 2sin 75 2 sin75 coscos75 sin sinsinsinsin BC AB 又 所以 6262 sin75 cos75 44 6262 22tan AB 由则 75 3075 10575 可得 3 tan23 3 所以 6262AB 5 1 解析 C 60 a2 b2 c2 ab a2 b2 ab c2 1 22 acabbc bccaab bccabccabcca 6 解析 依题意 6100 30 BAC 105 ABC 在中 由 所以 ABC 180 ACBBACABC 45 ACB 因为 m 由正弦定理可得 即 m 600 AB 30sin45sin 600BC 2300 BC 在中 因为 所以 RtBCD 30 CBD2300 BC2300 30tan CD BC CD 所以 m 6100 CD 7 I sin sin C A 2 II 15 4 解析 由正弦定理 得2 sin aRA 2 sin bRB 2 sin cRC 所以 2sinsin sin CA B cos2cos2 cos ACca Bb 8 即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB 即有sin 2sin ABBC 即sin2sinCA 所以 sin sin C A 2 由 知 sin sin cC aA 2 即 c 2a 又因为2b 所以由余弦定理 得 222 2cosbcaacB 即 222 1 2422 4 aaaa 解得1a 所以 c 2 又因为 cosB 1 4 所以 sinB 15 4 故的面积为 11 sin1 2 22 acB 15 4 15 4 ABC 1 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题 1 已知两角和任意一边 求其他的边 和角 2 已知两边和其中一边的对角 求其他的边和角 2 三角形解的个数的探究 以已知和解三角形为例 ab A 1 从代数角度来看 若 则满足条件的三角形的个数为 0 即 sin sin1 bA B a 无解 若 则满足条件的三角形的个数为 1 若 sin sin1 bA B a 则满足条件的三角形的个数为 1 或 2 sin sin1 bA B a 注 对于 3 由可知 B 可能为锐角 也可能为钝角 此时应由 sin 0sin1 bA B a 大边对大角 三角形内角和等于 180 等进行讨论 2 从几何角度来看 当 A 为锐角时 一解 一解两解无解 当 A 为钝角或直角时 9 一解 一解 无解 无 解 3 利用余弦定理解三角形的步骤 典例 1 在中 若 求的取值范围 ABC 3CB c b 错解 由正弦定理 可得 22 22 sinsin3sin2 coscos2 sin 2coscos24cos1 sinsinsin 0cos1 14cos13 0 0 03 cCBBBBB BBB bBBB c BBbc b Q 由可得 错因分析 错解中没有考虑角的取值范围 误认为角的取值范围为 BB 0 180 正解 由正弦定理可得 22 2 sinsin3sin2 coscos2 sin 2coscos24cos1 sinsinsin 2 180 3 045 cos1 2 14cos13 13 cCBBBBB BBB bBBB ABCCBBB c B b 即 Q 10 典例 2 已知是钝角三角形的三边 求实数的取值范围 21 21aaa a 错解 因为是三角形的三边 所以 21 21aaa 0 1 210 2 210 a aa a 即 所以是三角形的最大边 设其所对的角为 钝角 21a 则 化简得 解得 222 21 21 cos0 2 21 aaa aa 2 80aa 08a 又 所以 1 2 a 1 8 2 a 错因分析 错解中只能保证都是正数 而要表示三角形的三边 1 2 a 21 21aaa 还需满足三角形的隐含条件 两边之和大