有理数的历史定义

有理数的历史定义有理数的历史定义 数学上 有理数有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比 例如 3 8 通则为 a b 故又称作分 数 所有有理数的集合表示为 Q Q 或 定义如下 有理数的小数部分有限或为循环 不是有理数的实数遂称为无理数 有理数在希腊文中称为 原意是 成比例的数 英文取其意 以 ratio 为字根 在字 尾加上 nal 构成形容词 全名为 rational number 直译成汉语即是 可比数 对应地 无理 数则为 不可比数 但并非中文翻译不恰当 有理数这一概念最早源自西方 几何原本 在中国明代 从西方 传入中国 而从中国传入日本时 出现了错误 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译 几何原本 前 6 卷时的底本是拉丁文 他们将这个 词 译为 理 这个 理 指的是 比值 日本在明治维新以前 欧美数学典籍的 译本多半采用中国文言文的译本 日本学者将中国文言文中的 理 直接翻译成了理 而不 是文言文所解释的 比值 后来 日本学者直接用错误的理解翻译出了 有理数 和 无理数 当有理数从日本传回中国时又延续错误 清末中国派留学生到日本 将此名词传回中国 以至现在中日两国都用 有理数 和 无理数 的说法 可见 由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位 才出现了今天的误译 运算 编辑 有理数集对加 减 乘 除四则运算是封闭的 有理数的加法和乘法如下 两个有理数 和 相等当且仅当 有理数中存在加法和乘法的逆 时 古埃及分数 编辑 主条目 古埃及分数 古埃及分数是分子为 1 分母为正整数的有理数 每个有理数都可以表达为有限个两两不 等的古埃及分数的和 例如 对于给定的正有理数 存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法 形式构建 编辑 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类 这里 不为零 我们可 以对这些有序对定义加法和乘法 规则如下 为了使 定义等价关系如下 这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的 而且可以将 Q 定义为整数有序对关于 等价关系 的商集 例如 两个对 a b 和 c d 是相同的 如果它们满足上述等式 这种构建可用于任何整数环 参见商域 Q 上的全序关系可以定义为 当且仅当 1 并且 2 并且 有理数集是可数的 集合 以及上述的加法和乘法运算 构成域 即整数的商域 有理数是特征为 0 的域最小的一个 所有其他特征为 0 的域都包含的一个拷贝 即存在 一个从到其中的同构映射 的代数闭包 例如有理数多项式的根的域 是代数数域 所有有理数的集合是可数的 亦即是说的基数 或势 与自然数集合相同 都是阿列 夫数 因为所有实数的集合是不可数的 从勒贝格测度来看 可以认为绝大多数实数不 是有理数 有理数是个稠密的集合 任何两个有理数之间存在另一个有理数 事实上是存在无穷多个 实数 编辑 有理数是实数的紧密子集 每个实数都有任意接近的有理数 一个相关的性质是 仅有理 数可化为有限连分数 依照它们的序列 有理数具有一个序拓扑 有理数是实数的 稠密 子集 因此它同时具 有一个子空间拓扑 采用度量 有理数构成一个度量空间 这是 上的第三个拓扑 幸运的是 所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域 有理数 是非局部紧致空间的一个重要的实例 这个空间也是完全不连通的 有理数不构成完备的 度量空间 实数是的完备集 p 进数 编辑 除了上述的绝对值度量 还有其他的度量将转化到拓扑