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1 第八章数据包络分析 DEA DEA DataEnvelopmentAnalysis 方法又称为数据包络分析方法 是对多指标投入和多指标产出的相同类型部门 进行相对有效性综合评价的一种新方法 也是研究多投入多产出生产函数的有力工具 DEA方法是美国著名运筹学家查恩斯 A Charnes 和库伯 W W Cooper 教授于1978年首先提出的 2 第七章数据包络分析 DEA 在国外 DEA方法已经成功地应用于银行 城市 医院 学校及军事等方面效率的评价 在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中 也显示出巨大的优越性 例如 用DEA方法对美国大银行效率评价的研究 取得了极大的成功 应用DEA方法评价部门的相对有效性的优势地位 是其它方法所不能取代的 在国内 经济和管理领域的许多方面 DEA方法都得到了重要的应用 例如 纺织工业部门所属的棉纺企业中 利用工业普查资料对177个企业的综合经济效益进行评价 取得了满意的结果 DEA方法在冶金工业评价 城市供热系统规划 机床工业管理 科技情报机构功能与效益评价 企业技术进步分析等方面的研究 都取得一系列重要应用成果 3 8 1DEA模型一 DEA模型概述对具有相同类型的部门 企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价 这些部门 企业或时期称为决策单元 评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据 投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量 例如固定资产原值 流动资金平均余额 自筹技术开发资金 职工人数 占用土地等 产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下 表明经济活动产生成效的经济量 例如总产值 销售收入 利税总额 产品数量 劳动生产率 产值利润率等 指标数据是指实际观测结果 根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率 即评价部门 企业或时期之间的相对有效性 DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法 4 二 C2R模型及其基本性质1 C2R模型设有n个部门 企业 称为n个决策单元 每个决策单元都有p种投入和q种产出 分别用不同的经济指标表示 这样 由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统 可以用下图表示 xik表示第k个决策单元第i种投入指标的投入量 xik 0 是已知数据 vi表示第i种投入指标的权系数 vi 0 是变权数 yjk表示第k个决策单元第j种产出指标的产出量 yjk 0 是已知数据 uj表示第k种产出指标的权系数 uj 0 是变权数 5 设投入指标和产出指标的权系数向量分别为V v1 v2 vp T U u1 u2 uq T对每一个决策单元k 定义一个效率评价指标 即 效率指标hk等于产出加权之和除以投入加权之和 表示第k个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率 可以适当地选择权系数U V 使得hk 1 现在 建立评价第k0个决策单元相对有效性的C2R模型 设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为 效率指标h0 hk0 在效率评价指标hk 1 k 1 2 n 的约束条件下 选择一组最优权系数U和V 使得h0达到最大值 构造优化模型 分式规划 6 此模型称为C2R模型 是最基本的DEA模型 用C2R模型评价第k0个决策单元的有效性 是相对于其它决策单元而言的 故称为评价相对有效性的DEA模型 7 作Charnes Cooper变换 转化为一个等价的线性规划模型 转化为一个等价的线性规划模型 8 展开可写为 对应的对偶变量记为 1 对应的对偶变量记为 n 对应的对偶变量记为 其对偶规划为 9 引入松弛变量 将不等式约束化为等式约束 得 10 例8 1 设有4个决策单元 2个投入指标和1个产出指标的评价系统 其数据如下图 写出评价第1个决策单元相对效率的C2R模型 解 11 2 评价系统的DEA有效性 决策单元k0为DEA有效的定义 定义8 1如果线性规划 P 的最优解满足下列条件VP 0T Y0 1则称决策单元k0为弱DEA有效 定义8 2如果线性规划 P 的最优解满足条件VP 0T Y0 1 并且 0 0 0 0则决策单元k0为DEA有效 定理8 1线性规划 P 及其对偶规划 D 都有可行解 因而都有最优解 并且最优值VP VD 1定理8 2关于对偶规划 D 有 如果 D 的最优值VD 1 则决策单元k0为弱DEA有效 反之亦然 如果 D 的最优值VD 1 并且每个最优解都满足条件 s0 0 s0 0 则决策单元k0为DEA有效 反之亦然 定理8 3决策单元的最优效率指标VP与投入指标值Xik及产出指标值Ykj的量纲选取无关 12 3 评价系统DEA有效性的判定 在实际应用中 无论利用 P 还是 D 上述判断都并非易事 为了方便地使判定决策单元DEA有效 查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念 从而 可以利用单纯形方法求解线性规划问题 来判定决策单元的DEA有效性 设 是非阿基米德无穷小量 在广义实数域内 表示一个小于任何正数且大于零的数 考虑带有非阿基米德无穷小量 的C2R模型 其中 1 1 1 是元素均为l的p维向量 eT 1 1 1 是元素均为l的q维向量 定理7 4设 为非阿基米德无穷小量 线性规划 D 的最优解为 0 s0 s0 0 有 若 0 1 则决策单元k0为弱DEA有效 若 0 1 并且s0 0 s0 0 则决策单元k0为DEA有效 利用模型一次计算就能够判定决策单元是否DEA有效 在实际操作中 只要取 足够小 例如取 10 6 用单纯形法求解 通常可利用线性规划软件 如QSB Lindo等 在计算机上实现 13 例8 2 设有4个决策单元 2个投入指标和1个产出指标的评价系统 其数据如下图 判定各个决策单元是否DEA有效 解 决策单元1所对应的线性规划 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 1 0 0 0 T S10 S20 S10 0 0 1因此 决策单元1为DEA有效 决策单元4所对应的线性规划 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 0 3 5 1 5 0 T S10 S20 S10 0 0 3 5 1因此 决策单元4不是DEA有效 同样地 经过判定 决策单元2 3均为DEA有效 14 4 DEA有效决策单元的构造 评价系统并非所有的决策单元都是DEA有效 经过判定后 如何对一些非DEA有效的决策单元进行分析 指出造成非有效的原因 并据此改进为具有DEA有效性的决策单元 为此 需要讨论决策单元在相对有效面上的 投影 定义8 3DEA的相对有效面 有效生产前沿面 0T X0 0T Y0 0 如果决策单元k0是DEA有效 线性规划 P 有最优解 0 0 并且满足条件Vp 0T Y0 1 0 0 0 0而 0T X0 1 故 0T X0 0T Y0 于是 点 X0 Y0 在超平面 上 并且超平面 上的其它点 X Y 所表示的决策单元也是DEA有效的 因此 可以利用在相对有效面上 投影 的方法 改进非DEA有效的决策单元 定义8 4设 0 s0 s0 0是线性规划问题 D 的最优解 令 15 定理8 5设 是决策单元k0对应的 X0 Y0 在DEA相对有效面 上的 投影 则新决策单元 相对于原来的n个决策单元来说 是DEA有效的 新决策单元给出了一个改进非DEA有效决策单元的方法 亦即构造新的DEA有效决策单元的方法 例8 3 设有4个决策单元 2个投入指标和1个产出指标的评价系统 其数据如下图 对非DEA有效的决策单元 求出它在DEA相对有效面上的 投影 并判定新决策单元的DEA有效性 解 决策单元1 2 3均为DEA有效 决策单元4为非DEA有效 决策单元4对应的线性规划 D 的最优解为 0 0 3 5 1 5 0 T S10 S20 S10 0 0 3 5 令 则新决策单元 是决策单元4对应的 X0 Y0 在DEA相对有效面 上的 投影 它 作为第5个决策单元 与原来的4个决策单元构成新的评价系统 如下图 16 对应的线性规划模型 D 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 0 3 5 1 5 0 0 T S10 S20 S10 0 0 1因此 新决策单元5是DEA有效的 由此例看出 在评价系统中决策单元4非DEA有效 用 投影 方法构造了在DEA相对有效面上的新决策单元5 并且分析决策单元4非DEA有效的原因是 投入指标量过大 经过改进 只需要原投入量的3 5 因为决策单元4原投入量为 4 2 T 改进后应为 12 5 6 5 T 后者为前者的3 5 产出量不变 相对效率提高 即可转化为DEA有效的决策单元 17 8 2DEA有效性的经济意义一 生产函数和生产可能集1 生产函数y f x 在单投入和单产出的情况下 生产函数 一般是增函数 表示理想的生产状态 即投入x所能获得的最大产出y 因此 生产函数曲线上的点 x y 所对应的决策单元 从生产函数的角度看 是处于技术有效状态 生产函数图形如下图 A C处于技术有效状态 点A将曲线分为两部分 在点A之左 y 0 y 0 曲线在生产函数的下凸区间 表示增加投入量可以使产出量的递增速度增加 此时称为规模收益递增 厂商有投资的积极性 在点A之右 y 0 y 0 曲线是上凸的 在此区间 增加投入量只能使产出量增加的速度减小 此时称为规模收益递减 厂商己经没有增加投资的积极性 点A是生产函数曲线的拐点 点A所对应的决策单元 既是技术有效 也是规模有效 这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量 都不是最佳生产规模 点C在生产函数曲线上 对应的决策单元技术有效 但不是规模有效 这是由于点C位于规模收益递减区间 点B不在生产函数曲线之上 并位于规模收益递减区域 点B所对应的决策单元既不是技术有效 也不是规模有效 18 2 生产可能集所有可能的生产活动构成的集合 记作T X Y 产出Y可由投入X生产出来 由于 Xk Yk 是决策单元k的生产活动 于是有 Xk Yk T k 1 2 n在C2R模型中 生产可能集应该满足下面的四条公理 公理8 1 凸性 对于任意 X1 Y1 T X2 Y2 T 以及任意 0 1 均有 X1 Y1 1 X2 Y2 X1 1 X2 Y1 1 Y2 T即是说 如果X1 X2分别以 1 加权和作为投入量 则Y1 Y2以同样的加权和作为产出量 公理8 2 锥性 对于任意 X Y T 以及任意数 0 均有 X Y X Y T即是说 如果以X的 倍作为投入量 则产出量是Y的同样倍数 公理8 3 无效性 对于任意 X Y T 若X X 则均有 X Y T 若Y Y 则均有 X Y T 即是说 在原生产活动中 单方面地增加投入量或者减少产出量 生产活动总是可能的 公理8 4 最小性 生产可能集T是满足公理8 1 8 3的所有集合的交集 由n个决策单元 Xk Yk 的生产活动所描述的生产可能集 满足公理8 1 8 4是唯一确定的 这个生产可能集可以表示为 19 例8 4 设有单投入单产出3个决策单元的评价系统 其数据如下图 则其生产可能集为 20 二 模型C2R下DEA有效性的经济意义 由于 X0 Y0 T 即 X0 Y0 满足条件 线性规划模型 D 表示在生产可能集内 当产出Y0保持不变的情况下 尽量将投入量X0按同一比例减少 如果投入量X0不能按同一比例 减少 即模型 D 的最优值VD 0 1 决策单元k0同时技术有效和规模有效 如果投入量X0能按同一比例 减少 模型 D 最优值VD 0 1 决策单元k0不是技术有效或规模有效 21 设模型 D 的最优解为 0 s0 s0 0 分三种情况进一步讨论 0 1 且s0 0 s0 0 决策单元k0为DEA有效 其经济意义是 决策单元k0的生产活动 X0 Y0 同时为技术有效和规模有效 所谓技术有效 是指对于生产活动 X0 Y0 从技术角度来看 资源获得了充分利用 投入要素达到最佳组合 取得了最大的产出效果 效率评价指标h0 Vp VD 0 1 0 1 但至少有某个si0 0或者至少有某个sj0 0 决策单元k0为弱DEA有效 其经济意义是 决策单元k0不是同时技术有效和规模收益有效 若某个si0 0 表示第i种投入指标有si0 没有充分利用 若某个sj0 0 表示第j种产出指标与最大产出值尚有sj0 的不足 0 1 决策单元k0不是DEA有效 其经济意义是 决策单元k0的生产活动 X0 Y0 既不是技术效率最佳 也不是规模收益最佳 例如 0 9 1 模型 D 的约束条件为 这表示 得到产出量Y0 至多只需投入量0 9X0 即生产活动 X0 Y0 的投入规模过大 故不是同时为技术效率最佳和规模收益最佳 22 例8 5 设有单投入单产出3个决策单元的评价系统 数据如下 讨论各决策单元的DEA有效性 解 决策单元1的线性规划模型 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 1 0 0 T S10 S10 0 0 1因此 决策单元1同时技术有效和规模有效 生产活动 2 2 在图中对应点A 表示同时取得最佳技术效率和最佳规模收益 23 决策单元2的线性规划模型 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 1 2 0 0 T S10 S10 0 0 1 4 1因此 决策单元2不是DEA有效 生产活动 4 1 在图中对应点B 既非技术有效 也非规模有效 24 决策单元3的线性规划模型 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 7 4 0 0 T S10 S10 0 0 7 10 1因此 决策单元3不是DEA有效 生产活动 5 3 5 在图中对应点C 该点在生产函数曲线上 仅是技术有效而不是规模有效 25 三 生产活动规模收益的判定 定理8 6设线性规划 D 的最优解为 0 s0 s0 0 若 则决策单元k0规模收益不变 若 则决策单元k0规模收益递增 若 则决策单元k0规模收益递减 26 例8 6 设有单投入单产出5个决策单元的评价系统 数据如下图 试讨论决策单元1 2 5的规模收益问题 解 决策单元1的线性规划模型 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 0 1 2 0 0 0 T S10 S10 0 0 5 6 1因此 决策单元1非DEA有效 由于 所以决策单元1规模收益递增 27 决策单元2的线性规划模型 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 0 1 0 0 0 T S10 S10 0 0 1因此 决策单元2为DEA有效 由于 所以决策单元2规模收益不变 决策单元5的线性规划模型 D 取 10 6 为 利用单纯形法求解 得到最优解 0 0 9 8 0 0 0 T S10 S10 0 0 15 16 1因此 决策单元5非DEA有效 由于 所以决策单元5规模收益递减 同样地 可以判定决策单