第2讲 系统的数学模型2ppt课件.ppt

三江学院机械工程学院 控制工程基础 BasisofControlEngineering 任课教师 李建民电话 教学方式 讲授为主学习方式 听课 自学 三江学院机械工程学院 第二章系统的数学模型 教学要求 教材第二章 主要内容 Laplace变换 微分方程模型 系统模型的线性化 传递函数模型 框图和信号流图模型及其化简 基本要求 掌握控制模型建立 线性化 化简方法 预期收获 见教材第30页 三江学院机械工程学院 2 1引言 控制是使被控对象按照人们预定方式工作 控制目的 y t r t 控制要求 快 准 稳 三江学院机械工程学院 2 1引言 比较器 减法器 负反馈 加法器 正反馈 控制器 被控对象 预期输出r t 实际输出y t 误差e t 控制量u t 测量装置 测量系统的输出y t 用于反馈 y t e t r t y t 研究控制系统 要从研究被控对象入手 三江学院机械工程学院 2 1引言 被控对象 有什么共同的特点 三江学院机械工程学院 2 1引言 被控对象 有什么共同的特点 动 三江学院机械工程学院 2 1引言 数学上怎么来描述运动呢 动者 变化也 数学上用微分来描述运动 三江学院机械工程学院 2 1引言 被控对象的描述 微分方程 Maxwell 被控对象 输出x t 输入u t 微分方程及其解法的理论是整个控制工程理论的基础 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换 本讲主要授课内容 微分方程解的思路拉普拉斯变换定义常见函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换性质拉普拉斯逆变换 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 1 微分方程解的思路 Laplace的研究 被控对象 输出x t 输入u t 匀速运动方程 即 1 设x t 表示位置 则 那么 系统的输出x t 为 其中 为常数 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 对于匀速运动 解 方程两边同时积分 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 被控对象 输出x t 输入u t 其中 为常数 则 匀加速运动方程为 2 仍设x t 表示位置 当 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 对于匀加速运动 解 方程两边同时积分对得到的方程 再次积分 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 一阶微分方程 3 我们很容易得到它的解 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 解 构造法 假设x 0 1 令 显然 x t 看成是函数et的定义 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 et的物理含义是微分方程的解 无理数e可以看成是我们这个宇宙的本质参数 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 二阶微分方程 4 很容易得到它的解 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 那么 采用构造法则非常困难 需要一种求解微分方程的一般性解法 对于求解一般微分方程 如 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 解 显然 对于微分方程同时包含x t 及x t 的微分项时 采用形式积分 将形成嵌套 无法正确解出x t 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 显然 问题并非出在积分上 而在于积分的上 下限上 我们考虑下面的积分形式 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 那么 x t 是什么呢 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 解 先看指数函数的积分 显然 对于指数函数而言x t 与其积分是一一映射 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 解 再看 不存在 我们的目的是建立x t 与其积分之间的一一映射 显然单纯采用形式 难于达到目的 怎么办 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 Laplace经过7年研究得到重大发现 x t 与其积分之间是一一映射的 而参数s的作用仅仅是使上述积分收敛 例如 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 利用这个发现 就能解线性微分方程了解 三江学院机械工程学院 函数f t 的拉氏变换 当t 0 f t 0 拉氏积分运算符 复变量 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 2 拉普拉斯变换定义 三江学院机械工程学院 单边 线性变换 可逆 不追求数学细节 如收敛条件等 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 可以证明 f t 和F s 将形成一一映射 三江学院机械工程学院 那么参数S是什么 F S 又是什么呢 三江学院机械工程学院 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 1 s是复变量 在求取拉普拉斯变换时 s的唯一作用是使拉普拉斯积分收敛 可以看成常数 例如 三江学院机械工程学院 2拉普拉斯变换 2 F s 是复函数 例如 三江学院机械工程学院 当时 有 2拉普拉斯变换 3 f t 是实函数 且满足 三江学院机械工程学院 2拉普拉斯变换 补充一个定理 尤拉定理尤拉定理可以用泰勒展开加以证明 三江学院机械工程学院 尤拉定理证明 有 所以 而 改写所以 三江学院机械工程学院 利用拉普拉斯变换解微分方程思路 解 对微分方程每一项进行拉普拉斯变换 得到关于X s 的代数方程 解出X s 再进行拉普拉斯逆变换 得到x t 三江学院机械工程学院 3常见函数的拉普拉斯变换1 指数函数2 阶跃函数 t 3 斜坡函数4 正弦函数5 脉冲函数 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 三江学院机械工程学院 1 指数函数 3常见函数的拉普拉斯变换 A 0 t 三江学院机械工程学院 2 阶跃函数 3常见函数的拉普拉斯变换 t 0 A 单位阶跃函数 三江学院机械工程学院 3常见函数的拉普拉斯变换 t 0 A 可以把阶跃函数看成是a 0的指数函数 三江学院机械工程学院 3 斜坡函数 3常见函数的拉普拉斯变换 t 0 At 三江学院机械工程学院 3 斜坡函数的拉普拉斯变换 3常见函数的拉普拉斯变换 1 把s看成常数 则考虑下面函数微分 2 对上式积分 得 3 整理 得 三江学院机械工程学院 4 正弦函数 3常见函数的拉普拉斯变换 t 0 A 三江学院机械工程学院 4 正弦函数的拉普拉斯变换 3常见函数的拉普拉斯变换 关键是利用尤拉定理 三江学院机械工程学院 5 脉冲函数 3常见函数的拉普拉斯变换 0 t 函数不是物理可实现的 三江学院机械工程学院 1 f t 与相乘 4拉普拉斯变换性质 0 衰减正弦函数衰减余弦函数 三江学院机械工程学院 4拉普拉斯变换性质 证明 由Laplace变换定义 有 所以 三江学院机械工程学院 2 实微分定理 4拉普拉斯变换性质 三江学院机械工程学院 函数f t 的微分的拉普拉斯变换为 式中f 0 是f t 在t 0时的值 4拉普拉斯变换性质 三江学院机械工程学院 实微分定理证明 1 把s看成常数 考虑下面函数的微分 4拉普拉斯变换性质 2 对上式积分 得 所以 有 三江学院机械工程学院 利用拉普拉斯变换解微分方程思路 解 对微分方程每一项进行拉普拉斯变换 得到关于X s 的代数方程 解出X s 再进行拉普拉斯逆变换 得到x t 三江学院机械工程学院 3 终值定理若f t 的拉普拉斯变换为F s 并且存在 则 4拉普拉斯变换性质 三江学院机械工程学院 终值定理证明 1 由实微分定理 有 2 把s看成常数 并令其趋近于0 有 3 所以 有 三江学院机械工程学院 例1 已知时间函数f t 的拉普拉斯变换F s 为 试求的值 4拉普拉斯变换性质 三江学院机械工程学院 4 初值定理如果f t 的拉普拉斯变换为F s 并且存在 则 4拉普拉斯变换性质 三江学院机械工程学院 初值定理证明 1 由实微分定理 有 2 把s看成常数 并令其趋近于 有 3 所以 有 三江学院机械工程学院 例2 已知时间函数f t 的拉普拉斯变换F s 为 试求的值 4拉普拉斯变换性质 三江学院机械工程学院 5 复微分定理 4拉普拉斯变换性质 三江学院机械工程学院 复微分定理 如果f t 是可以进行拉普拉斯变换的话 则除了在F s 的极点以外 有 4拉普拉斯变换性质 式中 三江学院机械工程学院 复微分定理证明 4拉普拉斯变换性质 2 上式两边 对s求微分 有 1 有拉普拉斯变换 有 3 即 三江学院机械工程学院 复微分定理应用 4拉普拉斯变换性质 1 2 3 4 三江学院机械工程学院 例3 求下面函数的拉普拉斯变换 4拉普拉斯变换性质 解法一 三江学院机械工程学院 例3 求下面函数的拉普拉斯变换 4拉普拉斯变换性质 解法二 三江学院机械工程学院 6 卷积积分 仅要求了解 下列积分 称为卷积积分 4拉普拉斯变换性质 则 三江学院机械工程学院 对于任何时间连续的时间函数来说 它与拉普拉斯变换之间保持唯一的对应关系 2 2拉普拉斯变换及微分方程的解 三江学院机械工程学院 5拉普拉斯反变换 部分分式展开法 把F s 拆解成很多简单项的和 而简单项的拉普拉斯逆变换容易得到 三江学院机械工程学院 5拉普拉斯反变换 1 只包含不同极点的F s 的部分分式展开例4 求下列函数的拉普拉斯反变换 三江学院机械工程学院 5拉普拉斯反变换 部分分式展开系数求法 系数求法一 对应系数相等 这种方法的缺点在于 对于极点较多情况 计算复杂 例如 三江学院机械工程学院 5拉普拉斯反变换 部分分式展开系数求法 系数求法二 留数展开 1 两边同时乘以s 有 2 令s为0 有 三江学院机械工程学院 5拉普拉斯反变换 部分分式展开系数求法 系数求法二 留数展开 3 两边同时乘以s 1 有 4 令s 1 有 三江学院机械工程学院 5拉普拉斯反变换 例5 求下列函数的反拉普拉斯变换 三江学院机械工程学院 对于只包含不同极点的F s 的部分分式展开 5拉普拉斯反变换 三江学院机械工程学院 例6 求下列函数的拉普拉斯反变换 5拉普拉斯反变换 如果分子阶次大于分母阶次 则可以采用长除法进行化简 三江学院机械工程学院 所以 5拉普拉斯反变换 如果实函数f t 在物理上是可实现的 则其Laplace变换F s 分子的阶次必小于分母的阶次 三江学院机械工程学院 例7 求下列函数的反拉普拉斯变换 5拉普拉斯反变换 对于特征根为复数情况 利用衰减正弦函数和衰减余弦函数来进行求逆 则更为简单 三江学院机械工程学院 解 5拉普拉斯反变换 三江学院机械工程学院 5拉普拉斯反变换 有 有 作为对比 大家可以看一下直接求的结果 三江学院机械工程学院 2 包含多重极点的F s 的部分分式展开例8 求下列函数的拉普拉斯反变换 5拉普拉斯反变换 三江学院机械工程学院 解 显然有 5拉普拉斯反变换 1 1 式两边同乘以 s 1 3 有 2 对 2 式 令s 1 有