局部化策略2008.3.25

局部化策略 局部化策略 1 1 厦门一中 厦门一中级数学竞赛兴趣小组级数学竞赛兴趣小组人举行乒乓球循环赛 每个人都与另外的人举行乒乓球循环赛 每个人都与另外的人比赛一局 人比赛一局 20075049 再比赛中无平局 如果三个人之间的比赛结果是每个人都胜一局负一局 则称这三人为一个再比赛中无平局 如果三个人之间的比赛结果是每个人都胜一局负一局 则称这三人为一个 和谐组和谐组 求 求 和谐组和谐组 个数的最大值个数的最大值 2 太空城由太空城由个空间站组成 任意两空间站之间有管形通道相联 规定其中个空间站组成 任意两空间站之间有管形通道相联 规定其中条通道为双向条通道为双向CMO9999 通行的主干道 其余通道严格单向通行 如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任一站到通行的主干道 其余通道严格单向通行 如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任一站到 达另外任一站 则称这四个站的集合为一个互通四站组 达另外任一站 则称这四个站的集合为一个互通四站组 试为试为太空城设计一个方案 使得互通四站组的数目最大太空城设计一个方案 使得互通四站组的数目最大 请具体算出该最大数 并证明你的结论请具体算出该最大数 并证明你的结论 CMO 3 3 有 有位象棋手 欲将其分成三组比赛 同一组的选手都不比赛 不同组的每两位选手都要比赛位象棋手 欲将其分成三组比赛 同一组的选手都不比赛 不同组的每两位选手都要比赛2008 一盘 问如何分组可使比赛盘数最多并求此时比赛的盘数一盘 问如何分组可使比赛盘数最多并求此时比赛的盘数 4 4 厦门某工厂开张的第一天生产的产品不超过 厦门某工厂开张的第一天生产的产品不超过件 此后日产量每天都有增加 但每次增加的数量件 此后日产量每天都有增加 但每次增加的数量a 不超过不超过件 求当日产量达到件 求当日产量达到件时 工厂生产出的产品总数的最小值件时 工厂生产出的产品总数的最小值ab 5 5 给定平面上的点集 给定平面上的点集 中任何三点不共线 将中任何三点不共线 将中的点分为三组 每组至少中的点分为三组 每组至少 121994 PP PP PP 个点 将同一组的点两两连线 不同组的点不连线得到一个图个点 将同一组的点两两连线 不同组的点不连线得到一个图 中三角形个数记为中三角形个数记为3GG m G 1 1 求 求的最小值 的最小值 m G 2 2 使 使达到最小的图为达到最小的图为 求证 可将图求证 可将图中的点中的点染色使染色使中不含同色三角形中不含同色三角形 m G 0 G 0 G4 0 G 6 6 个选手个选手进行象棋循环赛 每个选手与其它进行象棋循环赛 每个选手与其它个选手各赛一局 比赛没有个选手各赛一局 比赛没有2009 122009 a aa 2008 平局 设平局 设胜的局数为胜的局数为 求 求的最小值和最大值的最小值和最大值 i a i w 2009 2 1 i i Sw 7 7 在不减的正整数序列 在不减的正整数序列中 对任何正整数中 对任何正整数 定义 定义 已知 已知 12 m a aa m min mn bn am 求 求的最大值的最大值 19 99a 119199 Saabb 8 8 设 设且且 求 求的最小值的最小值 i xR 11 2 i xin 1 ij ij n x x 9 9 有 有只鸟在一个圆只鸟在一个圆上 如果弧上 如果弧 则称鸟是互相可见的 如果允许同一位置同时有几 则称鸟是互相可见的 如果允许同一位置同时有几155C10 ij PP 只鸟 求可见鸟对数的最小值只鸟 求可见鸟对数的最小值 1010 设数列 设数列 为满足为满足的的的个数 的个数 12007 Aaa i aN m A1 1 jikj aaaa ijk a a a 对所有可能的对所有可能的 求 求的最大值的最大值A m A 1111 设 设为一个固定的整数 试确定最小的常数为一个固定的整数 试确定最小的常数 使得不等式 使得不等式2n c 成立 并确定等号成立的充要条件成立 并确定等号成立的充要条件 2 22 11 n ijiji ij ni x xxxcx 1212 设 设从格点从格点出发 沿格径以最短的路线运动到出发 沿格径以最短的路线运动到 即每次运动到另一个格点时横 即每次运动到另一个格点时横P 1 1A B m n 坐标或纵坐标加坐标或纵坐标加 求点 求点经过的所有格点中两坐标乘积之和经过的所有格点中两坐标乘积之和的最大值的最大值1PS 局部化策略 局部化策略 2 1 用电阻值分别为 用电阻值分别为 654321 aaaaaa 654321 aaaaaa 的电阻组装成一个如图的组 的电阻组装成一个如图的组 件 在组装中应如何选取电阻 才能使该组件总电阻值最小 证明你的结论 件 在组装中应如何选取电阻 才能使该组件总电阻值最小 证明你的结论 2 设 设 且 且 求证 求证 0a b c d 1abcd 1176 2727 bcdcdadababcabcd 3 设 设是三角形的三边长 且是三角形的三边长 且 若 若 证明 证明 a b c1abc 2n 2 1 2 n nnnnnnnnn abcbac 4 在线段 在线段上关于它的中点上关于它的中点对称的放置对称的放置个点 任意将这个点 任意将这个点中的个点中的个点染成红个点染成红ABM200820081004 色 剩下的点染成蓝色 证明 所有红点到色 剩下的点染成蓝色 证明 所有红点到的距离之和等于所有蓝点到的距离之和等于所有蓝点到的距离之和的距离之和AB 5 证明 平面上任意 证明 平面上任意个点 总可以被某些不相交的圆盖住 这些圆的直径之和大于个点 总可以被某些不相交的圆盖住 这些圆的直径之和大于 2 n n 且每两个圆之间的距离大于且每两个圆之间的距离大于 这里 这里1na a01a 6 在一张长方形纸上有一些黑点 现在要将这张纸沿直线折好几次 折线不穿过任何黑点 然后用 在一张长方形纸上有一些黑点 现在要将这张纸沿直线折好几次 折线不穿过任何黑点 然后用 针插进折好的纸 使针穿过所有的黑点 而不穿过其他的点 求证 在如下的两种情况中均能成功针插进折好的纸 使针穿过所有的黑点 而不穿过其他的点 求证 在如下的两种情况中均能成功 1 所有黑点共线 所有黑点共线 2 只有三个黑点 只有三个黑点 7 某电影院的座位共有 某电影院的座位共有排 每排排 每排座 票房共售出座 票房共售出张电影票 由于工作疏忽这场票中有些号张电影票 由于工作疏忽这场票中有些号mnmn 是重复的 不过每个观众都可以照票上所标的排次号或座次号之一入座 求证 至少可使一名观众既是重复的 不过每个观众都可以照票上所标的排次号或座次号之一入座 求证 至少可使一名观众既 坐对排次又坐对座次而其他观众保持前述情况就坐坐对排次又坐对座次而其他观众保持前述情况就坐 8 个盘子里放有总数不少于个盘子里放有总数不少于 4 的糖块 从任意的两个盘子各取一块糖 放入另一个盘子中 的糖块 从任意的两个盘子各取一块糖 放入另一个盘子中 4 n n 称为一次操作 问能可经过有限次操作 将所有的糖块集中列一个盘子里去 证明你的结论 称为一次操作 问能可经过有限次操作 将所有的糖块集中列一个盘子里去 证明你的结论 9 求一切实数 求一切实数 p 使得三次方程 使得三次方程的三个根均为自然数 的三个根均为自然数 pxpxpx661 171 1 55 23 10 设 设是正整数 若由是正整数 若由个正整数组成的数列 可以相同 称为个正整数组成的数列 可以相同 称为 满的满的 则这个数列应满足条件 则这个数列应满足条件 nn 对于每个正整数对于每个正整数 如果 如果在这个数列中 则在这个数列中 则也在这个数列中 且也在这个数列中 且第一次出现的位第一次出现的位 2 k k k1k 1k 置在置在最后一次出现的位置的前面 对于每个最后一次出现的位置的前面 对于每个 有多少个 有多少个 满的满的 的数列 的数列 kn 11 某市有 某市有所中学 第所中学 第 所中学派出所中学派出名学生 名学生 来到体育馆观看球赛 全部 来到体育馆观看球赛 全部ni i c139 1 i cin 学生总数为学生总数为 看台上每一横排有 看台上每一横排有个座位 要求同一学校的学生必须坐在同一横排 个座位 要求同一学校的学生必须坐在同一横排 1 1990 n i i c 199 问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下 问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下 12 已知边长为 已知边长为 4 的正的正 分别是分别是上的点 且上的点 且 连接连接ABCA D E F BC CA AB1AEBFCD 交成交成 在在内及其边上移动 内及其边上移动 到到三边的距离记为三边的距离记为 AD BE CFQRSAPQRSAPABCA x y z 1 求证 当 求证 当在在的顶点位置时 的顶点位置时 有最小值 有最小值 2 求 求的最小值的最小值PQRSAxyzxyz 13 非负实数 非负实数满足满足 求 求的最小