双线性变换法设计IIR数字滤波器通信专业

双线性变换法设计 IIR 数字滤波器 一 实验目的 1 熟悉用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器的原理和方法 2 掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法 3 观察对心电 图信号的实际滤波作用 获得数字滤波的感性认识 二 实验原理 在滤波器的设计过程中 逼近是一个重要的环节 所谓逼近就是根据性能指标的要求 对理想特性进行逼近 以求得一个因果 稳定且可实现的传递函数 目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟 它不仅具有简单而严格的设计 公式 而且设计参数已经表格化了 借助模拟滤波器的逼近方法 用模拟域到数字域的某 种变换 完成数字滤波器的逼进 这是一类简单而行之有效的方法 双线性变换法采用非线性频率压缩方法 将整个频率轴上的频率范围压缩到 T T 之 间 再用 z e 转换 Z 平面上 也就是说 第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1 平面的 T T 一条横带里 第二步再通过标准变换关系 z e 将此横带变换到整个 Z 平面上去 这 样就使 S 平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系 消除了多值变换性 也就消除了频谱 混叠现象 影射关系如图 7 1 所示 图 7 1 双线性变换的映射关系 为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 S1 平面 j 1 轴上的 T 到 T 段上 可以通过 以下的正切实现 7 1 2 tan 2 1T T 式中 T 仍是采样间隔 当 1 由 T 经过 0 变化到 T 时 由 也即映射了整个 变化到经过0 j 轴 将式 7 1 写成 7 2 TjTj TjTj ee ee T j 11 11 2 2 2 将此关系到解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面 令 j s j 1 s1 则得 7 3 Ts Ts e e T Ts Tee ee T s TsTs TsTs 1 1 11 11 1 12 2 tanh 22 1 2 2 2 2 再将 s1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 7 4 Ts e 1 z 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为 7 5 1 1 1 12 z z T s 7 6 s T s T s T s T z 2 2 2 1 2 1 式 7 5 与式 7 6 是 s 平面与 z 平面之间的单值映射关系 这种变换都是两个线 性函数之比 因此称为双母性变换 双线性变换式建立起平面与 z 平面的单值映射关系 由上式我们可以得到模拟频率 和数字频率 之间关系 7 7 2 tan 2 T 从上式可知 当时 终止在折叠频率 处 整个轴是单值地对应 j 于单位圆的一周 因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法 它不存在频率混淆问题 由于 S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内 S 平面的右半平面映射到 Z 平面的 单位圆外 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上 因此 稳定的模拟滤波器 经双线性 变换后扬得的数字滤波器也一定是稳定的 但是 它的频率变换关系是非线性的 这种非 线性关系使得通带截止频率 过渡带的边缘频率 的相对位置发生了非线性畸变 这种非线 性畸变可以通过预畸变来校正 用双线性变换设计数字滤波器时 一般总是先将数字滤波 器的各临界频率经式 7 7 的频率预畸变 求得相应参考模拟滤波器的各临界频率 然后 设计参考模拟滤波器的传递函数 最后通过双线性变换变换公式来得数字滤波器的传递函 数 这们通过双线性变换 正好将这些频率点映射到我们所需的位置上 图 7 2 双线性变换法的频率变换关系 幅度和相位特性的非线性映射 下面我们总结利用模拟滤波器设计 IIR 数字低通滤波器的步骤 a 确定数字低通滤波器的技术指标 通带截止频率 通带衰减 阻带截止频率 p p s 阻带衰减 s b 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 采用双线性变换 法 边界频率的转换关系为 2 tan 2 T c 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 d 将模拟滤波器系统函数从 S 平面转换到 Z 平面 得到数字低通滤波器系统函数 sHa H z 1 1 1 1 z z s a sHzH 三 实验内容 1 用双线性变换法设计巴特沃斯 IIR 数字滤波器 设计指标为 通带内频率低于 0 2 时 最大衰减小于 1dB 在阻带 0 3 频率区间上 最小衰减大于 15dB 2 以 0 02 为采样间隔 绘出数字滤波器在频率 z 镜 0 2 上的幅频响应特性曲线 3 用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列进行仿真滤波处理 产分别绘出滤波前 后的波形图 观察总结滤波作用与效果 实际心电图信号打样样本 x n 序列为 4 2 0 4 6 4 3 4 6 6 4 4 6 6 2 6 12 8 0 16 38 60 84 90 66 32 4 2 4 8 12 12 10 6 6 6 4 0 0 0 0 0 2 4 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 四 实验步骤 1 复习有关巴特沃其模拟滤波器内容和用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器内容 2 运行程序 并绘出图形 完成实验内容 2 和 3 五 实验子程序简介 1 确定滤波阶数函数 buttord 格式 N Wn buttrd Wp Ws Rp Rs 其中 N 满足指标的最低滤波器的阶数 Wn 巴特沃斯自然频率 Rp 通带最大衰减 Rs 阻带最小衰减 Wp Ws 归一化的通带和阻带的边缘频率 2 确定模拟低通滤波器原型函数 buttap 格式 Z P K buttap N 其中 N 满足指 标的最低滤皮器阶数 Z N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的零点 P N 阶归一化巴特沃斯巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的极点 K N 阶归一化原型巴 特沃斯模拟低通模拟滤波器的增益 3 双线性变换函数 bilinear 格式 NUMd DENd bilinear NUM DEN Fs 其中 NUM s 域转移函数分子系数按幂递减方式排列的行向量 DEN s 域转移函数分母 系数按幂递减排列的行向量 Fs 采样频率 NUMd z 域转移分子系数按幂递减方式 排列的行向量 DENd z 域转移分母系数按幂递减方式排列的行向量 4 滤波函数 filter 格式 y filter b a x 参数 滤波系数 0M aaaa 滤波器系数 x 输入序列矢量 y 为滤波后的输出 即滤波 210M bbbbb 器的系统函数为 标准形式中取若输 m M n n zazaa zbzbb zA zB zH 1 10 1 10 1 0 a 入滤波系数 a 中时 MATLAB 会自动归一化系数 系统给出错信息 1 0 a 0 0 a 5 绘制幅频特性曲线函数 freqz 格式一 H W freqz B A N N 频点数目 参数 N 好选用 2 的整数次幂 以便使用 FFT 进行快速运算 N 的缺省值为 512 W 数 字滤波器的 N 点的频率向量 计算所得的 N 个频率点均匀的分布在 0 上 H 与 W 相对应的 N 点的频率响应向量 计算所得的 N 个频率点均匀的分布在 0 上 H 与 W 相对应的 N 点频率响应向量 A 是滤波器系数 即滤波器形式如 2102 10MM bbbbBaaaaAA zH 下 格式二 freqz B A N 直接绘制频 m M n n zazaa zbzbb zA zB zH 1 10 1 10 率响应图 而且返回任何值 格式三 H freqz B A W 返回 W 向量 中指定的频率范围内的频率响应 其中 W 以弧度为单位在 0 范围内 格式四 H F freqz B A N Fs