1第一节 中值定理

1 习题习题 3 13 1 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件 如满足 请求出满足定理的1 数值 1 2 23f xxx 1 1 5 2 3f xxx 0 3 解解 因为是多项式函数 所以在上连续 在 1 2 23f xxx f x 1 1 5 内可导 且 所以函数在上满足罗尔定理 1 1 5 1 0f 01 5 f f x 1 1 5 的所有条件 解方程 得 410f 1 1 1 5 4 因为 所以在上连续 在内可导 且 2 3f xxx f x 0 3 0 3 0 0f 所以函数在上满足罗尔定理的所有条件 03 f f x 0 3 解方程 得 30 2 3 f 2 0 3 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性 2 32 452f xxxx 0 1 解解 验证定理 包括验证定理条件与结论两部分 因为是多项式函数 所以在上连续 在内 32 452f xxxx f x 0 1 0 1 可导 且 解方程 2 12101fxxx 1 0 0 1 0 ff 2 12101f 得 故拉格朗日中值定理是正确的 513 2 0 1 试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于3 2 f xpxqxr 区间的正中间 证明证明 设在上连续 在内可导 则由拉格朗日中值定 2 f xpxqxr a b a b 理 至少存在一点 使得 a b 2 f bf apq ba 22 f bf apbqbrpaqar p ba baq ba 2 所以 2 pq ba p ba baq ba 又因为 所以 故 0ba 2pq p baq 2 ab 一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单 说他在限速为公里 小时的收费道路465 上在小时内走了公里 罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶 为什么 2159 解解 货车在时间段上行驶的平均速度是公里 小时 由拉格朗日 0 2 159279 5 中值定理 至少存在某时刻 使得在此时刻的瞬时速度是平均速度公里 小 0 0 2 t 79 5 时 它是超过限速公里 小时 故该司机超速行驶 65 世纪郑和下西洋的最大的宝船能在小时内一次航行海里 试解释为什么在51512110 航行过程中的某时刻宝船的速度一定超过海里 小时 9 解解 宝船在时间段上行驶的平均速度是海里 小时 由拉 0 12 21 110 1299 126 格朗日中值定理 至少存在某时刻 使得在此时刻的瞬时速度是平均速度 0 0 12 t 海里 小时 它是超过海里 小时的 1 9 6 9 一位马拉松运动员用了小时跑完了马拉松比赛的公里的全程 试说明该62 242 195 马拉松运动员至少有两个时刻正好以公里 小时的速度跑 19 解解 运动员在时间段上行驶的平均速度是公里 小时 0 2 2 42 1952 219 179 由拉格朗日中值定理 至少存在某时刻 使得在此时刻的瞬时速度是公里 0 0 2 2 t 19 小时 函数与在区间上是否满足柯西中值定理的所有条件 7 3 f xx 2 1g xx 1 2 如满足 请求出满足定理的数值 解解 显然 与在区间上连续 在内可导 且对 3 f xx 2 1g xx 1 2 1 2 内 所以与满足柯西中值定理的所有条件 1 2 x g x 20 x f x g x 解方程 得 2 2 1 8 13 2 1 522 fff ggg 14 1 2 9 设在上连续 在内可导 且 求证 存在 使8 f x 0 1 0 1 1 0f 1 0 3 f f 证明证明 设 因为在上连续 在内可导 所以在 F xxf x f x 0 1 0 1 F x 上连续 在内可导 且 0 1 0 1 0 0 1 1 0FFf 由罗尔中值定理 至少存在一点 使得1 0 0Fff 即 f f 若函数在内具有二阶导函数 且9 f x a b 123 f xf xf x 12 axx 证明 在内至少有一点 使得 3 xb 13 x x 0f 证明证明 因为在内具有二阶导函数 且 所以在 f x a b 12 axx 3 xb f x 上可导 从而在上连续 又 所以在 13 x x f x 13 x x 123 f xf xf x f x 和上都满足罗尔中值定理 从而 在内至少存在一点 使得 12 x x 23 x x 12 x x 1 在内至少存在一点 使得 1 0f 23 x x 2 2 0f 因为在内可导 所以在上可导 进而在上连 fx a b fx 12 fx 12 续 又 故由罗尔中值定理 至少存在一点 使 12 0ff 1213 x x 得 0f 若次方程有个不同的实根 证明1040 43 2 2 3 1 4 0 axaxaxaxa4 0234 32 2 1 3 0 axaxaxa 的所有根皆为实根 证明证明 设方程的个不同的实根分别是 432 01234 0f xa xa xa xa xa 4 1 x 则 又是四次多项式函数 在 2 x 3 x 4 x 1 f x 2 f x 3 f x 4 0f x f x 上连续 在内可导 所以在 上都满足罗尔定理 0 1 0 1 f x 12 x x 23 x x 34 x x 4 条件 分别至少有 使得 112 x x 223 x x 334 x x 1 0f 2 0f 3 f 从而方程至少有三个实根 0 32 0123 4320fxa xa xa xa 又是三次方程 至多有三个根 从而 方程恰好有三个实根 0fx 0fx 证明 方程只有一个正根 1101 5 xx 证明证明 存在性 设 因为在上连续 且 5 1f xxx f x 0 1 0 10f 则由零点定理 至少存在一点 使得 即方程 1 10f 0 1 0 x 0 0f x 0f x 在内至少有一根 0 1 唯一性 用反证法 设另有 使得 函数在以 1 1 0 x 10 xx 1 0f x f x 0 x 为端点的闭区间上满足罗尔定理的条件 所以 至少存在一点 介于 之间 1 x 0 x 1 x 使得 但 矛盾 从而即为方程 0f 4 510fxx 0 1x 0 x 的唯一正根 01 5 xx 不用求出函数的导数 说明方程有几12 1 2 3 4 f xxxxx 0fx 个实根 并指出它们所在的区间 解解 因为在上连续 在内可导 且 f x 1 4 1 4 1 2 3 4 0ffff 所以在闭区间 上都满足罗尔定理的三个条件 所以 在内 f x 1 2 2 3 3 4 1 2 至少存在一点 使得 即是方程的一个根 在内至少存在 1 1 0f 1 0fx 2 3 一点 使得 即是方程的一个根 在至少存在一点 2 2 0f 2 0fx 3 4 3 使得 即是方程的一个根 3 0f 3 0fx 是的四次多项式 所以是三次方程 至多有三个根 从而 方程 f xx 0fx 恰好有三个实根 分别在区间 内 0fx 1 2 2 3 3 4 证明下列不等式 13 5 当时 1 baba arctanarctan 2 1 xxee x 当时 当时 3 0 xxx x x arctan 1 2 4 0 x xx 1 11 1ln 证明证明 设 在以 为端点的闭区间上满足拉格朗日中值 1 arctanf xx f xab 定理 所以至少存在一点介于 之间 使得 ab 即 arctanarctan abfab 2 arctanarctan 1 ab ab 因为 所以 2 1 1 1 arctanarctan abab 设 在上满足拉格朗日中值定理 则至少存在一点 2 t f te f t 1 x 1 x 使得 1 x eeex 因为 所以 从而有 1x 1 ee 1 1 x eeexe x 即 进而有 1 x eee x xee x 设 在上满足拉格朗日中值定理 则至少存在一点 3 arctanf tt f t 0 x 使得 0 x 2 1 arctanarctan0 0 1 xx 即 因为 所以 2 arctan 1 x x 0 x 222 111 111 0 x 因为 从而有 0 x 22 11 xx x x 即 xx x x arctan 1 2 当时 4 0 x xx 1 11 1ln 设 在上满足拉格朗日中值定理 则至少存在一点 ln 1 f tt f t 0 1 x 6 使得 0 1 x 111 ln 1ln 1 0 0 1xx 即 因为 所以 111 ln 1 1xx 1 0 x 11 1 11 1 x x x 从而有 11111 ln 1 111 x xxx xx 即 xx 1 11 1ln 证明等式 14 2 1 2 arcsinarctan2 x x x 1 x 证明证明 设 当时 2 2 2arctanarcsin 1 x f xx x 1x 1x 2 22 2 2 2 2 122 21 1 12 1 1 xxx fx x xx x 2 2 22 2 2 2 2 1 21 1 1 1 x x x x x 因为 所以 从而 1x 2 22 11xx 22 22 0 11 fx xx 所以 又因为 f xC 1x 3 3 2arctan3arcsin2 233 f 故 从而当时 当时 C 1x f x 1x 1 2arctan1 arcsin12 42 f 从而 当时 1x 2 1 2 arcsinarctan2 x x x 证明 若函数在内满足关系式 且 则15 f x fxf x 0 1f x f xe 证明证明 设 因为在内可导 所以在内可 x f x F x e f x F x 导 且 2 xx xx e fxe f xfxf x F x ee 因为 所以 从而 又因为 所以 fxf x 0F x F xC 0 1f 7 1F xC 即 从而 1 x f x F x e x f xe 设函数在上连续 在内有二阶导数 且有 16 f x a b a b 0f af b 试证在内至少存在一点 使 0f c acb a b 0f 证明证明 因为在上连续 在内可导 且 则在和 f x a b a bacb f x a c 上都满足拉格朗日中值定理 所以在内至少存在一点 使得 b c a c 1 1 f cf af cfca 0 f a 在内至少存在一点 使得 c b 2 2 f bf cf cfbc 0 f b 因为 所以 又因为 0f c 1 0fca 2 0fbc 0ca 所以 0bc 1 0f 2 0f 因为在内有二阶导数 所以在上连续 在内可 f x a b fx 12 fx 12 导 由拉格朗日中值定理 至少存在一点 使得 12 21 21 ff f 因为 所以 21 0ff 21 0 0f 设在上可微 且 试证明17 f x a b 0fa 0fb f af bA 在内至少有两个零点 fx a b 证明证明 因为在上可微 且 由罗尔定理 至少存在一点 f x a b f af bA 使得 a b 0f 对 1 xa a lim0 xa f xf a fa xa 由极限的保号性 及 可知0 xa 0f xf a 8 对 2 xbb lim0 xb f xf b fb xb 由极限的保号性 及 可知 0 xb 0f xf b 所以必存在 使得 即 11 xa a 1 0f xf a 1 f xA 存在 使得 即 其中 22 xbb 2 0f xf b 2 f xA 11 axa 22 bxb 因为在上可微 即在上可导 从而在上连续 f x a b f x a b f x a b 由介质定理 在内至少存在一点 使得 12 x x fA 因为 且 所以在和 f af bfA 12 axxb f x a 上都满足罗尔定理 从而在内至少存在一点 使得 在内 b a 1 1 0f b 至少存在一点 使得 2 2 0f 从而 在内至少有两个零点 fx a b 设在闭区间上满足 试证明存在唯一的 使得18 f x a b 0fx c acb f bf a fc ba 证明证明 存在性 因为在闭区间上满足 所以在闭区间上 f x a b 0fx a b 都存在 从而在闭区间上连续 即在闭区间上满足 fx fx f x a b f x a b 拉格朗日中值定理 所以至少存在一点 使得 c acb f bf a fc ba 唯一性 用反证法 设另有 使得 则 da b cd f bf a fd ba 函数在以 为端点的闭区间上满足罗尔定理的条件 所以 至 fc fd fx cd 少存在一点 介于 之间 使得 但在闭区间上 矛盾 cd 0f a b 0fx 从而唯一使得 c acb f bf a fc ba 9 设函数在上连续 在内可导 试证明 存在 19 f x a b a b 0 a a b 使得 ln b f bf af a 证明证明 设 在上满足柯西中值定理的条件 所 lng xx f x g x a b 0 a 以至少存在一点 使得 a b 即 lnln1 f bf af ba ln b f bf af a 设函数在的某邻域内具有阶导数 且 200 xn 0 0 f f 1 0 0 n f 试用柯西中值定理证明 n n f xfx xn 01 证明证明 设 则与在上满足柯西中值