第三章 随机变量的数字特征(习题参考答案)

第三章随机变量的数字特征习题解答 1 解 0 0 4 1 0 32 0 23 0 11 0E X 0 0 3 1 0 52 0 23 00 9E Y 则 E YE X 所以 乙车床加工的零件质量好 2 解 E X 5 1 1 1 23453 5 ii i x p 5 22222 1 1 123 5 ii i E Xx p 22 4 5 11 3 解 设为抽得的不合格数 则的概率函数为XX 15 kknk k pp XkC p q 0 1 2 15k 其中为不合格产品的概率 则p 1001 150015 p 14 15 q 所以 15 0 151 k k E Xkpp 4 解 E Xxf x dx 12 01 20 x xdxxx dx 1 12 222 01 20E Xxxdxxx dx 7 6 5 解 0 8 5 4E 6 解 2 22 11 9 2D XE XE X 3 0 93D Xnpq 4 22 71 1 66 D XE XE X 5 0 8D X 7 解 根据被积函数为奇函数在对称区间上的积分为零 有 1 0 2 x xedx 即 0 22 xx x edxedx 又因为 1 1 22 xx edxedx 所以 1 2 x E Xxedx 8 解 因为 所以 3 11 cos 3222 x P Xdx 1 4 2 YB 又因为 1 4 2 2 E Y 11 411 22 D Y 所以 222 1 2 5E YD YE Y 9 解 11 2223 0 0 22 2 33 E XE Yxdxx 而 2 2 2 c E C XYC E XE Y 1 1 2 C 10 解 因为当时 34x 1 2 F x 所以区间上的任一值都是 3 4 d M 11 解 因为 所以是正态分布的中位数 即 1 2 F 3 d M 12 解 5 2 5 2 E X 2 5 2 083 12 D X 13 解 对于随机变量 当和都存在时 且X E X D X0X 可使 0 XE X E D X 1 XE X D D X XD X 将变量经过的过程即为标准化过程 X XE X D X 正态分布 若 则 2 XN 0 1 X N 二项分布 若 则 XB n p 0 1 Xnp N npq 14 解 1 1 2 x E Xxf xdxxedx 因被积函数为奇函数 故 0E X 22 1 2 x D Xx f xdxx edx 2 0 2 x x e dx E Xx f x dx 1 2 x xedx 11 1 22 xx xedxx e dx 0 0 2 2E X 1D X 2 Cov X XE X XE X E X 0E X Xx x f xdx 故与不相关XX 3 对给定 显然事件包含在事件内 且0 x Xx Xx 01P Xx 10P Xx 故 P Xx XxP Xx 但 P Xx P XxP Xx 所以 P Xx XxP Xx P Xx 从而与不独立XX 15 解 由于 则 1 XE 1E X 1D X 22 2E XD XE X 所以 22 XX E YE XeE XE e 2 1 x ef x dx 2 0 14 11 33 xx ee dx 222224 2 XXX E YE XeE XEXee 24 2 2 xx xeef x dx 2 24 0 2 xxx xeee dx 2 24 00 2 xxxx xee dxee dx 2 21109 9545 2 22 109429 45345 D YE YE Y 16 解 原点矩 1 1 x f x dx 2 3 0 9 x xdx 2 25 2 2 x f x dx 2 3 2 0 9 x xdx 5 4 3 3 x f x dx 2 3 3 0 9 x xdx 13 5 中心矩 2 2 221 5 42 250 3375 3 33211 32 3 13 535 42 2522 25 0 1688 因为 4 4 x f x dx 2 3 4 0 34 71 9 x xdx 所以 24 4431211 463 24 34 71413 52 2565 42 2532 25 0 3483 偏度 3 3 0 1688 sk 0 8607 0 33750 3375 峰度 4 4 0 3483 k0 058 0 3375 0 3375 3 3 17 解 由题意随机变量服从上的均匀分布 则其概率密度函数为X 1 1 2 2 111 1 ba22 x f x 0 其它 所以 sin E YEX sin x f x dx 1 2 1 2 sin0 xdx sin D YDX 2 sin sin xEXf x dx 1 2 2 1 2 sin 0 5x dx 1 sin1 18 证明 由题意可知 E XYE X E Y 222 D XYE X YE XY 222 E XE YE XY 2222 D X D YE XE XE YE Y 2222 E XD YE XE YE Y 2222 E YD XE YE XE X 所以 22 D XYD X D YE XD YE YD X 19 解 1 22 1 2 82 xx f x dxaedxbedx 2 2 2 1 2 2 2 2 11 222 2 22 x x aedxbedx 2 2 ab 3 2 E Xxf x dx 2 2 2 1 2 2 2 2 11 222 2 22 x x axedxbxedx 2 2 ab 解以上两个方程得 11 4 22 2 ab 20 证明 因为不相关 所以 X Ycov XY 0 即cov 0XYE XYE X E Y E XYE X E Y 同理 2cov D XYD XD YX Y D XD Y 21 解 由题意可知 1224 E XE XE X 1224 D XD XD X 所以 24 1 1 24 i i E XEX 1224 1 24 E XXX 24 1 1 24 i i D XDX 1224 2 1 24 D XXX 1 24 22 解 由题意可知 arcsin 1 0 arcsin 1 1 ab ab 1 2 1 a b 所以 01 11 arcsin 11 2 1 1 x F Xxx x 则 2 1 11 1 0 x f x x 其它 所以 E Xxf x dx 1 2 1 1 0 1 xdx x 2 D XxE xf x dx 1 2 2 1 1 1 xE xdx x 1 2 23 解 1 由题意可知 22 1 3 0 4E XD XE YD Y 所以 11 32 E ZEXY 11 32 E XE Y 1 3 因为 11 cov 32 XY 1 1 3 2 XY D XD Y 22 11 34 62 1 所以 11 32 D ZDXY 1111 2cov 9432 D XD YXY 7 2 cov XZE XZE X E Z 1111 3232 E XXYE X EXY 2 1111 3232 E XE XYE XE X E Y 2 而 22 10E XD XEX 6 XY E XYD XD YE X E Y 所以cov 6XZ cov 2 7 7 XZ XZ D XD Z 3 因为 0 所以与不相互独立 XZ XZ 24 解 由题意可知 2 0 1cossin sin 22 X xx fxxy dy 2 0 1cossin sin 22 Y yy fyxy dy 则 2 0 X E Xxfx dx 2 0 cossin 24 xx xdx 同理 4 E Y 2 22 0 x E Xx fx dx 2 2 2 0 cossin 2 282 xx xdx 同理 2 2 2 82 E Y 所以 22 D XE XEX 2 20 1867 162 22 cov cov XYD X 2 2 00 12 sin 22 E X Yxyxy dxdy cov 0 0461X YE X YE X E Y 所以 0 18670 0461 0 04610 1867 25 解 由于 所以 E XE Y D XD Y 2222 E XE YD XEX 2 2 3E UEXYE XE Y 2 2 E VEXYE XE Y 4 5D UD VD XD Y 2 2 E UVEXYXY 22 4 EXY 22 4 E XE Y 2 33 3Cov U VE UVE U E V 从而 UV Cov U V D U D V 33 55 53 35 26 解 由 cov cov 0 4 25 36 XYXY D XD Y cov 12XY 所以 2cov 85D XYD XD YXY 2cov 37D XYD XD YXY 27 解 由题目给出的协