屈服假塑性流体轴向同心环空中速度及温度分布研究

1 屈服假塑性流体轴向同心环空中速度及温度分布研究屈服假塑性流体轴向同心环空中速度及温度分布研究 李兆敏 张平 石油大学 华东 石油工程学院 山东东营 257061 摘要摘要 赫谢尔 巴尔克莱 Herschel Bulkley 流变模式是一个三参数模式 因其精度较高 近几年国内多采用其描述钻井液的流变性 本文将非牛顿流体动量方程 能量方程与 H B 流体的本构方程相结合 推导出了流体在轴向同心环空中的速度及温度分布公式 数值研 究结果表明 由于 H B 屈服应力的作用 轴向同心环空内存在柱塞流动 柱塞的大小与 0 H B 屈服应力成正比 与单位管长压力降成反比 在其它相同条件下 柱塞速度随 0 L p 环空尺寸的增大而增大 随着流变指数的增大 流核速度变小 柱塞内温度呈对数曲线变 化 柱塞外侧温度与内侧温度不相同 从柱塞边界到管壁 温度逐渐减小 越靠近管壁 温度降低幅度越大 主题词主题词 H B 流体 环空管流 柱塞流 速度分布 温度分布 中图分类号 TE249 文献标识码 A 1 前言前言 在石油工业中 经常会遇到非牛顿流体 例如 我国多数油田生产的 三高 原油 在石油开采中用到的钻井泥浆及 三次采油 中大量使用的聚合物水溶液等液体 均为非 牛顿流体 非牛顿流体的流动往往与传热联系在一起 1 因此研究非牛顿流体在圆管 环 空中的流动及传热规律 具有重要意义 赫谢尔 巴尔克莱流变模式在国内俗称带屈服值的幂律模式 是一个三参数模式 因 其综合了宾汉和幂律两个流变模式的特点 能较好地反映钻井液的流变性 2 而已进行的 研究表明 对非牛顿流体流动特性研究的比较多 由于能量方程和动量方程相耦合而引起 的数学求解的复杂性 文献调研发现研究者对其传热规律的研究相对较少 樊洪海 刘希 圣研究了赫谢尔 巴尔克莱液体在直井中的稳态波动压力计算模式 3 蔡均猛得出了圆管 中赫 巴流体的速度及温度分布 4 本文将其本构方程和非牛顿流体动量方程 能量方程相结合 推导并分析其在轴向同 心环空流动情况下的速度和温度分布 研究结果不仅丰富了流体力学和传热学的理论 同 时对有关石油工程 化学工程中非牛顿流体的流动及工程应用具有一定的指导意义 2 计算模型的建立计算模型的建立 2 1 物理模型 考虑垂直放置轴向同心环空中的 H B 流体在压力梯度作用下的流动过程 如图 1 设 环空外管内径为 2 管壁温度为 2 内管外径为 1 管壁温度为 1 r1 r2分别为柱 塞的内外半径 流体自下而上 沿轴向流动 为便于讨论 作如下假设 1 1基金项目 基金项目 山东省自然科学研究基金资助项目 Y98A11014 非牛顿流体流动和传热的耦合理论及应用 作者简介作者简介 李兆敏 男 1965 年生 1995 年获石油大学 北京 油气井工程专业博士学位 现为石油大 2 1 流动为充分发展的稳定层流流动 2 流体常物性 3 无滑移 2 2 数学模型 1 动量方程 文献 1 给出了柱坐标系下的非牛顿流体动量方程 根据假设条件 可将动量方程简化 为 其中 z p r r r rz 1 g z p z p 1 式 1 不仅适合非牛顿流体 对于不可压缩的牛顿流体也适用 不仅适用于圆管流动 也适用于同心环空流动 2 能量方程 文献 1 给出了柱坐标系下的非牛顿流体能量方程 根据假设条件 可将能量方程简 化为 0 r u r T r rr rz 2 式中 热传导系数 3 H B 流体的本构方程 H B 流体受力后不能立即变形 只有当外力足以克服 H B 流体屈服应力后 才能发 0 生剪切变形 其本构方程为 n K 0 0 0 0 3 式 3 中 为屈服应力 为稠度系数 为流性指数 0 Kn 在轴向同心环空流动中 学 华东 石油工程学院教授 博士生导师 图 H B 流体在圆管环空中的流动 r z 1 2 r1r2 Tw1Tw2 0 3 dr du dr du 0 22 21 11 Rrr rrr rrR 4 其中为环空柱塞的内外径 未知 21 r r 这一流变模式 实际上包含了常见的几种流变模式的情况 5 当 n 1 时 液体为牛顿液体 0 0 液体为塑性液体 0 0 当时 液体为假塑性液体 0 0 1 n 液体为膨胀性液体 1 n 4 边界条件 根据壁面无滑移及管壁保持恒温的假设 可得到边界条件 11 0 w TTuRr 22 0 w TTuRr 5 3 模型的求解模型的求解 3 1 速度分布的求解 流体在同心环空中的速度分布方程可在两个特定区域内解出 在区域 环空内侧速梯区 11 rrR 将 4 式中 代入 H B 流体本构方程 得 dr du n rz dr du K 0 6 将 6 式代入动量方程 得 z p dr du Kr rr n 1 0 1 2 0 2 1 Cr z p dr du Kr n 7 4 根据边界条件 确定 1 rr 0 1 rr dr du 2 1011 2 1 r z p rC 8 由流核表面的力平衡关系式可得 12 0 2 rrL p z p 9 将 8 和 9 式代入 7 式 得 n rrr r rr r r r u dr du 1 12 2 1 12 1 1 10 式中 以下皆同 n K u 1 0 积分 10 式 并将边界条件代入 整理后得同心环空内侧速梯区的速度分布 r R ndr rrr r rr r r r uu 1 1 12 2 1 12 1 1 1 11 rrR 11 同理可得同心环空外侧速梯区 的速度分布 22 Rrr 将 4 式中 代入 H B 流体本构方程 得 dr du 12 0 n rz dr du K 将 12 式与动量方程结合 得 n rrr r rr r r r u dr du 1 12 2 2 12 2 1 13 积分 13 式 并将边界条件代入 整理后得同心环空外侧速梯区的速度分布 2 1 12 2 2 12 2 2 1 R r ndr rrr r rr r r r uu 14 在区域 柱塞区 21 rrr 当或时 有 即为流核速度 故由式 11 1 rr 2 rr 11rr u 2 2rr u max u max u 14 式 可得的表达式为 max u 5 1 1 1 12 2 1 12 1 max 1 r R ndr rrr r rr r r r uu 15 或 2 2 1 12 2 2 12 2 max 1 R r ndr rrr r rr r r r uu 16 联立 9 15 16 三式可求出与的值 显然此方程组为非线性方程组 几乎 1 r 2 r 没办法给出解析解 本文利用数值方法求解了 H B 流体在轴向同心环空中速度分布 6 3 2 温度分布的求解 由动量方程 1 得 r C r z p rz 2 1 17 根据和 由 6 和 12 式 得0 1 rr dr du 0 2 rr dr du 0 1 rr rz0 2 rr rz 18 将 18 式 代入 17 式 确定 C 得 2 1 21 r rr r z p rz 19 在区域 柱塞区 所以能量方程变为 21 rrr 0 dr du 0 r T r r 20 柱塞段温度分布 32ln CrCT 21 在区域 环空内侧速梯区 11 rrR 将 10 和 19 式代入能量方程 2 得 n rrr r rr r r r rrrA r T r r 1 12 2 1 12 1 21 2 1 6 其中 以下皆同 n kz p A 1 0 2 1 对上式进行积分 得 11 1 12 2 1 12 1 21 2 1 r r n r r dr rrr r rr r r r rrrA r T rd 整理得 1 1 12 2 1 12 1 21 22 1 r r ndr rrr r rr r r r rrr r A r C r T 对上式进行积分 得 drdr rrr r rr r r r rrr r A r C dT r R r r n T Tw 1 1 1 1 1 12 2 1 12 1 21 22 整理得 drdr rrr r rr r r r rrr r A R r CTT r R r r n w 1 1 1 ln 1 12 2 1 12 1 21 2 1 21 22 同理可得 环空外侧 温度分布 22 Rrr 23drdr rrr r rr r r r rrr r A r R CTT R r r r n w 2 2 1 ln 1 12 2 2 12 2 21 22 22 柱塞内边界温度 drdr rrr r rr r r r rrr r A R r CTT r R r r n w 1 1 1 1 ln 1 12 2 1 12 1 21 2 1 1 2101 312ln CrC 24 柱塞外边界温度 drdr rrr r rr r r r rrr r A r R CTT R r r r n w 2 22 1 ln 1 12 2 2 12 2 21 2 2 2 2202 322ln CrC 25 联立 24 25 式 可以解出 C2 C3 环空管路温度分布 7 26 drdr rrr r rr r r r rrr r A r R CTrT CrCrT ddr rrr r rr r r r rrr r A R r CTrT R r r r n w r R r r n w 2 2 1 1 1 ln ln 1 ln 1 12 2 2 12 2 21 2 2 22 32 1 12 2 1 12 1 21 2 1 21 22 21 11 Rrr rrr rrR 3 3 平均流速 根据环形空间中截面平均流速的概念 根据 11 14 15 式可得断面平均流速 的表达式 2 1 2 2 RR Q V 27 流量 Q Q 28 22 1 1 2 2 2 1 2 2max21 r R R r rrurdrurdru 4 分析和讨论分析和讨论 当管内环空 H B 流体流动时 存在柱塞流动 分析式 9 柱塞的大小 与 12 rr H B 流体的屈服应力成正比 与成反比 显然越大 与对应的柱塞宽度就越 0 L p 0 0 大 另外 越大 管内流量越大 在相同的 H B 流体屈服应力下 柱塞宽度就越 L p 0 小 4 1 考察屈服应力对速度剖面的影响 套管内径 钻杆外径 单位管长压力降mR1524 0 2 mR0706 0 1 取分别为 0 342Pa 0 489Pa 0 684Pa 通过数值计算得到速度剖面mPa L p 1 50 0 图 2 8 0 40 50 60 70 80 91 0 0 00 0 02 0 04 0 06 0 08 0 10 0 12 u u 无量纲半 径r R2 0 342Pa 0 489Pa 0 684Pa 图 2 屈服应力对速度剖面的影响 从图 2 中可以看出 随着屈服应力的逐渐增大 从 0 342Pa 到 0 684Pa 等速核的 0 宽度也逐渐增大 从式 9 也可以分析出 在压力梯度保持不变的情况下 柱塞宽度与屈服应力服从线性 关系 4 2 考察单位管长压力降对速度剖面的影响 套管内径 钻杆外径 取 单位管长压mR1524 0 2 mR0706 0 1 Pa342 0 0 力降分别为 74Pa m 106Pa m 通过数值计算得到速度剖面图 3 mPa L p 1 50 9 0 40 50 60 70 80 91 0 0 00 0 05 0 10 0 15 0 20 0 25 0 30 0 35 0 40 u u 无量纲半 径 r R2 p L 106Pa m p L 74Pa m p L 50Pa m 图 3 压力梯度对速度剖面的影响 从图 3 可以看出 当屈服应力时 不同单位管长压力降下的 H B 流体Pa342 0 0 环空流动均存在等速核 随着的逐渐增大 由 5074106Pa m 等速核的宽度逐 L p 渐减小 这一数值计算的结果和理论分析是完全一致的 4 3 考察环空大小对柱塞速度的影响 由图 4 可以看出在单位管长压力降和屈服应力保持不变的情况下 柱塞速度随着环 空尺寸的增大而增大 由水力学基本原理也可以证实 在其它条件相同的情况下 环空尺 寸增大 流动阻力减小 流动速度增大 10 0 20 30 40 50 60 7 0 00 0 02 0 04 0 06 0 08 0 10 0 12 0 14 umax u 无量纲环 空尺寸 R2 R1 R2 图 4 环空尺寸对柱塞速度的影响 4 4 考察流变指数对速度剖面的影响 套管内径 钻杆外径 取屈服应力 单mR1524 0 2 mR0706 0 1 Pa342 0 0 位管长压力降 改变流变指数 得到流变指数对速度剖面的影响 从图mPa L p 1 50 中我们看出 随着 n 值的增大 流核宽度变宽 并且流速减小 0 40 50 60 70 80 91 0 0 00 0 02 0 04 0 06 0 08 0 10 0 12 0 14 0 16 u u 无量纲半 径r R2 n 0 7 n 0 8 n 0 9 图 5 流变指数对速度剖面的影响 4 5 考察环空管路内温度分布 假设内管外壁和外管内壁温度恒定 且外管内壁温度等于内管外壁温度 作 H B 流体 环空管路的温度分布图 11 0 40 50 60 70 80 91 0 0 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 无量纲温度 T Tw T02 Tw 无量纲半 径r R2 0 0 489Pa p L 50Pa m n 0 8 图 6 环空管路温度分布 从图 6 可以看出由于剪切作用 存在摩擦功损失 故引起温度变化 在轴向圆管流动 中的柱塞中 柱塞内外侧边界温度相同 且剪切应力小于屈服应力 其剪切速率为零 不 存在摩擦功的损失 故温度不变 但是在环空管路中 尽管其剪切速率为零 但是由于柱 塞边界温度不同 其温度是变化的 曲线为一对数曲线 在该计算实例中 柱塞外侧温度高 于内侧温度 是由于柱塞外侧速梯区的剪切速率高于内侧速梯区的剪切速率 摩擦功损失 增大 导致柱塞外侧温度高于内侧温度 8 9 从图 6 还可看出 从柱塞边界到管壁 温度逐渐减小 而越靠近管壁 温度变化越 剧烈 这是因为越靠近管壁 剪切应力越大 摩擦功损失越大 5 结论结论 1 当管内环空 H B 流体流动时 存在柱塞流动 柱塞的大小与 H B 屈服应力成 0 正比 与成反比 显然越大 与对应的柱塞宽度就越大 另外 越大 管 L p 0 0 L p 内流量越大 对应相同的 H B 屈服应力 柱塞宽度就越小 柱塞宽度与环空尺寸大小无 0 关 2 柱塞速度随着环空尺寸的增大而增大 3 柱塞速度随着流变指数的增大而减小 4 柱塞内温度呈对数曲线变化 柱塞外边界温度一般不等于内边界温度 而且从柱 塞边界到管壁温度逐渐减小 越靠近管壁 温度降低幅度越大 参考文献参考文献 12 1 李兆敏 蔡国琰 非牛顿流体力学 M 山东东营 石油大学出版社 1998 94 98 2 周福建 刘雨晴等 水包油钻井液高温高压流变性研究 J 石油学报 1999 3 77 81 3 樊洪海 刘希圣 赫谢尔 巴尔克莱液体直井稳态波动压力计算模式 J 石油钻探 技术 1994 1 51 54 4 蔡均猛 圆管中 H B 流体的速度及温度分布 待发表 5 李天太 孙正义 李琪 实用钻井水力学计算与应用 M 北京 石油工业出版社 2002 26 27 6 李庆扬 王能超 易大义 数值分析 M 北京 清华大学出版社 施普林格出版 社 2001 129 131 7 陈家琅 刘永建 岳湘安 钻井液流动原理 M 北京 石油工业出版社 1997 62 75 8 李兆敏 王渊 张琪 宾汉流体在环空中流动时的速度分布规律 J 石油学报 2002 2 87 91 9 李兆敏 张平 黄善波等 Casson 流体轴向同心环空中速度及温度分布研究 待发 表 Study of the Velocity and Temperature Profiles for the Annulus Pipe Flow of H B Fluid Li zhaomin Zhang ping College of Petroleum Engineering University of Petroleum East China Shandong Province 257061 Abstract Herschel Bulkley equation which include three parameters was often implied in drilling to describe the rheology of drilling fluid for its more high precision Combining the constitutive equation of Herschel Bulkley fluid with the momentum equation and the energy equations of non Newtonian fluid the velocity and the temperature profiles for the annulus pipe flow of Hersch