Morgenstern 、Price 法

MorgensternMorgenstern PricePrice 法法 Morgenstern Price 首先对任 意曲线形状的滑裂面进行了分析 见图 9 4 1 导出了满足力的平衡及 力矩平衡条件的微分方程式 然后 假定两相邻土条法向条间力和切向 条间力之间存在对水平方向坐标的 函数关系 根据整个滑动土体的边 界条件求出问题的解答 a 任意形状的土坡 b 作用于微分土条上的力 dW dT i X U E E dE U dU X dx g dN dU s y y t y h dy y dy y t d yt y dy h dh y y x 滑裂线 y y t x 有效侧压力 推力线滑裂线 y h x 侧向孔隙压力推力线 y z x 坡面线 a b dx Morgenstern PriceMorgenstern Price 法法 坡面和土条 条间力分析图坡面和土条 条间力分析图 1 1 条间力作用分析条间力作用分析 如图图 9 4 1 表示一任意形状 的土坡 其坡面线 侧向孔隙水应 力和有效应力的推力线及滑裂线分 别以函数 及表 xzy xhx xyy t xyy 示 如图 9 4 1 b 为其中任一微 分 dx 土条 其上作用有重力 dW 土 条底面的有效法向反力 dN 及切向 阻力 dT 土条两侧的有效法向条间 力 E E dE 及切向条间力 X X dX U 及 U dU 为作用于土条两 侧的孔隙水应力 dUs 则为作用于土 条底部的孔隙水应力 2 2 土条受力平衡方程形式土条受力平衡方程形式 对微分土条的底部中点 dT dN 合力作用点 取力矩平 衡 则 2 2 dy tydtydyyEdE dy tyyE 2 2 2 dhhdyydUU dy hyU dx dXX dx X 0 2 s gdU dy 9 4 1 将上式略去高阶微量 并且认为dUs 的作用点与dT dN 的作用点重合 取g 0 整理化简 得到每一土 条满足力矩平衡的微分方程式 dx dU yUh dx d dx Ed yyE dx d X t 9 4 2 再取土条底部法线方向力的平衡 得 sinsincoscos dWdEdXdWdUsdN 9 4 3 取平行土条底部方向力的平衡 可得 sinsincoscos dWdXdUdEdT 9 4 4 又根据安全系数的定义及摩尔 库 伦准则 sec 1 tgdNdxc F dT s 9 4 5 同时引用关于孔隙应力比的定义 得 dxdW u ru secdWdUs u 9 4 6 综合以上各式 消去 dT 及 dN 得 到每一土条满足力的平衡的微分方 程为 dx dy F tg dx dX dx dy F tg dx dE ss 1 1 1 2 dx dy F tg dx dU dx dy F c ss s u s F tg dx dy r dx dy F tg dx dW 2 1 9 4 7 一般来说 由坡体边界y z x y h x 是已知的 滑裂面y y x 由 我们选定 也为已知的 在两个基 本微分方程中的 及 都可以求 dx dW dx dU dx dy 出 同时土质指标 及孔隙压力 c tg 比ru也是给定的 因此 要求的未 知量就剩下E X及函数 y y t x 还有安全系数Fs 3 3 计算简化和假定条件计算简化和假定条件 为了简化方程 以土条侧面总的法 向力E来代替有效法向力E 则有 E E U 9 4 8 其作用点位置yt可用式 9 4 9 求 出 即 Eyt E y t Uh 9 4 9 同时因为E和X之间必定存在 着一个对x的函数关系 X f x E 9 4 10 式中 为任意选择的一个常数 对每一土条来说 由于dx可以 取得很小 使y z x y h x 及 y y x 在土条范围内近似为一直线 同样 函数f x 在每一土条范围 内也可以取作直线 因此 在每一 土条内有 y Ax B 9 4 11 及 f kx m qpx dx dW 式中 A B p q k 及 m 均为任意 常数 可通过几何条件及所选f x 的类型来确定 经过以上各式式的处理 基本微分 方程式 9 4 2 简化为 X dx dE yEy dx d t 9 4 12 而式 9 4 7 简化为 PNxKE dx dE LKx 9 4 13 式中 A F tg kK s 9 4 14 ss F tg AA F tg mL 1 9 4 15 s u s F tg AA F tg pN 2 1 9 4 16 s u ss F tg AA F tg qA F c P 22 1 1 9 4 17 现在取土条两侧的边界条件为 x xi i EE x xi 1 1 i EE 9 4 18 对方程式 9 4 13 从xi到xi 1进 行积分 可以求得 2 1 2 1 xP xN LE xKL E ii 9 4 19 这样就可以从上到下 逐条求出法 向条间力 E 来 然后根据式 9 4 10 求出切向条间力 X 当滑 动土体外部没有其他个力作用时 对最后一土条必须满足条件 En 0 9 4 20 同时 土条侧面的力矩可以用微分 方程式 9 4 5 积分求出 即 1 111 i i x x itii dx dx dy EXyyEM 9 4 21 最后也必须满足条件 0 0 n x x n dx dx dy EXM 9 4 22 此时 各条间力合力作用点位置yt 可由式 9 4 21 求出 因此 为了找到能够满足所有平衡 方程的 及Fs值 我们可以先假定 一个 及Fs 然后逐条积分得到En 及Mn 如果不为零 再用一个有规 律的迭代步骤不断修正 及Fs 直 到式 9 4 20 及式 9 4 22 得 到满足为止 4 4 条间侧向力作用假定函数条间侧向力作用假定函数 f x f x 条间力的侧向法线力 E 在简化计算 条件时 涉及函数f x 如何选择的 问题 见式 9 4 10 它们可以利 用弹性理论的解答加以算出 也可 以在直观假设的基础上指定 根据 Morgentern 等人的研究 对于接近 圆弧的滑裂面 安全系数对内力分 布的反应是很不灵敏的 往往取完 全不同的f x 得到的安全系数却 相当接近 当然 用本法求出的条间力也必须 符合合理性控制条件 土条分界面 上抗剪安全系数Fu