(江苏专版)2019年高考数学一轮复习-专题2.9-函数模型及其应用(讲)

专题专题 2 92 9 函数模型及其应用函数模型及其应用 考纲解读考纲解读 要 求备注备注 内 容 A B C 函数概 念与基 本初等 函数 函数模型及其应用 对知识的考查要求依次分为了解 理解 掌握三个层 次 在表中分别用 A B C 表示 了解 了解 要求对所列知识的含义有最基本的认识 并能 解决相关的简单问题 理解 理解 要求对所列知识有较深刻的认识 并能解决有 一定综合性的问题 掌握 掌握 要求系统地掌握知识的内在联系 并能解决综 合性较强的或较为困难的问题 直击教材直击教材 1 已知某种动物繁殖量y 只 与时间x 年 的关系为y alog3 x 1 设这种动物第 2 年有 100 只 到第 8 年它们发展到 只 答案 200 2 用 18 m 的材料围成一块矩形场地 中间有两道隔墙 若使矩形面积最大 则能围成的最大面积是 m2 解析 设隔墙长为x m 则面积S x 2x2 9x 2 2 所以当x 时 能围成的面 18 4x 2 x 9 4 81 8 9 4 积最大 为 m2 81 8 答案 81 8 知识清单知识清单 1 1 几种常见的函数模型 几种常见的函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f x ax b a b为常数 a 0 二次函数模型f x ax2 bx c a b c为常数 a 0 指数函数模型f x bax c a b c为常数 a 0 且a 1 b 0 对数函数模型f x blogax c a b c为常数 a 0 且a 1 b 0 幂函数模型f x axn b a b n为常数 a 0 n 0 2 三种函数模型性质比较 y ax a 1 y logax a 1 y xn n 0 在 0 上 的单调性 增函数增函数增函数 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图像的变化 随x值增大 图像与y 轴接近平行 随x值增大 图像与x 轴接近平行 随n值变化而 不同 考点深度剖析考点深度剖析 解答应用问题的程序概括为 四步八字 即 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择模型 建模 把自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 求模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将数学结论还原为实际问题的意义 重点难点突破重点难点突破 考点 1 一次函数与二次函数模型 1 1 某电信公司推出两种手机收费方式 A种方式是月租 20 元 B种方式是月租 0 元 一个月的本地 网内通话时间t 分钟 与电话费s 元 的函数关系如图所示 当通话 150 分钟时 这两种方式电话 费相差 元 答案 10 1 2 将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时 能卖出 400 个 若该商品每个涨价 1 元 其销售量就 减少 20 个 为了赚取最大的利润 售价应定为每个 元 答案 95 解析 设售价定为 90 x 元 卖出商品后获得利润为 y 90 x 80 400 20 x 20 10 x 20 x 20 x2 10 x 200 20 x2 10 x 200 20 x 5 2 225 当x 5 时 y取得最大值 即售 价应定为 90 5 95 元 思想方法 1 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决 但一定要密切注意函数的定义域 否则极 易出错 2 确定一次函数模型时 一般是借助两个点来确定 常用待定系数法 3 解决函数应用问题时 最后要还原到实际问题 温馨提醒 1 易忽视实际问题的自变量的取值范围 需合理确定函数的定义域 2 注意问题反馈 在解决函数模型后 必须验证这个数学结果对实际问题的合理性 考点 2 分段函数模型 2 1 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下 大桥上的车流速度 v 单位 千米 小时 是车流密度x 单位 辆 千米 的函数 当桥上的车流密度达到 200 辆 千米时 造成 堵塞 此时车流速度为 0 千米 小时 当车流密度不超过 20 辆 千米时 车流速度为 60 千米 小时 研究 表明 当 20 x 200 时 车流速度v是车流密度x的一次函数 1 当 0 x 200 时 求函数v x 的表达式 2 当车流密度x为多大时 车流量 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数 单位 辆 小时 f x x v x 可以达到最大 并求出最大值 精确到 1 辆 小时 答案 1 v x Error Error 2 当x 100 时 f x 在区间 20 200 上取得最大值 2 2 某公司研制出了一种新产品 试制了一批样品分别在国内和国外上市销售 并且价格根据销售情 况不断进行调整 结果 40 天内全部销完 公司对销售及销售利润进行了调研 结果如图所示 其中图 一条折线 图 一条抛物线段 分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系 图 是每件样 品的销售利润与上市时间的关系 1 分别写出国外市场的日销售量f t 与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g t 与上市时间t 的关系 2 国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元 若有 请说明是上市后的第几天 若没有 请说明理由 答案 1 f t Error Error g t t2 6t 0 t 40 2 上市后的第 30 天 3 20 F t 在 0 20 上是增函数 F t 在此区间上的最大值为F 20 6 000 6 300 当 20 t 30 时 F t 60 3 20t2 8t 由F t 6 300 得 3 t2 160t 2 100 0 解得t 舍去 或t 30 70 3 当 30 t 40 时 F t 60 3 20t2 240 由F t 在 30 40 上是减函数 得F t F 30 6 300 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元 为上市后的第 30 天 思想方法 1 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车票 价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 2 分段函数的最值是各段的最大 最小 者的最大者 最小者 温馨提醒 构造分段函数时 要力求准确 简洁 做到分段合理 不重不漏 考点 3 指数函数模型 3 1 一片森林原来面积为a 计划每年砍伐一些树 且每年砍伐面积的百分比相等 当砍伐到面积的一 半时 所用时间是 10 年 为保护生态环境 森林面积至少要保留原面积的 已知到今年为止 森林剩余 1 4 面积为原来的 2 2 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 答案 1 x 1 1 10 2 5 3 15 1 2 3 2 某位股民购进某支股票 在接下来的交易时间内 他的这支股票先经历了n次涨停 每次上涨 10 又经历了n次跌停 每次下跌 10 判定该股民这支股票的盈亏情况 不考虑其他费用 答案 略有亏损 思想方法 1 指数函数模型 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中有人口增长 银行利率 细胞分裂等增长 问题可以利用指数函数模型来解决 2 应用指数函数模型时 关键是对模型的判断 先设定模型 再将已知有关数据代入验证 确定参数 从而确定函数模型 3 y a 1 x n通常利用指数运算与对数函数的性质求解 温馨提醒 解指数不等式时 一定要化为同底 且注意对应函数的单调性 考点二 函数y x a x模型的应用 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使 用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年的能源消耗费用C 单位 万元 与 隔热层厚度x 单位 cm 满足关系C x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 k 3x 5 设f x 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解 1 由已知条件得C 0 8 则k 40 因此f x 6x 20C x 6x 0 x 10 800 3x 5 2 f x 6x 10 10 2 10 70 万元 800 3x 5 6x 10 800 3x 5 当且仅当 6x 10 800 3x 5 即x 5 时等号成立 所以当隔热层厚度为 5 cm 时 总费用f x 达到最小值 最小值为 70 万元 由题悟法 应用函数y x 模型的关键点 a x 1 明确对勾函数是正比例函数f x ax与反比例函数f x 叠加而成的 b x 2 解决实际问题时一般可以直接建立f x ax 的模型 有时可以将所列函数关系式转化为f x b x ax 的形式 b x 3 利用模型f x ax 求解最值时 要注意自变量的取值范围 及取得最值时等号成立的条件 b x 即时应用 水资源与永恒发展 是 2015 年联合国世界水资源日主题 近年来 某企业每年需要向自来水厂所缴纳 水费约 4 万元 为了缓解供水压力 决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化设备 安装这种净水设备的 成本费 单位 万元 与管线 主体装置的占地面积 单位 平方米 成正比 比例系数约为 0 2 为了保证正 常用水 安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式 假设在此模式下 安装后该企业每年 向自来水厂缴纳的水费C 单位 万元 与安装的这种净水设备的占地面积x 单位 平方米 之间的函数关 系是C x x 0 k为常数 记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的 k 50 x 250 水费之和 1 试解释C 0 的实际意义 并建立y关于x的函数关系式并化简 2 当x为多少平方米时 y取得最小值 最小值是多少万元 易错试题常警惕易错试题常警惕 数学实际应用问题 一定要正确理解题意 选择适当的函数模型 合理确定实际问题中自变量的取值数学实际应用问题 一定要正确理解题意 选择适当的函数模型 合理确定实际问题中自变量的取值 范围 必须验证答案对实际问题的合理性 范围 必须验证答案对实际问题的合理性 如 如图所示 在矩形CDA 中 已知aA Cb ab 在A DA CD C 上分别 截取A A CG CF都等于x 当x为何值时 四边形FG 的面积最大 求出这个最大面积 分析 设四边形FG 的面积为S 则 FD G 1 2 SSaxbx CFG SS A 2 1 2 x 2 22 11 222 224 ab Sabxaxbxxab xx 2 8 ab 由图形知函数的定义域为 0 xxb 0ba 0 2 ab b 若 4 ab b 即3ab 时 4 ab x 使面积S取得最大值 2 8 ab 若 4 ab b 即3ab 时 函数 S x在 0 b上是增函数 此时当xb 时 S有最大值为 2 2 2 48 abab b 2 abb 综上可知 若3ab 当 4 ab x 时 四边形FG